關(guān)于一道數(shù)學(xué)考研試題的解法與思考

劉國祥 劉眾

摘要：本文針對2019年全國碩士研究生入學(xué)考試高等數(shù)學(xué)（一）18題和解法，對教學(xué)及考研輔導(dǎo)、復(fù)習(xí)等問題，進(jìn)行了多方位的思考.

關(guān)鍵詞：遞推數(shù)列;單調(diào)性;定積分;分部積分法

中圖分類號：O174? 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A? 文章編號：1673-260X（2019）07-0016-04

2019年全國碩士研究生入學(xué)考試高等數(shù)學(xué)（一）第18題是：

針對這道題目的解法和分析，對教學(xué)及考研輔導(dǎo)、復(fù)習(xí)等問題，進(jìn)行了思考，并探討在教學(xué)中如何培養(yǎng)思維定式與創(chuàng)新意識.

1 題目分析

看到一個(gè)題，首先看已知什么，要求什么，或者要證明什么.這個(gè)題的題設(shè)非常清晰，是以定積分形式給出的無窮數(shù)列的通項(xiàng).問題有兩問第一問是證明數(shù)列的一個(gè)遞推關(guān)系，第二問是求數(shù)列通項(xiàng)的商的極限.問題非常清晰簡練，看不清楚題目，看不懂題目是絕對不會(huì)的.

高等數(shù)學(xué)考試或者研究生入學(xué)考試與中學(xué)數(shù)學(xué)或者說高考數(shù)學(xué)題目有一個(gè)明顯的區(qū)別，高考中，如果一個(gè)題目有兩問或者多問，其中第一問基本是送分的.只是為了后續(xù)問題做個(gè)準(zhǔn)備，甚至是后續(xù)問題的提示.考研中，如果一個(gè)題目有兩問或者多問，其中第一問基本是最難的.如果第一問解決，后續(xù)問題基本就迎刃而解，基本是送分的了.

嚴(yán)格說來，沒有難題與簡單題之說，只是針對具體的問，根據(jù)自己的學(xué)習(xí)情況，熟練程度，就有了難易之分.那什么樣的題對你是難題呢，基本上有兩種，一種是看不懂題目，具體的又有這么幾種情況，其一是新定義一個(gè)或者幾個(gè)概念、規(guī)定符號，從來沒有見過，不知其意，一般是新穎創(chuàng)新型的題目.其二是問題中有的概念忘了或者記憶模糊，雖然見過，但不知其意.一時(shí)想不起來，還不如第一種情況.嚴(yán)格來說，這都屬于基本功不扎實(shí)，復(fù)習(xí)準(zhǔn)備不到位，知識脈絡(luò)有漏洞.第二種難題是雖然題目看懂了，但是無從下手，沒有突破口.整數(shù)論課程這樣問題很多，例如哥德巴赫猜想、費(fèi)爾馬大定理，誰都懂，但是證明卻無從下手.高等數(shù)學(xué)考試中利用中值定理證明存在性問題，想不到構(gòu)造輔助函數(shù)，或者想到構(gòu)造輔助函數(shù)但是選取不到合適的.這樣都使得解答無從進(jìn)行.

這個(gè)題對于多數(shù)人來說，都應(yīng)該不是難題，都能夠入手.至于是否能夠完滿順利解答，還有看你的計(jì)算能力和推演能力.

從這里可以更明顯地體會(huì)到，記住方法或許比記住結(jié)果更重要.

分類討論和轉(zhuǎn)化是數(shù)學(xué)解題的兩個(gè)重要思想，中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)和高考中體現(xiàn)更明顯.這道考題解法，選擇適當(dāng)，可以避免分類討論奇偶性.分奇偶性討論，結(jié)論更直觀，直接用.對于分類討論，我們的觀點(diǎn)是，不必過于追求，也不過于回避.平時(shí)練習(xí)時(shí)候，多思考，不用分類討論解不出來或者過于復(fù)雜的題目，試試分類討論.當(dāng)然分類討論接觸的題目，想一想不用分類討論能不能解出來，是否更精煉.

至于轉(zhuǎn)化，可以說是貫穿于整個(gè)數(shù)學(xué)界.嚴(yán)格說不能簡單說成是方法或者思想.狹義地說，這里用到an，an-1，an-2的轉(zhuǎn)化，In，In-1，In-2的轉(zhuǎn)化，an，In之間的轉(zhuǎn)化等.我們的觀點(diǎn)同對待分類討論一樣，不過于追求，不過于回避.

4 試題溯源

分析歷年來考試試題，無非以下幾種情況：第一種是所謂的成題（或舊題），就是以前考過或者常見文獻(xiàn)上可查到.舊題稍微變化或者換換數(shù)字，也算作這種情況.主要考查學(xué)生掌握基本知識和基本方法.這種題目占很大比例也并不一定簡單，例如2019年全國碩士研究生入學(xué)考試高等數(shù)學(xué)（一）第15題，第一問求解一元線性微分方程，第二問求函數(shù)的凹凸區(qū)間與拐點(diǎn)，就是成題.第二類是完全新穎的題目，或者創(chuàng)新的題目，從未見過或者類型都沒有見過.這主要看你能否準(zhǔn)確理解題目，或者適當(dāng)轉(zhuǎn)化、類比于成題.并不一定是難題，可能只是一個(gè)華麗（唬人）的外表.第三類，也是最常見的一類是某些成題或者結(jié)論的變形或者轉(zhuǎn)化、引申，或者參考某個(gè)方法.總之它們都有明顯或者不明顯的出處.

在課堂教學(xué)、課外輔導(dǎo)或者考研輔導(dǎo)時(shí)，這么多方法，那種是最好的.我們的觀點(diǎn)是：容易想到的，你會(huì)使用的，你熟練的，對你來說，就是最好的.對于“定式”的、經(jīng)典的題型，至少要熟練一種.至于到底是哪種呢？你喜歡的，常規(guī)的.不要過分追求新奇的‘巧妙的’解法，熟生巧，不熟，“巧”也記不住，掌握不了.

還是回到老話，平時(shí)多看、多讀、多練、多思、多試，夯實(shí)基礎(chǔ)，學(xué)會(huì)變通，才會(huì)有提高與創(chuàng)新.

參考文獻(xiàn)：

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