基于考題分析的圓錐曲線內(nèi)容備考探究

羅義銘++湯強(qiáng)

摘 要： 2016年全國將有26個?。ㄊ校┦褂萌珖y(tǒng)一命題試卷，而且圓錐曲線是每年高考中的一個必考內(nèi)容，那么全國統(tǒng)一命題試卷在圓錐曲線的考查有什么樣的特點(diǎn)？針對這些特點(diǎn)，如何備考呢？本文主要通過對六年的全國卷高考試題圓錐曲線部分進(jìn)行分析研究，以期對復(fù)習(xí)備考有些許指導(dǎo)意義.

關(guān)鍵詞： 圓錐曲線 全國卷 備考

圓錐曲線是高中數(shù)學(xué)課程中解析幾何部分的核心內(nèi)容，是學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)幾何的重要基礎(chǔ).由于它具有豐富的思想性（其包含了大量的數(shù)學(xué)思想方法，如：數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想、分類討論思想，函數(shù)與方程思想、函數(shù)與不等式思想、整體思想、待定系數(shù)法、坐標(biāo)法等）、較強(qiáng)的綜合性（它能很好地與其他知識（如函數(shù)、數(shù)列、向量、不等式、三角等）相結(jié)合）、計(jì)算的復(fù)雜性（運(yùn)算量大）、題目的靈活性（形式多變，題源背景豐富）等特點(diǎn)，它能很好地考查學(xué)生的數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)、運(yùn)算求解能力、分析問題和解決問題的能力和情感意志等數(shù)學(xué)素養(yǎng)，因而成為數(shù)學(xué)高考中的一個必考熱點(diǎn)[1].

隨著教育公平的不斷推進(jìn)，2016年全國將有26個省（市）使用全國統(tǒng)一命題試卷，那么在這樣的背景下，對于圓錐曲線這一必考內(nèi)容，應(yīng)如何備考以迎接即將到來的高考呢？在此對近六年的全國新課標(biāo)卷的圓錐曲線考題進(jìn)行初步分析，以期對備考有些許指導(dǎo)意義.

1.考題解讀

1.1考題所涉內(nèi)容分析。

圓錐曲線的考查主要以橢圓、雙曲線、拋物線及其中二者的綜合為對象，考查形式主要有選擇題、填空題和解答題三種形式，其中選擇題與填空題、解答題在表1中分別以“小”、“大”代替.自2010年出現(xiàn)全國新課標(biāo)卷以來，全國統(tǒng)一命題的新課標(biāo)卷共18套，文、理各9套，其中2013、2014、2015年這三年每年有全國新課標(biāo)卷Ⅰ、Ⅱ兩套，2010、2011、2012年每年僅有1套全國新課標(biāo)卷，其在圓錐曲線的考查對象上的數(shù)據(jù)如表1.

表1 2010—2015年全國新課標(biāo)卷（理科）圓錐曲線考查內(nèi)容分布情況

從表1和表2我們可以看出，在近六年的新課標(biāo)全國卷中，從總體上看，無論是文科還是理科，對圓錐曲線的考查都是以橢圓為主要考查對象，在選擇、填空、解答三種題型中均有分布，基本上以“兩小一大”的方式考查，其中解答題共考查了8次，分值達(dá)94分之多，選擇和填空共考查了8次，分值占40分，累計(jì)考查分?jǐn)?shù)為134分；拋物線以解答題的形式考查了3次，分值為36分，以選擇和填空的形式考查了8次，分值為40分，累計(jì)考查分?jǐn)?shù)為76分；對于雙曲線則全部以選擇或填空題的方式進(jìn)行考查，共12次，分值為60分.這無疑說明了全國新課標(biāo)卷對雙曲線、拋物線的要求大大降低了，同時又相應(yīng)提升了橢圓的地位，這對我們的復(fù)習(xí)備考有著重要的指向作用[2].

1.2考題所涉具體知識點(diǎn)分析。

由于圓錐曲線的綜合性較強(qiáng)，對它的考查往往與其他知識相結(jié)合進(jìn)行，從總體上來看，其考查的知識點(diǎn)主要圓錐曲線的定義、圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、離心率、準(zhǔn)線、漸近線、弦長公式、切線、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系、點(diǎn)到直線的距離、兩直線的位置關(guān)系、直線的傾斜角、斜率與方程、兩直線平行或垂直、兩點(diǎn)間的距離公式、點(diǎn)到直線的距離公式、三角形面積、平面向量等.在近六年的全國新課標(biāo)卷中，對各部分知識的考查情況下如表2：

表3 2010-2015年全國新課標(biāo)卷圓錐曲線知識點(diǎn)考查分布情況

注：由于高考屬于選拔性考試，因此其具有綜合性，對各知識點(diǎn)的考查往往以綜合性為主，在圓錐曲線這一內(nèi)容的考查上很少出現(xiàn)某單一知識點(diǎn)的考查，往往以知識點(diǎn)的綜合、穿插的方式進(jìn)行考查，因而表中所統(tǒng)計(jì)的知識點(diǎn)考查次數(shù)，會比實(shí)際考題數(shù)目多.其中未填數(shù)字的空格表示該考點(diǎn)在對應(yīng)年份未考查到.

從表3中，我們可以看出，在近六年的新課標(biāo)全國卷中，對圓錐曲線知識點(diǎn)上的考查，主要以圓錐曲線的離心率、圓錐曲線的方程、圓錐曲線與直線的位置關(guān)系為主，同時兼顧圓錐曲線的定義、準(zhǔn)線、焦點(diǎn)等其他性質(zhì).這無疑對我們的備考方向有著重要的指示作用.

1.3考題意圖分析。

在數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)能力層面，近六年的全國新課標(biāo)試題中，主要對數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想、分類討論思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想、整體思想；數(shù)學(xué)運(yùn)算能力、推理論證能力、創(chuàng)新能力等進(jìn)行了著重考查；在思維與能力的考查上，充分體現(xiàn)了“多考一些思維，少考一些運(yùn)算”的命題理念，因而近六年全國新課標(biāo)卷圓錐曲線大多數(shù)的解答題的運(yùn)算量大大降低，但更突出了對數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想等數(shù)學(xué)思想的考查，甚至在一些題目中，這些數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用與否直接決定了相應(yīng)題目的解答速度與準(zhǔn)確程度的高低.

例如：

（2015年新課標(biāo)全國卷Ⅰ第20題）在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C：y=與直線l：y=kx+a（a>0）交于M，N兩點(diǎn).

（1）當(dāng)k=0時，分別求C在點(diǎn)M和N處的切線方程；

（2）y軸上是否存在點(diǎn)P，使得當(dāng)k變動時，總有∠OPM=∠OPN？說明理由.

此題的第一個問雖然比較簡單，計(jì)算量小，但它考查了學(xué)生的函數(shù)與方程的思想，通過導(dǎo)數(shù)方程求解.第二問是一個探索性問題，具有很強(qiáng)的開放性，其解法多樣，但眾多解法均離不開數(shù)形結(jié)合思想，轉(zhuǎn)化與化歸思想，以及分類討論思想的應(yīng)用；而且在本題中轉(zhuǎn)化與化歸思想的作用顯得尤為突出.首先在解答過程中必須把“∠OPM=∠OPN”這一條件轉(zhuǎn)化為代數(shù)表達(dá)式，其次要選擇合適的轉(zhuǎn)化方式（如轉(zhuǎn)化為：“k+k=0”）才能減少計(jì)算量，使問題得到簡化.

這樣的例子不勝枚舉，在此就不一一列舉了.從這些例子可以看出，全國卷在圓錐曲線這一內(nèi)容的考查上，更側(cè)重?cái)?shù)學(xué)思想方法的考查，在數(shù)學(xué)思想方法的考查中考查學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，相對以前的試題，在計(jì)算量上有所降低，在思維量上有所上升，即“重思維，少計(jì)算”.

2.備考建議

通過前面對近六年全國卷圓錐曲線部分考題的粗略分析，從題型上看，可發(fā)現(xiàn)每年全國新課標(biāo)卷對圓錐曲線部分的考查基本上都以一道選擇、一道填空題、一道解答題，即“兩小一大”的形式來考查，分值基本穩(wěn)定在22分左右，個別年份有變動；從內(nèi)容上看，解答題主要以考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系、圓錐曲線的方程為主，選擇、填空則以考查圓錐曲線的性質(zhì)（離心率、焦點(diǎn)、準(zhǔn)線等）為主，其中圓錐曲線的離心率的考查又為之最，而且在各考查對象中，以橢圓為主，雙曲線、拋物線次之，而且有拋物線、雙曲線的考查主要以它們所具有的特殊性質(zhì)為主；從考查意圖上看，更重在對數(shù)學(xué)思維的考查，對計(jì)算能力的要求有所降低，題目更靈活.因此在備考中要注意以下幾點(diǎn)：

2.1抓住重點(diǎn)，主次分明，有的放矢。

在復(fù)習(xí)備考中，要以橢圓為主，以拋物線、雙曲線為輔；以橢圓的性質(zhì)類比學(xué)習(xí)雙曲線、拋物線的性質(zhì)；通過類比和對比加深對橢圓、拋物線、雙曲線的理解，還要著重強(qiáng)調(diào)拋物線、雙曲線所具有的不同于橢圓的特殊性質(zhì)及三者之間的聯(lián)系.

2.2重視基礎(chǔ)知識、基本性質(zhì)的教學(xué)，培養(yǎng)基本技能。

在前面的分析中，我們可以看出，圓錐曲線的第一、第二定義考查高達(dá)6次之多，求圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程共考查了12次，對圓錐曲線的基本性質(zhì)考查更加突出，例如單單是離心率就考查了15次，漸近線、準(zhǔn)線分別考查了5次、7次；這些都是圓錐曲線中最基礎(chǔ)的知識要點(diǎn)，卻在高考中反復(fù)出現(xiàn)，這無疑啟發(fā)我們在復(fù)習(xí)備考中要重視基礎(chǔ)，加強(qiáng)基礎(chǔ)知識、基本性質(zhì)的教學(xué)與訓(xùn)練.其次，由于圓錐曲線解答題的綜合性較強(qiáng)，對思維能力要求較高，往往一下子看出思路，因此必須要求學(xué)生熟練掌握這些概念、性質(zhì)及其之間的相互聯(lián)系與區(qū)別，以為解題奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)、為思路的拓展做好準(zhǔn)備.

2.3分類解析已考試題，總結(jié)方法規(guī)律、滲透解題思想。

教師要對近幾年已考試題進(jìn)行深入分析，將考查題型、知識點(diǎn)及解題思想等方面的共性加以總結(jié)，尤其要把不同題型的解題方式方法等策略性知識顯性化，使學(xué)生能夠在對題目的整體把握的基礎(chǔ)上迅速理清解題思路、明確解題步驟，從而提高思維能力.如：定值定點(diǎn)問題、取值范圍問題、最值問題、存在性問題等各自均有不同的處理方式、不同的解答思維，老師要對近幾年高考題進(jìn)行分類解析，總結(jié)其中具有規(guī)律性的解題思路.其次，要對各考題中思想方法進(jìn)行滲透，如：直線與圓錐曲線位置關(guān)系的題目中要利用對直線斜率的討論、存在性問題中對一些特殊情況的討論題目等滲透分類討論的數(shù)學(xué)思想，在圓錐曲線的幾何關(guān)系與代數(shù)關(guān)系的轉(zhuǎn)化中滲透轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想，在圓錐曲線計(jì)算推理中滲透整體思想、設(shè)而不求的數(shù)學(xué)方法等.

2.4注重知識綜合，強(qiáng)調(diào)交叉滲透。

圓錐曲線這部分內(nèi)容的考查中常常以綜合性考法為主，很少出現(xiàn)對單一知識點(diǎn)的考查，因而在教學(xué)中不僅要使學(xué)生掌握圓錐曲線的單個知識點(diǎn)，更要讓學(xué)生理解各知識點(diǎn)之間的內(nèi)在聯(lián)系與區(qū)別及運(yùn)用這些知識解題的思維過程.還要以圓錐曲線知識為主線聯(lián)系其他相關(guān)知識（如：向量、函數(shù)、不等式、直線方程、平面幾何等），使學(xué)生所學(xué)知識形成一個相互聯(lián)系的有機(jī)整體，從而促進(jìn)思維能力的發(fā)展.相反，如果過于強(qiáng)調(diào)各知識點(diǎn)之間的相對獨(dú)立性，就會導(dǎo)致相關(guān)知識間的相互割裂，學(xué)生對知識的理解僅限于單一的知識點(diǎn)上或者限于對知識結(jié)論的記憶上，不能做到舉一反三、融會貫通，當(dāng)然，這樣就達(dá)不到新課標(biāo)的要求.

參考文獻(xiàn)：

[1]王草野.圓錐曲線學(xué)習(xí)中存在的問題及對策研究[D].江蘇：蘇州大學(xué)，2014.

[2]徐燕.高中生對圓錐曲線的理解[D].上海：華東師范大學(xué)，2009.