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    活動(dòng)導(dǎo)學(xué),分層探究,自然生成

    2018-05-14 09:02石鵬
    關(guān)鍵詞:自主探究

    石鵬

    [摘 要] “任意角”是蘇教版必修四“三角函數(shù)”的起始課,也是三角函數(shù)的重要概念,借助于“活動(dòng)單導(dǎo)學(xué)”模式,設(shè)計(jì)相應(yīng)活動(dòng)產(chǎn)生認(rèn)知沖突,激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的必要性和興趣;設(shè)計(jì)相應(yīng)活動(dòng)引導(dǎo)學(xué)生自主探究角的定義、角的概念的推廣、象限角等,體驗(yàn)自主探究過(guò)程的樂(lè)趣;設(shè)計(jì)相應(yīng)活動(dòng)引導(dǎo)學(xué)生自主探究終邊相同角,體驗(yàn)學(xué)習(xí)過(guò)程拓展性;設(shè)計(jì)相應(yīng)活動(dòng)鞏固新課知識(shí),體驗(yàn)學(xué)習(xí)過(guò)程的應(yīng)用性,讓學(xué)生最終掌握相關(guān)的知識(shí)并提高相應(yīng)的能力.

    [關(guān)鍵詞] 任意角;活動(dòng)導(dǎo)學(xué);自主探究

    ■基本情況

    1. 學(xué)情分析

    授課班級(jí)為某一重點(diǎn)高中的高一實(shí)驗(yàn)班,學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)比較好,課堂教學(xué)氣氛比較活躍,絕大多數(shù)學(xué)生敢于質(zhì)疑,勇于表達(dá)自己的思想,同時(shí)也能大膽地回答問(wèn)題或者提出問(wèn)題;同學(xué)間相互討論、相互研究、相互合作的氣氛濃厚,但也有少部分學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主動(dòng)參與性欠缺,在課堂上作教師和其他同學(xué)忠實(shí)的聽(tīng)眾,這需要教師在日常的教學(xué)中加以引導(dǎo)和培養(yǎng). 由于筆者在平時(shí)教學(xué)過(guò)程中利用了活動(dòng)單導(dǎo)學(xué)模式,在教學(xué)過(guò)程中設(shè)置了相應(yīng)的活動(dòng)讓學(xué)生探索新的知識(shí),因此在探索活動(dòng)中,學(xué)生的思維過(guò)程得到了暴露,學(xué)生開(kāi)放性地接收到了新的知識(shí).

    學(xué)生在蘇教版必修一的課本中,已經(jīng)學(xué)習(xí)了一次函數(shù)、二次函數(shù)、冪函數(shù)等相關(guān)概念,他們對(duì)概念的學(xué)習(xí)已有比較好的接受方式;同時(shí)他們?cè)诔踔幸呀?jīng)學(xué)習(xí)了角的概念,不過(guò)只局限于在0°到360°. 本節(jié)課先設(shè)計(jì)一些活動(dòng)和問(wèn)題用于激發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突,讓學(xué)生體會(huì)到已有知識(shí)和新知識(shí)的學(xué)習(xí)任務(wù)不一致,從而吸引學(xué)生的注意力,激發(fā)認(rèn)知內(nèi)驅(qū)力;再設(shè)計(jì)一些學(xué)生熟知的、直觀的,易理解、易接受的探究活動(dòng),提升學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,增加學(xué)生感性體驗(yàn);最后設(shè)計(jì)一系列與概念相對(duì)應(yīng)的探究活動(dòng),給學(xué)生一定的時(shí)間和空間,讓學(xué)生獨(dú)立思考、自主探究、合作討論,然后全班交流,讓學(xué)生通過(guò)活動(dòng)單導(dǎo)學(xué),自己探究出推廣后的角的定義及角的表示方法.

    2. 教材分析

    “任意角”是必修四“三角函數(shù)”的起始課,而三角函數(shù)是描述客觀世界周期性變化規(guī)律的重要模型,在高中數(shù)學(xué)以及整個(gè)數(shù)學(xué)領(lǐng)域具有重要的作用,在高考數(shù)學(xué)中也占有不少的分值;同時(shí)三角函數(shù)也是在學(xué)習(xí)了對(duì)數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)等基本初等函數(shù)后學(xué)習(xí)的最后一個(gè)基本初等函數(shù). 任意角這一課主要處理:①角的概念的推廣;②任意角、正角、負(fù)角、零角、象限角、軸線角以及終邊相同的角的概念.

    教學(xué)目標(biāo):①理解任意角的概念,學(xué)會(huì)在平面內(nèi)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系來(lái)討論任意;②能在0°到360°范圍內(nèi),找出一個(gè)與已知角終邊相同的角,并判定其為第幾象限角;③能寫(xiě)出與任一已知角終邊相同的角的集合.■

    教學(xué)重點(diǎn):角的概念的推廣,終邊相同角的集合.■

    教學(xué)難點(diǎn):任意角、正角、負(fù)角等概念的形成過(guò)程.

    ■教學(xué)過(guò)程

    1. 活動(dòng)一:角的概念的推廣

    問(wèn)題1:在體操、跳水比賽中,常聽(tīng)到“轉(zhuǎn)體720°”,這里的角度是一個(gè)什么含義?

    學(xué)生回答:旋轉(zhuǎn)兩圈.

    設(shè)計(jì)意圖:突出知識(shí)產(chǎn)生的背景及其與現(xiàn)實(shí)的聯(lián)系,揭示學(xué)習(xí)的必要性,激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.

    問(wèn)題2:初中所學(xué)的角在0°~360°間,已適應(yīng)不了實(shí)際的需要,角的概念需要重新定義,那又如何定義呢?

    學(xué)生方便地得出:一條射線繞端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而成的圖形.

    (1)角的定義:一個(gè)角可以看作平面內(nèi)一條射線繞它的端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所形成的圖形. 射線的端點(diǎn)稱為角的頂點(diǎn),射線旋轉(zhuǎn)的開(kāi)始位置和終止位置稱為角的始邊和終邊. ■

    設(shè)計(jì)意圖:①溫故而知新,通過(guò)具體生活實(shí)例打破學(xué)生原有的角不大于360°的認(rèn)知,引發(fā)學(xué)生認(rèn)知沖突. ②讓學(xué)生先認(rèn)識(shí)到生活中存在大于360°的角,然后再考慮如何完善角的概念,如何度量新的角.

    問(wèn)題3:掛鐘慢了5分鐘,如何調(diào)準(zhǔn)?快了5分鐘呢?

    學(xué)生回答:慢了,將分針順時(shí)針轉(zhuǎn)30°;快了,將分針逆時(shí)針轉(zhuǎn)30°.

    設(shè)計(jì)意圖:讓學(xué)生意識(shí)到,為了有效刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)中的各種角,數(shù)學(xué)意義上的角不僅僅可以區(qū)分大小,也可以區(qū)分方向.

    問(wèn)題4:這兩個(gè)角度一樣嗎?如何區(qū)別表示?(引導(dǎo)學(xué)生類比正數(shù)、負(fù)數(shù),構(gòu)建概念)

    學(xué)生自然得出了正角、負(fù)角、零角的概念,從而將0°~360°的角推廣到了任意角. 角的概念的推廣:按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)的角為正角,按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)所成的角為負(fù)角. 如果射線沒(méi)有作任何旋轉(zhuǎn),那么也把它看成一個(gè)角,叫作零角. ■

    設(shè)計(jì)意圖:學(xué)生應(yīng)類比正數(shù)、負(fù)數(shù),構(gòu)建正角、負(fù)角的概念,強(qiáng)化類比思想和方法的應(yīng)用. 為了方便,數(shù)學(xué)上有許多約定俗成的概念,如規(guī)定:按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)的角為正角,按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)所成的角為負(fù)角. ■

    問(wèn)題5:試用圖示表示α=420°,β= -150°,并描述一下你是怎么作出來(lái)的.

    圖略.

    設(shè)計(jì)意圖:通過(guò)作圖操作,讓學(xué)生進(jìn)一步理解任意角的概念,同時(shí)讓他們感知沒(méi)有統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)時(shí),角表示得不便,體會(huì)引入象限角的必要性.

    2. 活動(dòng)二:數(shù)形結(jié)合,探究象限角

    問(wèn)題1:如何比較幾只筆的長(zhǎng)短?

    學(xué)生回答:將筆的一端(起點(diǎn))放在同一平面上.

    設(shè)計(jì)意圖:為后面角放在象限里研究埋下伏筆.

    問(wèn)題2:我們?yōu)榱朔奖阊芯吭S多角,是借助怎樣的平臺(tái)來(lái)研究的?

    在平面直角坐標(biāo)系中(學(xué)生回答不出,教師講解).

    設(shè)計(jì)意圖:讓學(xué)生討論認(rèn)識(shí)到,尋找“平臺(tái)”是認(rèn)識(shí)和刻畫(huà)事物和研究問(wèn)題的常用方法.

    問(wèn)題3:把角放到平面直角坐標(biāo)系中,如何放置既簡(jiǎn)單又合理?放置后,對(duì)任意一個(gè)角,終邊有可能在哪些位置?

    學(xué)生討論合作后就能得到象限角與軸線角的概念. 象限角:角的終邊(除端點(diǎn)外)在第幾象限,就說(shuō)這個(gè)角是第幾象限的角. 軸線角:終邊落在坐標(biāo)軸上的角. ■

    設(shè)計(jì)意圖:把角放在直角坐標(biāo)系里研究,研究角就有了統(tǒng)一的平臺(tái). 讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到,面對(duì)一個(gè)龐大的群體,分類是經(jīng)常的、必要的事件. 這樣既增強(qiáng)了學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性,又強(qiáng)化了知識(shí)的整體性與聯(lián)系性.

    問(wèn)題4:在平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出下列角:-300°,-150°,-60°,60°,210°,300°,420°,并判定它們?cè)诘趲紫笙?

    設(shè)計(jì)意圖:由于角的范圍變大到任意角,如何用簡(jiǎn)單的圖形來(lái)表示,讓學(xué)生自己動(dòng)手畫(huà)圖體會(huì),學(xué)生之間交流討論心得,體會(huì)把角放到直角坐標(biāo)系內(nèi)給研究角帶來(lái)的方便和好處. 通過(guò)自主探究,這樣得到的結(jié)論更有意義,體現(xiàn)了學(xué)習(xí)過(guò)程的理解性.

    3. 活動(dòng)三:學(xué)以致用,探究終邊相同角的表示

    問(wèn)題:在同一坐標(biāo)系中作出下列各角:30°,210°,-330°,390°,750°.

    (1)其中哪些角終邊相同?

    (2)從作圖上看,和30°終邊相同的角有什么關(guān)系?

    (3)從數(shù)量上看,和30°終邊相同的角有什么關(guān)系?能用集合表示嗎?若能請(qǐng)用描述法表示.

    (4)你能寫(xiě)出終邊相同的角的表達(dá)式嗎?

    (5)如何用集合表示與角α終邊相同的角?

    一般地,與角α終邊相同的角的集合為_(kāi)_________.

    設(shè)計(jì)意圖:終邊相同的角的關(guān)系及其表示是本節(jié)課的難點(diǎn),為突破這一難點(diǎn),設(shè)置由易到難、從特殊到一般的子活動(dòng),引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)作圖可以發(fā)現(xiàn)它們的終邊旋轉(zhuǎn)相差若干周,從而便容易發(fā)現(xiàn)在數(shù)量上相差k·360°. 經(jīng)歷這一探索過(guò)程,這樣得到的知識(shí)與技能更加牢固,理解更加深刻,體現(xiàn)了學(xué)習(xí)過(guò)程的拓展性.

    4. 活動(dòng)四:數(shù)學(xué)應(yīng)用,鞏固新知

    問(wèn)題1:在0°到360°的范圍內(nèi),找出與下列各角終邊相同的角,并分別判斷它們是第幾象限角:(1)650°;(2)-150°;(3)-990°15′.

    問(wèn)題2:已知角α與240°角的終邊相同,試探究■是第幾象限角,2α是第幾象限角.

    設(shè)計(jì)意圖:通過(guò)解決問(wèn)題,進(jìn)一步理解任意角、象限角和終邊相同的角,體現(xiàn)了學(xué)習(xí)過(guò)程的應(yīng)用性.

    5. 活動(dòng)五:課堂小結(jié),提煉升華

    (1)知識(shí)結(jié)構(gòu):任意角(正角、負(fù)角、零角)?圯象限角(終邊所在的象限)?圯與角α終邊相同的角的集合S={ββ=α+k·360°,k∈Z}.

    (2)思想方法:①數(shù)形結(jié)合:靜態(tài)向動(dòng)態(tài)擴(kuò)充,形成任意角;②化歸思想:形成終邊相同的角的集合;③分類討論:由k得不同的取值確定第幾象限角.

    (3)探究途徑:獨(dú)立思考、動(dòng)手操作、合作探究.

    設(shè)計(jì)意圖:突出教學(xué)目標(biāo),不僅要進(jìn)行知識(shí)的小結(jié),還要對(duì)思想方法進(jìn)行小結(jié);體現(xiàn)知識(shí)間的聯(lián)系,幫助學(xué)生構(gòu)建知識(shí)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu),對(duì)數(shù)學(xué)思想和思維進(jìn)一步提升.

    6. 活動(dòng)六:課堂檢測(cè)

    (1)下列哪些角與30°角的終邊相同:

    ①?搖210°?搖 ②-330°?搖

    ③945°?搖?搖 ④-650°

    (2)下列命題中正確的是( )?搖

    A. 第一象限角一定不是負(fù)角

    B. 小于90°的角一定是銳角

    C. 鈍角一定是第二象限角

    D. 第一象限角一定是銳角

    (3)在0°到360°的范圍內(nèi),找出與下列各角終邊相同的角,并分別判斷它們是第幾象限角:

    ①-55° ②395°8′ ③1563°

    (4)若α是第四象限角,試分別確定-α,180°+α,180°-α是第幾象限角.

    設(shè)計(jì)意圖:課堂時(shí)間充裕則對(duì)學(xué)生進(jìn)行檢測(cè),主要考查學(xué)生對(duì)知識(shí)把握的情況.

    ■回歸與反思

    1. 設(shè)計(jì)思路

    在設(shè)計(jì)本節(jié)內(nèi)容的教學(xué)過(guò)程中,筆者決定運(yùn)用“活動(dòng)單導(dǎo)學(xué)”的教學(xué)模式,設(shè)計(jì)相應(yīng)的活動(dòng)引導(dǎo)學(xué)生自主探究、自主討論、自主合作交流、自主生成相應(yīng)的概念,讓學(xué)生經(jīng)歷概念的探究和生成過(guò)程. 主要依據(jù)有以下幾個(gè)方面:

    (1)“活動(dòng)單導(dǎo)學(xué)”的教學(xué)模式在我市開(kāi)展了十年時(shí)間,這些學(xué)生從小學(xué)開(kāi)始就已經(jīng)接受了這種教學(xué)模式,這些學(xué)生是筆者從高一帶上來(lái)的,筆者知道他們的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)和學(xué)習(xí)能力,完全能夠勝任解決所設(shè)計(jì)的相關(guān)活動(dòng).

    (2)在課堂的引入過(guò)程中,設(shè)計(jì)前兩個(gè)問(wèn)題,引入新的認(rèn)知,緊扣角的定義的本質(zhì)之一“旋轉(zhuǎn)”埋下伏筆;設(shè)計(jì)后兩個(gè)問(wèn)題,緊扣角的定義的本質(zhì)之二“方向”,為零角、正角、負(fù)角打下基礎(chǔ),有利學(xué)生學(xué)通過(guò)自主討論、合作、交流、探究等提煉出相關(guān)的概念.

    (3)在知識(shí)的形成的過(guò)程中,設(shè)計(jì)相應(yīng)的問(wèn)題,引導(dǎo)學(xué)生意識(shí)為什么要引入概念,為什么要這樣定義概念等,突出概念產(chǎn)生的原因,從而引導(dǎo)學(xué)生自然而然地將角的靜態(tài)定義生成為動(dòng)態(tài)定義. 對(duì)“角為什么要放在直角坐標(biāo)系中研究”,可能由于缺少相關(guān)的知識(shí)和能力,采用了部分探究的方法,提高了探究的有效性.

    (4)在知識(shí)的運(yùn)用過(guò)程中,對(duì)例題和習(xí)題的選擇,注意到數(shù)量恰當(dāng)、難度適中,并且要具有典型性、代表性,同時(shí)避免同類型題的簡(jiǎn)單重復(fù). 對(duì)例題和習(xí)題的處理,可讓絕大多數(shù)學(xué)生完成后,請(qǐng)幾個(gè)成績(jī)中等或中等偏下,以及在一些題目中出現(xiàn)典型錯(cuò)誤的學(xué)生,同時(shí)板演所有題目的答案. 如果正確,就不講或進(jìn)行簡(jiǎn)單的點(diǎn)評(píng);如果錯(cuò)誤,讓學(xué)生討論糾正、自主講評(píng),教師引導(dǎo)、總結(jié)、提煉.

    (5)在課堂小結(jié)的過(guò)程中,可以在教師的引導(dǎo)下,讓學(xué)生進(jìn)行自主小結(jié),也可以是教師自己進(jìn)行總結(jié).課堂小結(jié)要突出教學(xué)目標(biāo),突出教學(xué)要點(diǎn),不僅僅要對(duì)知識(shí)進(jìn)行總結(jié),而且對(duì)與本堂課有關(guān)的思想方法進(jìn)行總結(jié).

    (6)在課堂檢測(cè)的選題過(guò)程中,課堂檢測(cè)可以幫助學(xué)生加深和鞏固本堂課的知識(shí)、方法等,同時(shí)也能幫助學(xué)生形成相關(guān)的技能和解決問(wèn)題的能力. 不僅如此,也能檢測(cè)到學(xué)生的學(xué)習(xí)水平,讓教師及時(shí)了解到學(xué)生對(duì)知識(shí)的掌握情況,以便在后續(xù)教學(xué)中進(jìn)行糾錯(cuò)和補(bǔ)償.

    2. 反思

    從教學(xué)的過(guò)程與結(jié)果來(lái)看,本堂課基本實(shí)現(xiàn)了筆者的活動(dòng)單所設(shè)計(jì)的內(nèi)容,課堂進(jìn)展比較流暢,學(xué)生基本能通過(guò)自主探究、小組合作、討論交流,發(fā)現(xiàn)角的概念推廣的必要性,能夠完成相應(yīng)概念的生成,能夠?qū)ο嚓P(guān)知識(shí)進(jìn)行應(yīng)用. 這節(jié)課學(xué)生不僅增加了知識(shí),培養(yǎng)了思維,提高了數(shù)學(xué)的素養(yǎng),還讓所有的學(xué)生都產(chǎn)生了成就感,在教師的引導(dǎo)下構(gòu)建了新的數(shù)學(xué)知識(shí)體系.

    由于課堂時(shí)間的有限以及學(xué)生的個(gè)體差異,在課堂引入部分,沒(méi)有充足的時(shí)間進(jìn)行舉例,沒(méi)有給學(xué)生足夠的想象空間,這樣由于部分學(xué)生的認(rèn)知水平的限制,在構(gòu)建“角”的過(guò)程中,容易產(chǎn)生表面化、片面性的理解,不利用他們對(duì)實(shí)例共同特征的歸納、概括以便形成角的定義,更不能讓學(xué)生很好地認(rèn)識(shí)和把握概念的準(zhǔn)確內(nèi)涵.

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