在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中引進(jìn)數(shù)學(xué)建模思想的探索

李偉

【摘要】數(shù)學(xué)建模是一種新的教學(xué)方式，有效彌補(bǔ)了傳統(tǒng)課程教學(xué)的不足，其重在對(duì)大學(xué)生綜合能力素質(zhì)的培養(yǎng)，將數(shù)學(xué)建模思想引入高等數(shù)學(xué)教學(xué)中，能夠調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，提高其運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力.

【關(guān)鍵詞】高等數(shù)學(xué);數(shù)學(xué)建模;探索

高等數(shù)學(xué)是理工專業(yè)學(xué)生必修的基礎(chǔ)課程，為其更好地學(xué)習(xí)其他專業(yè)課程以及未來更好地適應(yīng)工作崗位的需要?jiǎng)?chuàng)造了條件.然而，目前各高校高等數(shù)學(xué)教學(xué)情況并不樂觀，大部分學(xué)生都覺得數(shù)學(xué)學(xué)科太難，不愿意學(xué)習(xí)，要想改變這一現(xiàn)狀，高校就需要革新傳統(tǒng)教學(xué)思維和方式，教會(huì)學(xué)生如何更好地運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題.而數(shù)學(xué)建模就是將現(xiàn)實(shí)生活中的實(shí)際問題進(jìn)行提煉，抽象成數(shù)學(xué)模型，通過求解的方式，對(duì)模型的合理性進(jìn)行驗(yàn)證，其對(duì)提升學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)有著很大的幫助.

一、在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)建模思想的重要性

在高等數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，傳授學(xué)生解決問題的方法，并幫助學(xué)生去發(fā)現(xiàn)、分析及解決問題十分重要.在傳統(tǒng)的高等數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，教師是主動(dòng)的，學(xué)生是知識(shí)的被動(dòng)接受者，基本不會(huì)參與到教學(xué)過程中來，并且，教師在教學(xué)過程中通常將目標(biāo)定在學(xué)生對(duì)理論層面知識(shí)的理解上.通常情況下，大多數(shù)高等數(shù)學(xué)題目都是有答案的，就算學(xué)生上課時(shí)沒有聽懂、不會(huì)做題，也會(huì)按照答案來驗(yàn)證，而在學(xué)生未來生活、工作、學(xué)習(xí)中會(huì)面臨很多的問題，而這些問題都是不具備答案的，這就需要教師教會(huì)學(xué)生如何利用數(shù)學(xué)思維去解決實(shí)際生活中遇到的各種問題，提高他們解決問題的能力[1].

在高等數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中引入數(shù)學(xué)建模思想，加強(qiáng)引導(dǎo)，幫助學(xué)生更全面地掌握數(shù)學(xué)本質(zhì)及思想方式，強(qiáng)化他們的數(shù)學(xué)意識(shí)，對(duì)培養(yǎng)他們的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，提高教學(xué)質(zhì)量等各個(gè)方面都有著很重要的現(xiàn)實(shí)意義.

二、在理論定義中徹底灌輸數(shù)學(xué)建模思想

所謂的理論定義也就是在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中涉及的各種概念性知識(shí)，通常都比較抽象，難以理解，如，極限、微積分等，這些都是教學(xué)的重難點(diǎn)問題，教師在教學(xué)過程中，可以在理論知識(shí)講述中灌輸建模思想.當(dāng)然，這里的灌輸就是利用問題去引導(dǎo)學(xué)生，讓他們理解概念，再引入建模思想，如極限的相關(guān)概念，教師可以運(yùn)用學(xué)生了解的物理中的電流計(jì)算等，將極限概念更直觀、形象地進(jìn)行闡述，在此階段，最好利用PPT等進(jìn)行展示，讓學(xué)生理解更加透徹，口述是無法讓學(xué)生對(duì)這些概念有一個(gè)全面認(rèn)識(shí)的.需要注意的是，在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中建模思想的引入，必須突出學(xué)生的主體地位，從學(xué)生的實(shí)際需求入手，貼近他們的生活，通過具體的問題展開教學(xué)[2].

三、在教學(xué)內(nèi)容中滲透數(shù)學(xué)建模思想

實(shí)際上，在高等數(shù)學(xué)中許多概念的引入都運(yùn)用了數(shù)學(xué)建模思想方式，如研究空間物體的質(zhì)量引入三重積分有關(guān)概念;從對(duì)曲邊梯形面積的研究引入了定積分有關(guān)概念等.教師在講述知識(shí)時(shí)，要綜合考慮學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)情況，在正式講課前，搜集有關(guān)內(nèi)容的實(shí)例，將高等數(shù)學(xué)教學(xué)與生活實(shí)際聯(lián)系起來，調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.下面就以高等數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)學(xué)建模思想實(shí)例進(jìn)行分析.

（一）微分方程

微分方程數(shù)學(xué)模型是解決實(shí)際生活中遇到的問題是非常有力的工具，在全面理解了微分方程建立和求解后將人口模型引入進(jìn)來：人口增長(zhǎng)問題是社會(huì)關(guān)注的重點(diǎn)問題[3].非常著名的馬爾薩斯模型這種微分方程，易于求解，其解表明人口會(huì)持續(xù)增長(zhǎng).這種模型用來檢驗(yàn)過去占有很大的優(yōu)勢(shì)，但用來預(yù)測(cè)未來存在很大的問題，因?yàn)樗嬖谝恍┎缓侠硪蛩?這源于模型假設(shè)：人口增長(zhǎng)率之和人口出生、死亡率相關(guān)，并且是常數(shù).該假設(shè)的提出讓模型得到簡(jiǎn)化，但也表示人口無限制的增長(zhǎng).此外，Logistic模型也屬于微分方程數(shù)學(xué)模型.這一模型主要按時(shí)考慮人口數(shù)量增長(zhǎng)到一定程度后，會(huì)出現(xiàn)很多新問題，如食物緊缺、交通擁擠等問題，另外，隨著人口數(shù)量的不斷增多，各種傳染病也會(huì)不斷增多，死亡率會(huì)持續(xù)上升，這些都會(huì)限制人口的無限制增長(zhǎng).處于長(zhǎng)遠(yuǎn)發(fā)展考慮Logistic模型更加合理[4].

（二）零點(diǎn)定理

零點(diǎn)定理理解起來比較難，將其運(yùn)用到教學(xué)中僅是對(duì)方程根問題的研究.方桌問題：將腿長(zhǎng)相等的方桌放到不平整的地面，四條腿是否可以同時(shí)著地？該問題是日常生活中我們能夠看到的問題，在假設(shè)條件下，可以將這一問題抽象成數(shù)學(xué)問題.通過輔助函數(shù)的構(gòu)建，借助零點(diǎn)定理就能夠得到問題的答案.在實(shí)際教學(xué)中，還可以提出如果桌子為長(zhǎng)方形，結(jié)論是否成立？借助該模型，可以讓學(xué)生對(duì)建模過程有一個(gè)更全面的了解，從而更深入地了解閉區(qū)間連續(xù)函數(shù)的特征，激發(fā)了學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的熱情.另外，與生活實(shí)際聯(lián)系比較緊密的巧切蛋糕等問題都可以利用零點(diǎn)定理來構(gòu)建數(shù)學(xué)模型[5].

（三）幾何概率

在我們生活中存在很多不確定因素，我們?cè)趯?duì)某一對(duì)象進(jìn)行研究時(shí)，通常都會(huì)受到這些不確定因素的影響，因而，構(gòu)建的數(shù)學(xué)模型所包含的變量也具有隨機(jī)性，這類模型就叫作隨機(jī)模型.幾何概率模型也就是關(guān)于“等可能性”概率問題，在早期的蒲豐幾何概率例子中，在平面上畫出平行線，各平行線的距離都是定值，再該平面投入一根小于平行間距的針，求出該針和平面上任意平行線相交的概率.需要注意的是，針對(duì)該問題構(gòu)建概率模型，能夠發(fā)現(xiàn)其與我們熟知的圓周率相關(guān)，再通過隨機(jī)試驗(yàn)，對(duì)結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn)[6].

隨著現(xiàn)代科技的快速發(fā)展，依據(jù)上述思路出現(xiàn)了蒙特卡羅方法，并得到了有效應(yīng)用.實(shí)際上，我們生活中見得比較多的約會(huì)問題也屬于幾何概率問題，如情侶相約6點(diǎn)～9點(diǎn)在某地見面，先到的人在等候另外一人30分鐘后，就可以離開，求情侶能夠會(huì)面的概率.

在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中，合理地引入數(shù)學(xué)建模思想、方式，積極引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)解決生活實(shí)際中遇到的問題，就可以調(diào)動(dòng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的熱情與積極性，從而體會(huì)到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的快樂[7].

（四）級(jí)值與最值問題

最值問題在生活中比較常見，用導(dǎo)數(shù)解決生活中的最值問題是高等數(shù)學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容.教師在對(duì)導(dǎo)數(shù)相關(guān)理論內(nèi)容講述后，在將“光學(xué)中的折射定理”這一內(nèi)容引入進(jìn)去，即光從一種介質(zhì)進(jìn)入另一介質(zhì)時(shí)，在界面會(huì)出現(xiàn)折射現(xiàn)象.折射現(xiàn)象的產(chǎn)生會(huì)導(dǎo)致“最短時(shí)間”效益的產(chǎn)生，也就是光線會(huì)經(jīng)過最短的路徑.通過相關(guān)條件的設(shè)定，從而就將該問題轉(zhuǎn)變成求傳播實(shí)踐最小值的問題，通過計(jì)算就能夠得到折射定理.該定理在高中物理學(xué)習(xí)中學(xué)生就已經(jīng)掌握了，通過構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，采用導(dǎo)數(shù)問題來解決，使學(xué)生對(duì)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用問題有了一個(gè)更深刻的認(rèn)識(shí).

四、在數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)中提升學(xué)生的綜合素質(zhì)

數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)主要包括數(shù)學(xué)建模課程、培訓(xùn)、競(jìng)賽等.參加過建?；顒?dòng)的學(xué)生基本都可以通過搜集、分析數(shù)據(jù)信息，找出量與量之間的聯(lián)系，將遇到的問題進(jìn)行合理假設(shè)，從而轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，借助現(xiàn)代信息技術(shù)求解所建模型，最后，分析、處理所得出的結(jié)果，判斷其準(zhǔn)確性并解決問題.數(shù)學(xué)建模活動(dòng)重點(diǎn)培養(yǎng)了學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)思維方式分析問題的能力、熟練地運(yùn)用現(xiàn)代信息技術(shù)各種數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)軟件的能力、合作能力等[8].

數(shù)學(xué)建模作為一種非常有效的數(shù)學(xué)教學(xué)方式，其既體現(xiàn)了課內(nèi)外知識(shí)的有效融合，又滿足建模知識(shí)和提升建模能力的原則，提高了學(xué)生用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力，提升了學(xué)生的綜合素質(zhì)水平.

【參考文獻(xiàn)】

[1]孫名義，朱靈敏，趙金明.高職高等數(shù)學(xué)教學(xué)引入數(shù)學(xué)建模思想的探索[J].浙江海洋學(xué)院學(xué)報(bào)，2017，15（23）：190-197.

[2]李煒鍵，孫飛，等.在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)建模思想的探索[J].科學(xué)技術(shù)創(chuàng)新，2017，20（18）：432-438.

[3]吳挺智，劉廣遠(yuǎn).關(guān)于高職高等數(shù)學(xué)教學(xué)引入數(shù)學(xué)建模思想的探索[J].產(chǎn)業(yè)與科技論壇，2016，12（7）：421-427.

[4]賈羽，任瑛.盧敏華.數(shù)學(xué)建模思想在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的有效運(yùn)用初探[J].桂林航天工業(yè)高等?？茖W(xué)院學(xué)報(bào)，2015，26（15）：368-372.

[5]周侃，朱明祥，周蓮.將數(shù)學(xué)建模思想引入經(jīng)管類高等數(shù)學(xué)教學(xué)[J].科學(xué)技術(shù)創(chuàng)新，2015，10（2）：274-275.

[6]王健，苑海峰，等.在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中如何體現(xiàn)數(shù)學(xué)建模的思想[J].黑龍江科技信息，2016，15（15）：116-125.

[7]王苗苗，劉華.芻議如何在高職高等數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)建模思想[J].桂林航天工業(yè)高等?？茖W(xué)院學(xué)報(bào)，2015，12（9）：335-339.

[8]李煒鍵，孫飛，等.在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中體現(xiàn)數(shù)學(xué)建模思想的方法[J].黑龍江科技信息，2016，20（32）：589-567.