“問(wèn)題導(dǎo)學(xué)”教學(xué)模式下圓錐曲線中斜率之積問(wèn)題的教學(xué)案例及反思

宋東勝 鄧城

[摘 要] 本文通過(guò)對(duì)圓錐曲線中斜率之積問(wèn)題的教學(xué)現(xiàn)狀分析，在“問(wèn)題導(dǎo)學(xué)”教學(xué)模式的理論指導(dǎo)下，利用超級(jí)畫(huà)板軟件輔助教學(xué)的優(yōu)勢(shì)，設(shè)計(jì)了針對(duì)性的專題教學(xué)課，并在教學(xué)實(shí)踐中進(jìn)行初步反思.

[關(guān)鍵詞] 問(wèn)題導(dǎo)學(xué)；圓錐曲線；超級(jí)畫(huà)板

■問(wèn)題的提出

圓錐曲線中有許多優(yōu)美且重要的性質(zhì)，然而，現(xiàn)行教材只講了圓錐曲線最基本的性質(zhì)，其他部分性質(zhì)僅以例題或習(xí)題的形式出現(xiàn)，其背后隱藏的本質(zhì)規(guī)律在教學(xué)大綱中沒(méi)有教學(xué)要求，這對(duì)于減輕大部分普通學(xué)生的學(xué)習(xí)壓力來(lái)說(shuō)有一定的作用. 但由于應(yīng)用某些性質(zhì)、結(jié)論，往往能快速地解決看起來(lái)頗為棘手的問(wèn)題，并且許多高考題也經(jīng)常以某些性質(zhì)作為命制背景，因此從考試這根指揮棒出發(fā)，在教學(xué)中根據(jù)學(xué)生的學(xué)習(xí)水平適當(dāng)?shù)匮a(bǔ)充一些常見(jiàn)性質(zhì)是可取的，也是常見(jiàn)的. 但筆者在實(shí)際教學(xué)中卻發(fā)現(xiàn)，對(duì)于教師補(bǔ)充的性質(zhì)、規(guī)律，學(xué)生掌握得并不好，一是印象不夠深刻，容易遺忘；二是學(xué)生對(duì)于補(bǔ)充的性質(zhì)一知半解，不會(huì)靈活應(yīng)用. 原因何在？筆者認(rèn)為，其中一個(gè)重要的原因是，教師沒(méi)有把額外添加的教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行合理地教學(xué)設(shè)計(jì)，只是生硬地強(qiáng)加給學(xué)生，且沒(méi)有后續(xù)的強(qiáng)化訓(xùn)練. 鑒于此，筆者近年來(lái)在數(shù)學(xué)信息技術(shù)軟件——超級(jí)畫(huà)板的支持下，對(duì)圓錐曲線中補(bǔ)充性質(zhì)的教學(xué)進(jìn)行了初步探討和實(shí)踐，現(xiàn)以圓錐曲線中斜率之積為定值的問(wèn)題為例，“曬出”一個(gè)經(jīng)過(guò)初步思考和實(shí)踐的教學(xué)案例，以期起到拋磚引玉的作用.

■學(xué)情分析

筆者所在學(xué)校為國(guó)家級(jí)示范性高中，學(xué)生的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)相對(duì)較好. 近年來(lái)，學(xué)校推行“問(wèn)題導(dǎo)學(xué)”教學(xué)模式，教師注重問(wèn)題的設(shè)計(jì)和引導(dǎo)，大部分學(xué)生養(yǎng)成了自主學(xué)習(xí)、合作探究、展示交流的學(xué)習(xí)習(xí)慣，良好的教學(xué)生態(tài)環(huán)境逐漸形成. 此時(shí)，學(xué)生已經(jīng)學(xué)完圓錐曲線章節(jié)的內(nèi)容，開(kāi)始進(jìn)行章節(jié)復(fù)習(xí). 大部分學(xué)生對(duì)圓錐曲線中基本概念、基本性質(zhì)的理解比較到位，能夠使用定義解決某些簡(jiǎn)單問(wèn)題，也對(duì)“點(diǎn)差法”和“設(shè)而不求”的方法有了一定的理解和應(yīng)用. 學(xué)生存在的問(wèn)題主要有：對(duì)圓錐曲線中的運(yùn)算問(wèn)題不夠熟練，對(duì)多個(gè)變量中蘊(yùn)含的關(guān)系難以尋找，部分學(xué)生還因圓錐曲線內(nèi)容的繁難存在懼怕心理.

鑒于以上情況，筆者在“問(wèn)題導(dǎo)學(xué)”教學(xué)模式理論的指導(dǎo)下，充分借助信息技術(shù)輔助教學(xué)的優(yōu)勢(shì)，設(shè)計(jì)并執(zhí)教了如下專題教學(xué)課.

■教學(xué)設(shè)計(jì)和教學(xué)過(guò)程（節(jié)選）

（說(shuō)明：本專題教學(xué)課需2課時(shí)，課堂上給了學(xué)生較多的自主探究和合作學(xué)習(xí)時(shí)間）

【問(wèn)題1】？搖 （課本原題再現(xiàn)，人教版選修2-1 P41例3）設(shè)點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（-5，0），（5，0），直線AM與BM交于點(diǎn)M，且它們的斜率之積是-■，求點(diǎn)M的軌跡方程.

設(shè)計(jì)意圖：剛開(kāi)始復(fù)習(xí)時(shí)，要從基礎(chǔ)開(kāi)始，循序漸進(jìn). 課本中的經(jīng)典例題反映了核心概念和解題的基本方法，許多高考題的題根就來(lái)自課本，本題簡(jiǎn)單卻又蘊(yùn)含著背后的一系列規(guī)律，可以從此題出發(fā)，順藤摸瓜，溫故而知新.

生1：（用直接法解答）設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，y），表示出直線AM，BM的斜率，然后相乘易得點(diǎn)M的軌跡方程為■+■=1（x≠±5）.

師：很好，軌跡是個(gè)挖掉左右兩頂點(diǎn)的橢圓. 那-■與橢圓方程中的a，b，c有什么關(guān)系呢？

生2：-■=-■.

師：如果題目中的條件由“斜率之積是-■”改為“斜率之積是-■”，結(jié)果如何？

生3：結(jié)論仍然是挖掉左右兩頂點(diǎn)的橢圓，不過(guò)結(jié)論會(huì)變成■+■=1（x≠±5），且-■=-■.

師：反過(guò)來(lái)，已知橢圓方程為■+■=1（a>b>0），橢圓上的一點(diǎn)P（不是左、右頂點(diǎn)）與長(zhǎng)軸兩端點(diǎn)連線的斜率之積是定值嗎？

生4：是，且斜率之積是-■.

（教師用超級(jí)畫(huà)板演示點(diǎn)P在橢圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)斜率之積為定值的情況，于是很自然就得到下面的性質(zhì)1）

性質(zhì)1：橢圓■+■=1（a>b>0）上任意一點(diǎn)P與長(zhǎng)軸兩頂點(diǎn)連線的斜率之積為-■.

師：如果a=b呢？

生5：a=b時(shí)就不是橢圓而是圓了，但此時(shí)仍有斜率之積為-1=-■.

【問(wèn)題2】？搖 橢圓具有這個(gè)性質(zhì)，那雙曲線呢？結(jié)論一樣嗎？

學(xué)生躍躍欲試，很快就發(fā)現(xiàn)雙曲線中也有類似的性質(zhì)，教師繼續(xù)用超級(jí)畫(huà)板展示，得出性質(zhì)2.

性質(zhì)2：雙曲線■-■=1（a，b>0）上任意一點(diǎn)P與實(shí)軸兩頂點(diǎn)連線的斜率之積為■.

例1：設(shè)A，B是橢圓■+■=1長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)，C，D是垂直于AB的弦的端點(diǎn)，則直線AC與BD的交點(diǎn)M的軌跡方程是__________.

設(shè)計(jì)意圖：筆者在課前曾將此題給幾個(gè)基礎(chǔ)一般的學(xué)生做，結(jié)果他們覺(jué)得題目中的變量較多，不知道解題方向. 基于此，筆者選取此題引導(dǎo)學(xué)生加強(qiáng)對(duì)解析幾何中“斜率”這個(gè)核心概念的重視和感悟.

生6：可根據(jù)題意畫(huà)出圖1. 由已知不妨設(shè)A（-3，0），B（3，0），C（x1，y1），則D（x1，-y1），再設(shè)交點(diǎn)M（x，y）. 由A，C，M三點(diǎn)共線，得■=■ ①；又D，B，M三點(diǎn)共線，所以■=■②. ①×②得■=■. 因?yàn)椤?■=1，所以■=■. 所以■=■. 所以點(diǎn)M的軌跡方程是■-■=1.

■

圖1

師：不錯(cuò)！這個(gè)方法利用三點(diǎn)共線表達(dá)出斜率后將①②相乘再化簡(jiǎn)，變化巧妙，但不容易想到. 剛才，我們發(fā)現(xiàn)了新的性質(zhì)，現(xiàn)在有更快的方法嗎？

生7：注意到A，B是橢圓長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)，且由橢圓的對(duì)稱性有kMB=kMD=-kCB，利用性質(zhì)1，有kCAkCB=-■，所以kMB·kMA=-kCB·kCA=■=■. 故點(diǎn)M的軌跡方程是以A，B為頂點(diǎn)的雙曲線，方程為■-■=1.

師：漂亮！大家是不是還感覺(jué)意猶未盡呢？請(qǐng)看下面的變式題，剛才還沒(méi)反應(yīng)過(guò)來(lái)的同學(xué)，這次可要抓緊機(jī)會(huì)啦！

變式題：設(shè)A，B是雙曲線■-■=1實(shí)軸的兩個(gè)頂點(diǎn)，C，D是垂直于AB的弦的端點(diǎn)，則直線AC與BD的交點(diǎn)M的軌跡方程是__________？搖.

【問(wèn)題3】？搖 把兩頂點(diǎn)換成其他兩點(diǎn)，那么斜率之積還會(huì)是定值嗎？例如A，B是橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn).

設(shè)計(jì)意圖：性質(zhì)1和性質(zhì)2是基礎(chǔ)，同時(shí)A，B為頂點(diǎn)的條件要求太高，現(xiàn)改變條件，擴(kuò)大范圍，引導(dǎo)學(xué)生跳出原有的思維定式嘗試探究新情境下的問(wèn)題，提升學(xué)生的遷移能力. 另外，考慮到學(xué)生的實(shí)際能力和教學(xué)時(shí)間限制，同時(shí)也為了增強(qiáng)學(xué)生的直觀感受，可利用超級(jí)畫(huà)板展示實(shí)驗(yàn)過(guò)程，必要時(shí)請(qǐng)學(xué)生操作，在實(shí)驗(yàn)中進(jìn)行觀察，得出猜想，然后讓學(xué)生加以證明，盡量讓所求問(wèn)題處在學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”內(nèi).

教師利用超級(jí)畫(huà)板給學(xué)生演示實(shí)驗(yàn)（圖2），移動(dòng)點(diǎn)P，發(fā)現(xiàn)仍然有結(jié)論kPA·kPB=-■. 轉(zhuǎn)動(dòng)AB，結(jié)論仍然成立！

■

圖2

學(xué)生在對(duì)結(jié)論感到驚訝之余，也對(duì)證明該結(jié)論有了征服的欲望和成功的信心. 通過(guò)運(yùn)算，易得下面的性質(zhì)3和性質(zhì)4.

性質(zhì)3：已知A，B是橢圓■+■=1（a>b>0）上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，P是橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，則有kPA·kPB=-■.

性質(zhì)4：已知A，B是雙曲線■-■=1（a，b>0）上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，P是雙曲線上一動(dòng)點(diǎn)，則有kPA·kPB=■.

例2：已知雙曲線■-■=1（a，b>0），過(guò)x軸上一點(diǎn)P的直線l與雙曲線的右支交于M，N兩點(diǎn)（M在第一象限），直線MO交雙曲線左支于點(diǎn)Q（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），連接QN. 若∠MPO=60°，∠MNQ=30°，則該雙曲線的離心率為（ ）

A. ■？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖 B. ■

C. 2？搖？搖？搖？搖？搖？搖 D. 4

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生在本題若是用常規(guī)解法，通常不知從何處下手，有“山窮水盡疑無(wú)路”之感，但在學(xué)習(xí)了性質(zhì)4之后，則有“柳暗花明又一村”的舒暢.

生8：如圖3，注意到M，Q兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且點(diǎn)N在雙曲線上，由性質(zhì)4則有kNQ·kNM=■. 由∠MPO=60°得kNM=tan（180°-∠MPO）=tan120°=-■，由∠MNQ=30°得kNQ=tan（∠OPN+∠PNQ）=tan（120°+30°）=-■，故有kNQ·kNM=■=1，所以離心率e=■=■，選A.

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圖3

變式1：已知直線y=■x與橢圓C：■+■=1（a>b>0）相交于A，B兩點(diǎn)，若橢圓上存在點(diǎn)P，使得△ABP是等邊三角形，則橢圓C的離心率e=__________.

設(shè)計(jì)意圖：本題的條件比例2更加隱蔽，更能鍛煉學(xué)生的觀察能力和靈活使用性質(zhì)的能力.

教師先展示常規(guī)解法：如圖4，由y=■x，■+■=1 ？圯x2=■，y2=■，所以O(shè)A2=■. 由題設(shè)，直線OP的方程為x= -■y，由x=-■y，■+■=1？圯x2=■，y2=■. 所以O(shè)P2=■. 所以■=■=3，即■=3，解得e=■.

■

圖4

師：有沒(méi)有其他思路？

生9：設(shè)y=■x的傾斜角為θ，則有tanθ=■，k■=tan∠AED=tan（θ+60°），kPB=tan∠ODB=tan（θ-60°），所以kPA·kPB=tan（θ+60°）·tan（θ-60°）=-■. 又由性質(zhì)3得kPA·kPB=-■，所以■=■. 所以e=■.

變式2：已知直線y=■x與雙曲線C：■-■=1（a，b>0）的左、右兩支分別交于A，B兩點(diǎn). 若雙曲線上存在點(diǎn)C，使得△ABC是等腰直角三角形，則雙曲線的離心率e=__________.

（注：考慮到課堂時(shí)間限制，可將此變式作為課后練習(xí)題，此題的圖如圖5）

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圖5

例3：已知橢圓■+■=1，A，B是其左、右頂點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M滿足MB⊥AB，連接AM交橢圓于點(diǎn)P，在x軸上有異于點(diǎn)A，B的定點(diǎn)Q，以MP為直徑的圓經(jīng)過(guò)直線BP，MQ的交點(diǎn)，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為？搖_________.

生10：如圖6，因?yàn)橐訫P為直徑的圓經(jīng)過(guò)直線BP，MQ的交點(diǎn)，所以kMQ·kPB= -1. 又因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓上，所以kPA·kPB= -■=-■. 所以■=4. 又kMQ=■，kPA=kMA=■=■，所以■=4. 所以QB=2. 所以點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（2，0）.

■

圖6

【問(wèn)題4】 前面的性質(zhì)均可通過(guò)類比圓獲得，那么在橢圓中動(dòng)弦AB的斜率與誰(shuí)有關(guān)呢？

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)通過(guò)類比思想發(fā)現(xiàn)其他有關(guān)斜率之積的性質(zhì)，并在證明中強(qiáng)化學(xué)生“點(diǎn)差法”和“設(shè)而不求”的解題方法.

生：類比圓，橢圓有動(dòng)弦AB的斜率與其中點(diǎn)M和橢圓中心O連線的斜率之積為定值.

師：定值為多少呢？

生11：類比前面的性質(zhì)，橢圓中應(yīng)有斜率之積為定值kOM·kAB=-■.

師：如何證明呢？

生11：可以使用“設(shè)而不求”的方法，即先設(shè)動(dòng)弦AB的直線方程為y=kx+m，聯(lián)立直線方程和橢圓方程，再根據(jù)韋達(dá)定理……

生12：涉及中點(diǎn)的問(wèn)題可以考慮使用“點(diǎn)差法”！

師：那請(qǐng)同學(xué)們動(dòng)手證明一下，看看哪種方法快些.

一番證明后，同學(xué)們很快發(fā)現(xiàn)，用“點(diǎn)差法”簡(jiǎn)單快捷，且容易得到性質(zhì)5.

性質(zhì)5：橢圓■+■=1（a>b>0）上有不與兩坐標(biāo)軸垂直的弦AB，M為AB的中點(diǎn)，則有kOM·kAB=-■. （注：可以告訴學(xué)生2015年全國(guó)Ⅱ卷第20題第（1）問(wèn)就是證明這個(gè)性質(zhì)）

類比前面的性質(zhì)，再次使用“點(diǎn)差法”，同樣可以得到雙曲線的類似性質(zhì)（性質(zhì)6）.

性質(zhì)6：雙曲線■-■=1（a，b>0）上有不與兩坐標(biāo)軸垂直的弦AB，M為AB的中點(diǎn)，則有kOM·kAB=■.

教師通過(guò)超級(jí)畫(huà)板演示性質(zhì)，加深學(xué)生的直觀印象.

師：有了這個(gè)性質(zhì)，我們可以快速解決與弦中點(diǎn)有關(guān)的圓錐曲線問(wèn)題，請(qǐng)看下面的例題.

例4：（2013年全國(guó)Ⅰ卷第10題）已知橢圓E：■+■=1（a>b>0）的右焦點(diǎn)為F（3，0），過(guò)點(diǎn)F的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，若AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為（1，-1），則E的方程為（ ）

A. ■+■=1？搖 B. ■+■=1

C. ■+■=1？搖？搖？搖 D. ■+■=1

師：原來(lái)我們要用什么方法做這個(gè)題目？

生13：“設(shè)而不求”方法或者“點(diǎn)差法”，但現(xiàn)在直接利用性質(zhì)5更快，幾乎可以口算出答案！kAB=■=■，kOM=-1，所以有kOM·kAB=-■=-■，所以■=■. 只有D選項(xiàng)符合要求.

師：繼續(xù)使用類比思想，橢圓的弦AB變成切線時(shí)有何結(jié)論？

生13：橢圓中心與切點(diǎn)連線的斜率和切線的斜率之積仍為定值-■.

師：沒(méi)錯(cuò)，同學(xué)們不妨把相切看成性質(zhì)5的特殊（極限）情形，弦AB的斜率變?yōu)榍芯€的斜率，OM的斜率變?yōu)镺與切點(diǎn)連線的斜率，于是結(jié)論仍然成立. 也可以類比圓得到結(jié)論.

通過(guò)超級(jí)畫(huà)板容易驗(yàn)證，無(wú)論是橢圓還是雙曲線，弦變切線時(shí)結(jié)論均成立，性質(zhì)如下.

性質(zhì)7：直線l為橢圓■+■=1（a>b>0）的一條切線，M為切點(diǎn)，則有kOM·kl= -■.

性質(zhì)8：直線l為雙曲線■-■=1（a，b>0）的一條切線，M為切點(diǎn)，則有kOM·kl=■.

例5：（2016年鄭州模擬）如圖7，內(nèi)、外兩個(gè)橢圓的離心率相同，從外層橢圓頂點(diǎn)向內(nèi)層橢圓引切線AC，BD，設(shè)內(nèi)層橢圓方程為■+■=1（a>b>0），若直線AC與BD的斜率之積為-■，則橢圓的離心率為（ ）

A. ■？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖 B. ■

C. ■？搖？搖？搖？搖？搖？搖 D. ■

■

圖7

設(shè)計(jì)意圖：此題從常規(guī)解題思路入手，非常煩瑣，但使用前面的新性質(zhì)和應(yīng)用類比的思想能快速迎刃而解，可以考查學(xué)生對(duì)前面性質(zhì)的掌握情況和遷移能力.

學(xué)生通過(guò)自主探究和合作交流，得到了以下解法.

解法1：應(yīng)用類比思想，將橢圓類比到圓，按原條件作圖，如圖8. 易證此時(shí)直線AC與BD垂直，kAC·kBD=-1，伸縮變換回原題中的橢圓，則應(yīng)有kAC·kBD=-■= -■，故所求離心率e=■，選C.

■

圖8

解法2：應(yīng)用特殊化思想. 注意到橢圓的對(duì)稱性，過(guò)點(diǎn)B作橢圓的另一條切線BD′，有kBD=-kBD′，考慮到直線AC與BD的斜率之積為-■，是定值，而內(nèi)、外橢圓只是離心率相同，因此可使用極端值法，調(diào)節(jié)內(nèi)層橢圓的大小，使切線BD′與AC共線，此時(shí)有kAC=kBD′=-■，故由kAC·kBD=-■得-■=-■，故所求離心率e=■.

解法3：利用前面所學(xué)性質(zhì). 由內(nèi)、外層橢圓的離心率相同，可設(shè)外層橢圓方程為■+■=n，切點(diǎn)C（x1，y1），則切線AC的方程為■+■=1. 因?yàn)锳（a■，0）在切線AC上，所以■=1. 所以x1=■. 又因?yàn)镃（x1，y1）在橢圓■+■=1上，所以y1=b■. 故kOC=■=■■. 又由橢圓的性質(zhì)kOC·kAC=-■得kAC= -■. 設(shè)D（x2，y2），則切線BD的方程為■+■=1. 因?yàn)锽（0，b■）在切線BD上，所以y2=■. 又因?yàn)镈（x2，y2）在橢圓■+■=1上，所以x2=-a■. 故有kOD=■=-■. 又由橢圓的性質(zhì)kOD·kBD=-■得kBD=■■. 所以kAC·kBD=-■=-■. 所以e=■.

師：事實(shí)上，前述的求解過(guò)程也證明了一個(gè)相似橢圓的性質(zhì).

性質(zhì)9：如圖7，內(nèi)、外兩個(gè)橢圓的離心率相同，從外層橢圓頂點(diǎn)向內(nèi)層橢圓引切線AC，BD，設(shè)內(nèi)層橢圓方程為■+■=1（a>b>0），則直線AC與BD的斜率之積為定值-■.

■幾點(diǎn)反思

教師的教以學(xué)生的主動(dòng)學(xué)習(xí)為基礎(chǔ). 首先，學(xué)生是認(rèn)識(shí)的主體；其次，學(xué)生的學(xué)是教師教的出發(fā)點(diǎn)和歸宿. 那么，如何激發(fā)學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)的積極性呢？筆者認(rèn)為，精心設(shè)計(jì)好問(wèn)題是前提，導(dǎo)學(xué)得當(dāng)是關(guān)鍵.

數(shù)學(xué)家哈爾斯說(shuō)：“問(wèn)題是數(shù)學(xué)的心臟.” 圓錐曲線中的斜率概念是核心概念，它用代數(shù)形式刻畫(huà)了直線的位置，許多圓錐曲線的性質(zhì)都涉及斜率. 其中，斜率之積為定值的問(wèn)題在教材中以例題的形式出現(xiàn)，但并沒(méi)有“點(diǎn)破”隱藏在問(wèn)題背后的本質(zhì)規(guī)律，正如本文開(kāi)頭所述，教材這樣處理有其目的，但這也給部分教師提出了挑戰(zhàn)：我們都知道要“用教材教”，那么，面對(duì)“喂不飽”的學(xué)生，教師應(yīng)設(shè)計(jì)怎樣的問(wèn)題，才能激發(fā)學(xué)生主動(dòng)探索，一步步撥開(kāi)迷霧，發(fā)現(xiàn)真相？筆者結(jié)合教學(xué)嘗試和實(shí)踐反思，認(rèn)為設(shè)計(jì)問(wèn)題要做到以下幾點(diǎn).

1. 要“集中火力”，不要“靈機(jī)一動(dòng)”

斜率之積為定值的問(wèn)題并非教材“規(guī)定”的教學(xué)內(nèi)容，筆者以往的做法是將這個(gè)問(wèn)題滲透在平常的圓錐曲線教學(xué)中，碰到相關(guān)的問(wèn)題時(shí)想到了就提一下，結(jié)果造成大部分學(xué)生理解地半生不熟，知識(shí)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)凌亂，碰到類似問(wèn)題也不懂得應(yīng)用. 容易出現(xiàn)教師自己感覺(jué)講了很多遍，但學(xué)生還是似懂非懂，教學(xué)效益低下的情況. 與其這樣?xùn)|一榔頭西一棒子，還不如集中火力，設(shè)計(jì)好一系列關(guān)聯(lián)問(wèn)題，花費(fèi)1～2課時(shí)的時(shí)間逐個(gè)擊破，讓學(xué)生得到較為深刻的理解和記憶，而在平常碰到類似問(wèn)題時(shí)，則適當(dāng)點(diǎn)撥提醒，鼓勵(lì)學(xué)生應(yīng)用所學(xué)的新性質(zhì)解決問(wèn)題.

2. 要“鋪設(shè)臺(tái)階”，不要“一步登天”

大部分學(xué)生都覺(jué)得圓錐曲線問(wèn)題難度較大，不少學(xué)生存在逃避心理，因此在設(shè)計(jì)斜率之積為定值的問(wèn)題時(shí)，宜從教材中的問(wèn)題引申提出，由特殊到一般，從具體到抽象，采用問(wèn)題鏈的形式，多鋪設(shè)幾個(gè)臺(tái)階，讓盡量多的學(xué)生能跟上步驟，也保持學(xué)生進(jìn)一步探索的信心. 筆者反對(duì)過(guò)早提出總結(jié)性的結(jié)論，因?yàn)檫@樣做會(huì)讓學(xué)生缺乏逐漸發(fā)現(xiàn)、逐漸認(rèn)識(shí)的過(guò)程，擺在學(xué)生面前的性質(zhì)結(jié)論只會(huì)成為空洞的、冷漠的一堆數(shù)學(xué)符號(hào)，教學(xué)效果可想而知. 筆者也反對(duì)不顧學(xué)生的理解水平，拔高結(jié)論的理解層次. 例如，本文所提的斜率之積問(wèn)題，站在更高的角度看，是幾何中的仿射變換問(wèn)題，但這對(duì)許多學(xué)生（個(gè)別尖子生除外）來(lái)說(shuō)，不但超出了理解水平，增加了學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)，還影響了其繼續(xù)學(xué)好解析幾何的信心. 筆者認(rèn)為，通過(guò)在“最近發(fā)展區(qū)”內(nèi)不斷設(shè)計(jì)好問(wèn)題，讓學(xué)生積極嘗試，發(fā)現(xiàn)性質(zhì)，并能用類比圓的思想來(lái)理解和記憶橢圓和雙曲線中的新性質(zhì)，就可以了.

3. 要“前后類比”，不要“顧此失彼”

圓錐曲線中斜率之積為定值的性質(zhì)比較多，橢圓和雙曲線中都有性質(zhì)，并且既有弦的情形，又有切線的情形，倘若不注意，不從諸多性質(zhì)的內(nèi)在關(guān)聯(lián)和難易變化中精心設(shè)計(jì)問(wèn)題的順序排布，則容易讓學(xué)生產(chǎn)生混淆，顧此失彼，也記不牢. 筆者在設(shè)計(jì)問(wèn)題時(shí)，盡量抓住橢圓與圓的類比、雙曲線與橢圓的類比、弦的情形與切線的情形類比，有機(jī)銜接問(wèn)題，讓學(xué)生在類比中觸類旁通地解決問(wèn)題，發(fā)現(xiàn)性質(zhì).

設(shè)計(jì)好問(wèn)題后，如何“導(dǎo)學(xué)”成了關(guān)鍵. 問(wèn)題設(shè)計(jì)得再好，那也只是預(yù)設(shè)，學(xué)生的學(xué)習(xí)效果還要看教師如何引導(dǎo)，如何處理課堂中各種問(wèn)題的生成. 正如有了一流的食材，但給了一個(gè)不諳烹飪的廚師，那結(jié)果也可能是暴殄天物. 特別是圓錐曲線中斜率之積問(wèn)題的專題教學(xué)存在學(xué)習(xí)難度較大、結(jié)論較多等情況，所以教師在“導(dǎo)學(xué)”過(guò)程中應(yīng)注意以下幾點(diǎn).

（1）要注意數(shù)形結(jié)合思想的強(qiáng)調(diào). 雖然解析幾何是用代數(shù)的思想解決幾何問(wèn)題，但其本質(zhì)歸根到底還是幾何問(wèn)題，且類比回圓后學(xué)生更容易找到橢圓和雙曲線中類似的幾何特征. 課堂中，教師首先要讓學(xué)生從數(shù)形結(jié)合的思想嘗試解決問(wèn)題，且在課終小結(jié)階段引導(dǎo)學(xué)生自行畫(huà)圖以表達(dá)諸多性質(zhì).

（2）宜借助信息技術(shù)來(lái)輔助教學(xué). 圓錐曲線中的相關(guān)性質(zhì)只靠紙筆畫(huà)圖觀察是難以確定量與量之間的關(guān)系的，通過(guò)超級(jí)畫(huà)板之類的軟件，可以便捷直觀地進(jìn)行數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，其中量的變化情況能準(zhǔn)確測(cè)量和記錄，從而幫助學(xué)生觀察變化，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，獲得初步的結(jié)論猜想. 超級(jí)畫(huà)板也可用于驗(yàn)證證明出的結(jié)論，強(qiáng)化結(jié)論的理解和記憶. 另外，值得一提的是，解析幾何的計(jì)算和證明相對(duì)來(lái)說(shuō)比較枯燥、煩瑣，而超級(jí)畫(huà)板軟件的引導(dǎo)則如清風(fēng)拂面，學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和專注力會(huì)提升不少. 事實(shí)上，筆者欣喜地看到，部分學(xué)生課余時(shí)間都能利用超級(jí)畫(huà)板軟件研究起一些解析幾何問(wèn)題來(lái)，這也是筆者提倡的“做中學(xué)”學(xué)習(xí)方式.

（3）引導(dǎo)學(xué)生從一般和特殊的聯(lián)系觀點(diǎn)來(lái)思考問(wèn)題. 面對(duì)問(wèn)題的一般情形，要引導(dǎo)學(xué)生先從特殊情況入手，這樣容易找到規(guī)律特征. 而面對(duì)一個(gè)問(wèn)題的特殊情形，我們還要看一般情形能否成立. 斜率之積為定值的諸多相關(guān)性質(zhì)之間存在著許多一般和特殊的關(guān)系，例如性質(zhì)1、性質(zhì)2分別是性質(zhì)3和性質(zhì)4的特殊情形，性質(zhì)7和性質(zhì)8分別可以看成性質(zhì)5和性質(zhì)6的特殊（極端）情形. 這樣引導(dǎo)，有利于學(xué)生加深對(duì)性質(zhì)的理解和應(yīng)用，也有利于學(xué)生在其他內(nèi)容學(xué)習(xí)中達(dá)到知識(shí)的遷移，并最終促進(jìn)學(xué)生自主學(xué)習(xí)能力的提升.

（4）應(yīng)注重學(xué)習(xí)的螺旋式上升，避免揠苗助長(zhǎng). 圓錐曲線中斜率之積為定值的問(wèn)題屬于難度較大的教學(xué)內(nèi)容，預(yù)設(shè)得再好，在實(shí)際教學(xué)中也可能出現(xiàn)預(yù)想不到的困難. 預(yù)設(shè)問(wèn)題碰到學(xué)生冷場(chǎng)時(shí)，可以適當(dāng)調(diào)整問(wèn)題難度，退到較為簡(jiǎn)單的特殊情形，喚醒學(xué)生的思維，等待學(xué)生意識(shí)到前后兩個(gè)問(wèn)題間存在某種關(guān)聯(lián)時(shí)，再次對(duì)原預(yù)設(shè)問(wèn)題進(jìn)行攻堅(jiān)突破，這也是一種以退為進(jìn)的策略. 當(dāng)然，若是退一步，學(xué)生還接受不了，則應(yīng)戰(zhàn)略性地放棄，將寶貴的教學(xué)時(shí)間放在其他問(wèn)題的突破上，因?yàn)橛猩岵庞械? 例如，在本課例的設(shè)計(jì)中，部分例題和變式題的難度較大，部分學(xué)生一下子接受不了很正常，可以先放一放，讓學(xué)生在后續(xù)的學(xué)習(xí)中再慢慢消化，融會(huì)貫通.