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    求解概率問題的五大法寶

    2019-08-01 12:02唐紹友
    理科考試研究·高中 2019年5期

    唐紹友

    摘要::概率是近幾年高考與自主招生考試中的重點(diǎn)內(nèi)容,其求解方法比較難,特別是與排列組合、數(shù)列有關(guān)的概率問題及幾何概型顯得更有難度.本文總結(jié)了五個(gè)方面的思考策略:認(rèn)真識(shí)別、發(fā)掘隱含、正難則反、精心構(gòu)造、遞推轉(zhuǎn)化.

    關(guān)鍵詞:認(rèn)真識(shí)別;發(fā)掘隱舍;正難則反;精心構(gòu)造;遞推轉(zhuǎn)化

    概率是近幾年高考與自主招生考試中的重點(diǎn)內(nèi)容,其求解方法比較難,特別是與排列組合、數(shù)列有關(guān)的概率問題及幾何概型顯得更有難度,所以對(duì)概率問題的常用求解方法有必要作一些總結(jié).

    1 認(rèn)真識(shí)別

    考試中的概率題型主要包括古典概型、幾何概型、互斥事件有一個(gè)發(fā)生的概率、獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率(特別情形:π次獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)中,事件A恰好

    例2 某陶瓷廠準(zhǔn)備燒制甲、乙、丙三件不同的工藝品,制作過程必須先后經(jīng)過兩次燒制,當(dāng)?shù)谝淮螣坪细窈蠓娇蛇M(jìn)入第二次燒制,兩次燒制過程相互獨(dú)立,根據(jù)該廠現(xiàn)有的技術(shù)水平,經(jīng)過第一次燒制后,甲、乙、丙三件產(chǎn)品合格的概率依次為0.5,0.6,0.4;經(jīng)過第二次燒制后,甲、乙、丙三件產(chǎn)品合格的概率依次為0.6,0.5,0.75.經(jīng)過前后兩次燒制后,合格工藝品的個(gè)數(shù)為ξ,求隨機(jī)變量ξ的分布列.

    分析由于甲、乙、丙三件工藝品經(jīng)兩次燒制后合格的概率都是0.3,且兩次燒制過程相互獨(dú)立,所以燒制三件工藝品可以視為三次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn),從而可以輕松獲解.

    評(píng)析 解決本題的關(guān)鍵在于識(shí)別獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn),否則,將會(huì)增大運(yùn)算量.

    2 發(fā)掘隱含

    眾所周知,隱含條件在求解數(shù)學(xué)問題中非常重要,隱含條件是引人步入解答誤區(qū)的誘餌,在概率問題的解決過程中也是如此,特別是在分析事件的過程中,要密切關(guān)注事件的隱蔽性,注意當(dāng)前事件的背后是否具有隱含的其他事件,這樣才能確保成功求解.

    例3在一次抗洪搶險(xiǎn)中,準(zhǔn)備用射擊的方法引爆從河上游漂流而下的一只巨大汽油罐.已知只有5發(fā)子彈備用,且首次命中只能使汽油流出,再次命中才能引爆成功.每次射擊命中的概率都是2/3,每次命中與否互相獨(dú)立.

    (1)求恰好射擊5次引爆油罐的概率;

    (2)如果引爆或子彈打光則停止射擊,設(shè)射擊次數(shù)為ξ,求ξ的分布列及ξ的數(shù)學(xué)期望.

    分析第(1)問中“恰好射擊5次引爆油罐”隱含了事件“前四次射擊中恰好命中一次”與事件“第五次命中”同時(shí)發(fā)生;第二問中ξ=5時(shí),隱含條件較深層,必須認(rèn)真發(fā)掘:

    ①“前四次都沒命中”與“第五次命中或沒命中”同時(shí)發(fā)生;②“前四次恰好命中一次”與“第五次命中或沒命中”同時(shí)發(fā)生.當(dāng)隱含事件分析清楚之后,解答

    3 正難則反

    在求解概率問題中,如果問題的正面所對(duì)應(yīng)的事件比較復(fù)雜時(shí),就可以考慮先求其對(duì)立事件的概率,即可以用計(jì)算公式:P(A)=1一P(A).

    例4 從平行六面體的8個(gè)頂點(diǎn)中任取三個(gè)組成三角形,又從這些三角形中任取兩個(gè),求這兩個(gè)三角形不共面的概率.

    分析 若直接求兩個(gè)三角形不共面的概率,顯得較復(fù)雜,然而從反面角度先求其對(duì)立事件的概率,再利用P(A) =1 -P(A)求原事件的概率,顯得較簡(jiǎn)單.

    例5-位國王的鑄幣大臣在每箱100枚的硬幣中各摻入了一枚劣幣,國王懷疑大臣作弊,他用兩種方法來檢測(cè).方法1:在10箱中各任意抽查一枚;方法2:在5箱中各任意抽查兩枚.國王用方法1、2能發(fā)現(xiàn)至少一枚劣幣的概率分別為p1和p2,試比較p1,p2的大小.

    分析若直接求p1,p2,分類較復(fù)雜,而其反面特別簡(jiǎn)單,“至少一枚劣幣”的反面是“全抽好幣”.

    4 精心構(gòu)造

    在求解幾何概型中,構(gòu)造技巧要求較高,常涉及到一維線段、二維區(qū)域、三維空間的構(gòu)造,在構(gòu)造時(shí)必須準(zhǔn)確無誤,才能正確地求出概率.

    例6 向面積為6的△ABC內(nèi)任投一點(diǎn)P,求APBC的面積小于2的概率,

    錯(cuò)解 由于試驗(yàn)的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域是AABC,記APBC的面積小于2為事件A.

    由此可見,構(gòu)造區(qū)域時(shí),一定要精心思考,是否與題設(shè)條件形成充要條件,否則將會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤.

    例7在間隔時(shí)間T(T>2)內(nèi)的任何瞬間,兩個(gè)信號(hào)等可能地進(jìn)入收音機(jī),若這兩個(gè)信號(hào)的間隔時(shí)間小于2,則收音機(jī)將受到干擾,求收音機(jī)受到干擾的概率.

    分析 由于兩個(gè)信號(hào)等可能地進(jìn)入收音機(jī)的時(shí)間都在(0,T)內(nèi)變化,所以是二維變量問題,因此需構(gòu)造二維區(qū)域求概率.

    在求解幾何概型中,準(zhǔn)確構(gòu)造幾何圖形是關(guān)鍵,在構(gòu)造幾何圖形之前,必須弄清變量維數(shù),然后確定構(gòu)造圖形的維數(shù).

    5 遞推轉(zhuǎn)化

    當(dāng)概率問題與數(shù)列有關(guān)時(shí),可以思考建立數(shù)列模型求解,特別是事件An與An-1(n≥2,n∈N)各自發(fā)生的概率之間可以建立遞推公式時(shí),一般可利用數(shù)列知識(shí)求其概率.從而將概率問題轉(zhuǎn)化為數(shù)列問題

    例8甲、乙等4人相互傳球,第一次由甲將球傳出,每次傳球時(shí),傳球者將球等可能地傳給另外3人中的任何1人.

    (1)經(jīng)過2次傳球后,球在甲、乙兩人手中的概率各是多少?

    (2)經(jīng)過n次傳球后,求球在甲手中的概率.

    分析由于傳球1次、2次、…n次后,球在甲手中的概率依次構(gòu)成了數(shù)列,所以求經(jīng)過n次傳球后球在甲手中的概率,就轉(zhuǎn)化為求數(shù)列的通項(xiàng)公式,于是可通過數(shù)列的遞推公式求其通項(xiàng).

    例9 一種擲硬幣(質(zhì)地均勻)走跳棋的游戲,棋盤上有第0,1,2,…,100,共101站.一枚棋子開始在0站,棋手每擲一次硬幣,棋子向前跳一次,若硬幣出現(xiàn)正面,則跳棋向前跳一站,若硬幣出現(xiàn)反面,則跳棋向前跳兩站,直至0棋子跳到第99站(獲勝)或者100站(失?。r(shí)游戲結(jié)束.求玩該游戲獲勝的概率?

    分析要求玩該游戲獲勝的概率,需求棋子跳到第99站的概率.因棋子跳到每一站的概率依次構(gòu)成數(shù)列P1,P2,…,Pn,所以需求P99.可以先求通項(xiàng)Pn,再求P99.

    解設(shè)棋子跳到n站的概率為Pn,棋子跳到n站,包括兩個(gè)互斥事件構(gòu)成:(1)由第n-l站跳到n站;(2)由第n-2站跳到n站,

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