高考“函數(shù)基本性質(zhì)”專題分析

楊小兵　胡丹

摘要：本文以2018年全國高考試題為載體，分析了函數(shù)基本性質(zhì)考題分布情況，并對典型題型進行解析.

關(guān)鍵詞：函數(shù);基本性質(zhì);專題分析

克萊因曾說：“函數(shù)是數(shù)學(xué)的靈魂.”函數(shù)貫穿整個高中是學(xué)習(xí)的重點，同時也是高考的重點、熱點和難點[l].高中的函數(shù)類型有常值函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、三角函數(shù)（反三角函數(shù)）、抽象函數(shù).高中范圍內(nèi)對函數(shù)的本質(zhì)可理解為：取值集合為“非空集合”，對應(yīng)時要求“單值對應(yīng)”[2].大部分高中學(xué)生對函數(shù)的理解不夠深刻，也不知道該從哪些方面去理解和學(xué)習(xí)函數(shù)，其實高考對函數(shù)的考查可以給我們一定的方向.本文以近年的高考函數(shù)基本性質(zhì)的典型題型為例，表明應(yīng)從函數(shù)的圖象、單調(diào)性、奇偶性、周期性、對稱性、有界性、凹凸性等方面來理解和學(xué)習(xí)函數(shù).

1 函數(shù)在高中數(shù)學(xué)中的地位

1.1 函數(shù)在教材中的位置

函數(shù)編排在人教A版必修1的第一章，承接初中函數(shù)概念中的“變量說”定義域存在局限，進而在高中函數(shù)概念中通過集合語言建立“對應(yīng)說”彌補這個局限性[2]，為后面學(xué)習(xí)指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)等奠定了基礎(chǔ).函數(shù)是描述客觀世界變化的基本模型，貫穿整個高中學(xué)習(xí)，函數(shù)思想滲透到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的方方面面.

1.2 新課程標(biāo)準(zhǔn)對函數(shù)的要求

在新課標(biāo)中，強調(diào)通過豐富的實例，利用集合與對應(yīng)的語言來刻畫函數(shù);強調(diào)從實際背景和定義兩個方面對函數(shù)本質(zhì)的理解;強調(diào)通過具體的函數(shù)理解函數(shù)的單調(diào)性，了解函數(shù)的奇偶性，學(xué)會運用函數(shù)圖象理解和研究函數(shù)的性質(zhì)[3].

1.3 函數(shù)在2018年高考試題中的地位

通過對2018年高考函數(shù)基本性質(zhì)考題分布情況的統(tǒng)計，全國卷有3 -6道考題，分值比重占全卷的21.3%;天津卷有3-5道考題，分值比重占全卷18%;浙江卷有4道考題左右，分值比重占全卷18%;江蘇卷有4道考題左右，分值比重占全卷18%.全國各個地方對函數(shù)的性質(zhì)的考查大致相同，但是各有側(cè)重，總的分值并無較大變化，且以簡單題和中檔題為主，考查學(xué)生對函數(shù)本質(zhì)的理解和函數(shù)“基本性質(zhì)”的綜合運用，對函數(shù)的圖象、單調(diào)性、奇偶性、周期性、凹凸性、考查較多.

1.4 考題分布情況

評注 例1屬于直接對函數(shù)圖象進行考查，給出函數(shù)的解析式，判斷函數(shù)圖象，第一步先判斷函數(shù)為奇函數(shù)或者偶函數(shù)，若為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點對稱，若為偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對稱;第二步帶特殊點進行驗證，若需要判斷函數(shù)圖象的單調(diào)性，則需要求導(dǎo)數(shù)判斷.例2是對函數(shù)圖象的間接考查，如求解分段函數(shù)參數(shù)范圍、函數(shù)的零點、線性規(guī)劃等問題往往也需要畫出函數(shù)圖象幫助分析，使問題更為直觀，數(shù)離不開形，形離不開數(shù)，其中滲透著數(shù)形結(jié)合的思想.

評注 利用求導(dǎo)，判斷函數(shù)在定義域上的單調(diào)性，進而求得答案，在利用換元法時一定要注意“換元必換限”.還有一類函數(shù)的表達式比較復(fù)雜，若直接進行計算，計算量非常大，不具有可行性，最主要觀察函數(shù)是否具有奇偶性、周期性，并計算函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性將比較函數(shù)轉(zhuǎn)化為其自變量絕對值大小的比較，例：若已知函數(shù)的表達式，且f（x）為偶函數(shù)，求f（cx）≥f（ ax+b）成立的x的取值范圍，則可轉(zhuǎn)化為|cx|>|ax+b|.

評注 利用三角函數(shù)的有界性（|sinx|≤1，|cosx|≤1）求函數(shù)值域、最值、證明不等式有著非常重要的作用.利用三角換元t= sinx（XER），則t∈[ -1，1]，也是利用三角函數(shù)有界性的常用手法.

2.7 函數(shù)凹凸性型

參考文獻：

[1]趙思林.初等代數(shù)[M].北京：科學(xué)出版社，2017.

[2]李袆，函數(shù)概念的本質(zhì)與定義方式探究[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2013，22（6）：5 -8.

[3]中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2018.