巧求數(shù)列的通項(xiàng)公式

趙異荷

摘 要： 高中數(shù)學(xué)中數(shù)列是一個(gè)難點(diǎn)，難就難在它的捉摸不定、毫無頭緒，作者針對(duì)高中數(shù)列中求通項(xiàng)公式問題總結(jié)一些巧妙求解方法.

關(guān)鍵詞： 數(shù)列 數(shù)列通項(xiàng) 疊加法 累乘法

數(shù)列在高中數(shù)學(xué)中占有非常重要的地位，每年高考都會(huì)出現(xiàn)數(shù)列方面的試題，一般分為小題和大題兩種題型，求數(shù)列的通項(xiàng)公式是?？嫉囊粋€(gè)知識(shí)點(diǎn)，也是數(shù)列的一個(gè)難點(diǎn)，因此掌握好數(shù)列的通項(xiàng)公式求法不僅有利于掌握好數(shù)列知識(shí)，更有利于在高考中取得好成績(jī).本文介紹了中學(xué)數(shù)學(xué)中有關(guān)巧求數(shù)列通項(xiàng)公式的方法.

1.數(shù)列的有關(guān)概念

數(shù)列的定義：按一定次序排列的一列數(shù)叫做數(shù)列（sequence of number），如1，2，4，6，…

數(shù)列的項(xiàng)：數(shù)列中的每個(gè)數(shù)都叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)（term）.各項(xiàng)依次叫做這個(gè)數(shù)列的第1項(xiàng)（或首項(xiàng)），第2項(xiàng)，…，第n項(xiàng)，….

數(shù)列的通項(xiàng)公式：如果數(shù)列{a}的第n項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式表示，那么這個(gè)公式就叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式（the formula of general term）.

等差數(shù)列的概念及通項(xiàng)公式：從數(shù)列的第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)減去前一項(xiàng)所得的差都等于同一個(gè)常數(shù)，這樣的數(shù)列稱為等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫公差，一般用d表示，其通項(xiàng)公式為：a=a+（n-1）d .

等比數(shù)列的概念及通項(xiàng)公式：如果一個(gè)數(shù)列，從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與其前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)，這樣的數(shù)列稱為等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫公比，一般用q表示，其通項(xiàng)公式為：a=aq.

2.巧求數(shù)列通項(xiàng)公式的幾種方法

數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法是數(shù)列這章的難點(diǎn)，下面我就簡(jiǎn)單遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式的做法做一些介紹.

2.1疊加法

對(duì)于形如a=a+f（n）型的數(shù)列，可用疊加法求出通項(xiàng)公式.

例1 已知數(shù)列{a}滿足a=a+n，a=1，求a.

解析：由a=a+n得：a-a=n，于是有：

a=（a-a）+（a-a）+（a-a）+…+（a-a）+（a-a）+a

=（n-1）+（n-2）+（n-3）+…+2+1+a

=1+

所以通項(xiàng)公式為：a=1+.

2.2 累乘法

對(duì)于形如a=a·f（n）型的數(shù)列，可用此法.

例2 已知數(shù)列{a}滿足na=（n+1）a，a=4，求a.

解析： a=···…···a

=···…····a

=×4

=2（n+1）

所以通項(xiàng)公式為a=2（n+1）.

2.3 轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列的求法

對(duì)于形如a=ra+r的數(shù)列，運(yùn)用乘、除、去分母、添項(xiàng)、去項(xiàng)、取對(duì)數(shù)、待定系數(shù)等方法，將遞推公式變形為f（n+1）-f（n）=A（其中A為常數(shù)）形式，根據(jù)等差數(shù)列的定義知f（n）是等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，先求出f（n）的通項(xiàng)公式，再根據(jù)f（n）與a的關(guān)系，從而求出a的通項(xiàng)公式.

例3：已知數(shù)列{a}滿足a=2a+2，a=2，求a.

解析：由a=2a+2兩邊除以2，可化為：

=+1，

設(shè)b=，則b=b+1，b=1，根據(jù)等差數(shù)列的定義知，數(shù)列是一個(gè)以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得：b=1+（n-1）·1，

由b=可得a=n·2，

所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為：a=n·2.

2.4 轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列的求法

形如a=ca+d（d為常數(shù)）型的數(shù)列，運(yùn)用乘、除、去分母、添項(xiàng)、去項(xiàng)、取對(duì)數(shù)、待下系數(shù)等方法，將遞推公式變形為f（n+1）=Af（n）（其中A為非零常數(shù)）形式，根據(jù)等比數(shù)列的定義，求出f（n）的通項(xiàng)公式，再根據(jù)f（n）與a的關(guān)系，求出的通項(xiàng)公式.

例4：已知數(shù)列{a}滿足a=2a+3，a=1，求a.

解析：設(shè)a+x=2（a+x），對(duì)比原式得出，x=3，

設(shè)b=a+3，則b=4，說明是一個(gè)以4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列.

根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式得， b=4·2=2，

所以，數(shù)列通項(xiàng)公式為a=2-3.

2.5 轉(zhuǎn)化后可用疊加法

對(duì)于形如a=a·q的數(shù)列，先轉(zhuǎn)化，再用疊加法求通項(xiàng)公式.

例5：已知數(shù)列{a}中，a=1，a=a·2，求{a}的通項(xiàng).

解析：由a=a·2，兩邊取對(duì)數(shù)，得：

lga=lga+nlg2

∴l(xiāng)ga=（lga-lga）+（lga-lga）+…+（lga-lga）+lga

∴l(xiāng)ga=（n-1）lg2+（n-2）lg2+…+lg2+lg1

=lg2[（n-1）+（n-2）+…+1]

=lg2·

=lg2

∴a=10=2

注：此題若取以2為底的對(duì)數(shù)更簡(jiǎn)單.

3.結(jié)語

對(duì)于數(shù)列求通項(xiàng)問題，首先看是不是等差或等比數(shù)列，如果是直接用公式求解，再看是否可以用疊加法和累乘法，然后再看能否轉(zhuǎn)換為等差或等比數(shù)列，再?gòu)?fù)雜點(diǎn)的就先轉(zhuǎn)化再疊加求通項(xiàng)公式.

參考文獻(xiàn)：

[1]人民教育出版社課程教材研究所，中學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究開發(fā)中心.數(shù)學(xué)必修5[M]. 北京：人民教育出版社，2014.6.