新課標(biāo)下數(shù)列概念教學(xué)探究

梁國平

摘 要：數(shù)列是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一。文章從數(shù)列的定義、數(shù)列的分類和表示法、數(shù)列的通項公式、從函數(shù)角度理解數(shù)列四個方面，就數(shù)列概念教學(xué)中如何挖掘課本的思想性和科學(xué)性進(jìn)行探究。

關(guān)鍵詞：數(shù)列；概念教學(xué)；思想性；科學(xué)性；認(rèn)知規(guī)律

中圖分類號：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號：1008-3561（2016）32-0058-01

數(shù)列是按照一定順序排列的一列數(shù)，是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一。下面對在數(shù)列概念教學(xué)中如何挖掘課本的思想性和科學(xué)性進(jìn)行研究，通過把課本內(nèi)容加工成鮮活的知識探索過程，為學(xué)生的學(xué)習(xí)方法提供一個良好的示范。

一、數(shù)列的定義：認(rèn)知新事物的一般方法

（1）舉例子。舉例的過程往往是抓住事物本質(zhì)的過程，而且所舉的例子是進(jìn)一步討論的基礎(chǔ)。例如，正整數(shù)按從小到大的順序依次排成一列：1，2，3，……，n，…… 2的1次冪，2次冪，……按從小到大的順序依次排成一列：2，4，8，……，2n，……人民幣的面額按從大到小的順序依次排成一列（單位“元”）：100，50，20，10，5，2，1，0，5，0.2，0.1，0.05，0.02，0.01。12的約數(shù)按從小到大的順序依次排成一列：1，2，3，4，6，12。（2）抓特征。通過舉例，同學(xué)們發(fā)現(xiàn)，數(shù)列是由數(shù)構(gòu)成的。有無窮項的，有有限項的；有單調(diào)遞增的，有單調(diào)遞減的；有擺動的，有常數(shù)列；有規(guī)律性很強的，有規(guī)律性不明顯的。這些顯然不是本質(zhì)的東西，真正本質(zhì)的是把數(shù)按順序排成一列。（3）下定義。按照一定順序排列的一列數(shù)，叫數(shù)列。抓住本質(zhì)后，下定義很自然，很順暢。在這個過程中，學(xué)生的學(xué)習(xí)體驗非常重要。教學(xué)過程中，切忌縮短學(xué)生對知識形成過程的經(jīng)歷。通過經(jīng)歷學(xué)習(xí)過程，學(xué)生不僅得到數(shù)列的概念，同時學(xué)會了認(rèn)識新事物的一般方法，即舉例子、抓特征、下定義，掌握了進(jìn)一步學(xué)習(xí)的方法。教材對這個知識進(jìn)行了完美的展現(xiàn)，教師只需把它加工成鮮活的過程即可，由此學(xué)生認(rèn)識了數(shù)列，提高了數(shù)學(xué)思維能力。

二、數(shù)列的分類和表示法

有了數(shù)列，就要對它進(jìn)行分類和管理。分類的目的，還在于對數(shù)列的本質(zhì)的認(rèn)識。要讓學(xué)生見到各種各樣的數(shù)列，有無窮項的，有有限項的；有單調(diào)遞增的，有單調(diào)遞減的；有擺動的，有常數(shù)列；有規(guī)律性很強的，有些規(guī)律不明顯的。對于規(guī)律不明顯的數(shù)列，要注重對學(xué)生從實際問題抽象出數(shù)列模型的能力的培養(yǎng)。比如數(shù)列{an}這個記法，學(xué)生容易產(chǎn)生與數(shù)集的聯(lián)系。要解決這個問題，就要引導(dǎo)學(xué)生從集合的元素的性質(zhì)出發(fā)去考慮。數(shù)列的項和數(shù)集的元素都具有確定性。數(shù)列的項是有序的，而數(shù)集的元素是無序的；數(shù)列的項可重復(fù)，而數(shù)集的元素是互異的。所以，數(shù)列和數(shù)集有本質(zhì)上的不同。這樣的解答，解決了學(xué)生無從下手的問題，為考慮這類問題提供了示范。

三、數(shù)列的通項公式：解決這一類問題的一般方法

求數(shù)列的通項公式是發(fā)現(xiàn)規(guī)律、利用規(guī)律的過程。學(xué)生對已知的常見數(shù)列的通項公式要相當(dāng)熟練，以此為基礎(chǔ)，考慮新的數(shù)列。比如求數(shù)列1，3，6，10，15……的通項公式，在學(xué)生已知數(shù)列2，6，12，20，30……的通項公式an=n（n+1）的基礎(chǔ)上，發(fā)現(xiàn)這個數(shù)列是各項除以2以后變成的新數(shù)列，從而得到an=n（n+1）/2。再如，要求數(shù)列5，55，555，5555……的通項公式，這個數(shù)列的規(guī)律很容易發(fā)現(xiàn)，但用式子表示不容易。但知道 10，100，1000，10000……的通項公式an=10n，進(jìn)而知道9，99，999，9999……的通項公式an=10n-1、1，11，111，1111……的通項公式an=■（10n-1）、5，55，555，5555……的通項公式an=（10n-1）。教師把解決這一類問題的一般方法教給學(xué)生，讓學(xué)生沿著這樣的思路去思考，也就是通性通法。以已有的知識為根據(jù)，推求新知識，這本身就是很重要的一種科學(xué)方法。要告訴學(xué)生切忌憑空亂想，這也是從聰明向智慧轉(zhuǎn)化的過程。

四、從函數(shù)角度理解數(shù)列：概念是思考問題的根

數(shù)列的項和項數(shù)之間的對應(yīng)關(guān)系是不是函數(shù)，要根據(jù)函數(shù)的定義來判斷。符合定義是，不符合就不是，很容易判斷。既然是函數(shù)，不是學(xué)過滲透數(shù)列是解決離散現(xiàn)象的一類數(shù)學(xué)模型么？學(xué)生感到這是一類特殊函數(shù)。特殊在哪兒？要回答這個問題，從函數(shù)的三要素著手考慮，學(xué)生就容易發(fā)現(xiàn)定義域特殊。定義域是正整數(shù)集或其有限子集，而且自變量的取值也特殊，自變量按從小到大的順序依次取值，從而數(shù)列可以看作自變量在正整數(shù)集（或其有限子集）上按從小到大的順序依次取值時所對應(yīng)的一列函數(shù)的值。這個過程變得很自然，體現(xiàn)了利用概念進(jìn)行判斷的科學(xué)思維方法。因此，面對新問題，學(xué)會思考，教師切忌代替學(xué)生思維，或者認(rèn)為很簡單，教師就直接給出結(jié)論。其實認(rèn)為很簡單的知識，在學(xué)生那里可能就是一個很大的難題。

五、結(jié)束語

總之，在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，要讓學(xué)生充分體驗數(shù)學(xué)知識的形成過程，盡可能地讓學(xué)生經(jīng)歷觀察、分析、猜想、比較、抽象、概括、歸納、類比等發(fā)現(xiàn)和探索的過程，鼓勵學(xué)生說出各種可能的設(shè)想和猜測，不要怕犯錯誤。人們的認(rèn)識本身就是經(jīng)歷猜測、錯誤、修訂、改正，才能形成正確的認(rèn)識。在教師的指導(dǎo)下，學(xué)生收獲“自己做出來的數(shù)學(xué)”，這種親身經(jīng)歷和體驗非常重要，能為學(xué)生以后適應(yīng)社會發(fā)展、解決新問題做好必要的準(zhǔn)備。教材在這方面進(jìn)行了完好的呈現(xiàn)，教師要充分挖掘教材的思想性和科學(xué)性，激活學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，為學(xué)生成長成才奠定基礎(chǔ)。

參考文獻(xiàn)：

[1]陳紀(jì)華，陶華.等差數(shù)列概念的引入教學(xué)設(shè)計與反思[J].中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2012（10）.

[2]王悅.淺議“數(shù)列極限”概念教學(xué)[J].吉林省教育學(xué)院學(xué)報，2010（02）.

[3]白曉潔.新課標(biāo)下高中數(shù)學(xué)數(shù)列問題的研究[D].河南師范大學(xué)，2013.