在比對(duì)自悟中提高立體幾何的復(fù)習(xí)效率

楊偉達(dá)

摘要：從平面到空間、從二維到三維、從具體到抽象是高中立體幾何的顯著特征，也是中學(xué)數(shù)學(xué)的一個(gè)重要轉(zhuǎn)折點(diǎn).縱觀歷年立體幾何的考查點(diǎn)，高考試題始終離不開(kāi)“平行和垂直”.這兩個(gè)核心也成了不少學(xué)生繞不過(guò)的坎.前不久，教育部考試中心權(quán)威發(fā)布：“2019年高考數(shù)學(xué)：邏輯推理能力要比刷更多題重要！”為此，這給許多教育工作者指明方向，以“提高學(xué)生的邏輯推理能力”的教學(xué)任重而道遠(yuǎn)，筆者嘗試用比對(duì)自悟的方法提高立體幾何的復(fù)習(xí)效率，從而突顯學(xué)生的邏輯推理能力.

關(guān)鍵詞：立體幾何教學(xué);比對(duì)自悟;邏輯推理能力

從教育部考試中心權(quán)威發(fā)布了解到，“2019年高考數(shù)學(xué)將把考查邏輯推理能力作為重要任務(wù)，以數(shù)學(xué)知識(shí)為載體，考查學(xué)生縝密思維嚴(yán)格推理的能力”.誠(chéng)然，立體幾何是高中數(shù)學(xué)重點(diǎn)內(nèi)容之一.平行、垂直又是高中立體幾何的核心部分，一直是培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理能力的最佳載體，一直是高考考查的熱點(diǎn)，因此，為了讓學(xué)生更好地、更全面地學(xué)好立體幾何，筆者用比對(duì)自悟的方法提高立體幾何的復(fù)習(xí)效率.僅供參考.

1 比對(duì)知識(shí)塊，自悟知識(shí)間的聯(lián)系

串接其實(shí)就是將不同的知識(shí)塊通過(guò)類比、聯(lián)想找出各部分之間的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)，從而形成一個(gè)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)圖，達(dá)到對(duì)知識(shí)的熟練掌握.當(dāng)前，許多教師在復(fù)習(xí)立體幾何時(shí)常常給學(xué)生單獨(dú)講平行關(guān)系（或垂直關(guān)系），學(xué)生難于記住、記準(zhǔn)、記牢！能否找到一種讓學(xué)生更好記住定理的方法呢？筆者認(rèn)為教師如果能夠給學(xué)生提供一個(gè)平行、垂直的對(duì)比圖，就會(huì)發(fā)現(xiàn)各知識(shí)之間有許多相同或相似的地方，學(xué)生就會(huì)更加容易理解記憶，從而彰顯邏輯推理能力.

下面是有關(guān)平行、垂直的判定定理和性質(zhì)定理的對(duì)比圖（如圖1所示）.

平行、垂直判定定理對(duì)比圖說(shuō)明：

（1）題目的求證部分通常選用平行、垂直的判定定理;

（2）找平行線（或垂線）的問(wèn)題都要注明線面的位置關(guān)系（線在平面內(nèi)）;

（3）找出2條直線必須相交，需要注明線線的位置關(guān)系（線線相交）;

（4）凡涉及面面問(wèn)題時(shí)，通常選取其中一個(gè)面做嘗試.

平行、垂直性質(zhì)定理對(duì)比圖說(shuō)明：

（1）題目的已知部分通常用到平行、垂直的性質(zhì)定理;

（2）性質(zhì)定理通常要找一條交線，且交線一定要注明哪個(gè)面與哪個(gè)面相交.

2 比對(duì)簡(jiǎn)單操作，自悟知識(shí)的內(nèi)化

美國(guó)行為主義心理學(xué)家斯金納認(rèn)為，“人類行為主要是由操作性反射構(gòu)成的操作性行為，操作性行為是作用于環(huán)境而產(chǎn)生結(jié)果的行為.在學(xué)習(xí)情境中，操作性行為更有代表性”.為此，在課堂教學(xué)中，用操作性的行為代替其它學(xué)習(xí)方式，這樣的學(xué)習(xí)來(lái)得更持久、更有效.

由于學(xué)生性別差異或者受初中平面幾何的影響，所以有不少學(xué)生分辨不出立體圖形的點(diǎn)、線、面的位置，學(xué)生學(xué)起來(lái)比較困難.這一狀況困擾學(xué)生，使得他們討厭數(shù)學(xué)，甚至恐懼?jǐn)?shù)學(xué).為此，作為教育工作者，能否找到一種更好的辦法讓學(xué)生得以輕松解決？筆者認(rèn)為給學(xué)生比對(duì)自悟時(shí)間，教會(huì)學(xué)生一種簡(jiǎn)單操作的方法，逐級(jí)尋找條件，直到找到適合結(jié)論所需的條件為止.

下面是筆者教給學(xué)生簡(jiǎn)單操作的步驟：

（1）首先學(xué)生熟悉平行、垂直的判定定理及性質(zhì)定理，做一個(gè)對(duì)比圖;

（2）平行：從題目的結(jié)論出發(fā)，讓學(xué)生拿起一支筆，放在圖形中的某條直線上，然后慢慢地平移到某個(gè)平面（此時(shí)筆充當(dāng)平行線），在該平面中找到與之匹配的平行線（若不存在，則需要作一條輔助線）; 垂直：讓學(xué)生觀察某平面，拿起一支筆，用筆尖嘗試與該平面垂直（此時(shí)筆充當(dāng)垂線），在原平面中找到與之匹配的垂線（若不存在，或作一條輔助線，或重新選擇平面）;

（3）接著逐級(jí)尋找平行線（或垂線），直到在題目的已知條件中能找到為止（如圖2所示）.

通過(guò)學(xué)生的簡(jiǎn)單操作，教師在全班同學(xué)中逐一檢查，學(xué)生經(jīng)過(guò)多次練習(xí)、檢驗(yàn)，他們就有了一個(gè)初步的認(rèn)識(shí)，他們的書(shū)寫(xiě)習(xí)慣就會(huì)有了較大的改變，成績(jī)就會(huì)有較大的提高.

3 比對(duì)思維導(dǎo)圖，突顯解題的嚴(yán)謹(jǐn)

在解題教學(xué)中，題設(shè)各部分之間比較零碎，用思維導(dǎo)圖串接起來(lái)，從而彰顯解題的嚴(yán)謹(jǐn)性.在立體幾何中，有關(guān)平行、垂直的問(wèn)題常常是考查學(xué)生邏輯推理能力的最好體現(xiàn)，在學(xué)生作答卷面中常常出現(xiàn)這樣那樣的“添”“漏”現(xiàn)象，經(jīng)常看到學(xué)生自己的“定理”，無(wú)中生有就是一個(gè)“亂”字.主要原因是學(xué)生對(duì)定理記不準(zhǔn)、記不牢！解決這一問(wèn)題，教師必須教會(huì)學(xué)生一個(gè)解題的思維導(dǎo)圖，逐級(jí)而上尋找條件，直到在題設(shè)條件中找到所需的條件，最后倒著順序書(shū)寫(xiě)即可.

例1（2017年高考山東卷文18）由四棱柱AB-CD -A1B1ClDi截去三棱錐C1-B1CD1后得到的幾何體如圖3所示，四邊形ABCD為正方形，0為AC與BD的交點(diǎn)，E為AD的中點(diǎn)，A1E⊥平面ABCD.

（1）證明：A1O//平面B1CDi;

（2）設(shè)M是OD的中點(diǎn)，證明：平面A1EM上平面B1CDl.

分析（1）要證明A1O//平面B1 CD1，首先應(yīng)考慮到線與面平行的判定定理.用框圖形式在黑板中展示給學(xué)生（如圖4所示），同時(shí)規(guī)范學(xué)生的解題步驟.根據(jù)線面平行的判定定理，則需在面B1CD1上找一條平行線，讓學(xué)生用筆放在直線AiO上，平移到平面B1CD1中，在平面B1CD1內(nèi)找到所需的直線.

（2）要證面A1EM⊥面B1CD1，應(yīng)考慮到面與面垂直的判定定理.首先選取其中一個(gè)平面，在該平面上找垂線.不妨選擇平面A1EM，用筆作垂線試圖找到線BD，發(fā)現(xiàn)BD//B1D1，從而找到垂線B1D1，接著要證BD⊥面A1EM，為滿足線面垂直的條件，在面A1EM上找兩條相交直線EM和AE，在題設(shè)已知條件中檢驗(yàn)是否找到相對(duì)應(yīng)條件.

下面以本題中第（2）問(wèn)的導(dǎo)學(xué)思維圖為例：

解（1）略.（2）如圖5，因?yàn)锳C⊥BD，E、M分別為AD和OD的中點(diǎn)，所以EM ⊥BD.

因?yàn)锳BCD為正方形，所以AO上BD.

又因?yàn)锳1E⊥平面ABCD，BDc平面ABCD，所以AiE上BD.因?yàn)锽1Dl//BD，所以EM⊥B1D1，A1E⊥B1D1.

又因?yàn)锳1E，EMC平面A1EM，A1E∩ EM=E，

所以B1D1上平面A1EM.

又B1D1 c平面B1CD1，所以平面A1EM上平面B1 CD1.

學(xué)生能夠利用思維導(dǎo)圖，就會(huì)有效地減少學(xué)生的“跳步、漏步”現(xiàn)象，學(xué)生的數(shù)學(xué)思維就會(huì)更加嚴(yán)謹(jǐn)，從而提高學(xué)生的邏輯思維能力.

總之，不管是學(xué)習(xí)還是教學(xué)只要師生用心去體會(huì)、去嘗試，用比對(duì)反復(fù)理解定理，用操作融入思辨，用導(dǎo)圖追尋條件，這樣立體幾何中有關(guān)平行、垂直問(wèn)題就會(huì)迎刃而解.