例談“數(shù)形結(jié)合思想”在高考中的靈活應(yīng)用

魏建平

摘要：數(shù)形結(jié)合思想是高中數(shù)學(xué)中的一個(gè)很重要的數(shù)學(xué)思想，也是解題的一種重要依據(jù).本文以2018年高考數(shù)學(xué)全國(guó)I卷（理）為例，說(shuō)明數(shù)彤結(jié)合思想在解高考數(shù)學(xué)有關(guān)問(wèn)題時(shí)的應(yīng)用.由形化數(shù)、由數(shù)化形、數(shù)形轉(zhuǎn)化是本文永恒的主題，也是解決問(wèn)題的關(guān)鍵之所在.

關(guān)鍵詞：數(shù)形結(jié)合;由形化數(shù);由數(shù)化形;數(shù)形轉(zhuǎn)化

數(shù)形結(jié)合思想是解答數(shù)學(xué)試題的一種常用方法與技巧，特別是在解決選擇、填空題時(shí)發(fā)揮著奇特功效，數(shù)形結(jié)合，由數(shù)思形，由形定數(shù)，起到互補(bǔ)、互動(dòng)、互譯作用，可見(jiàn)數(shù)形結(jié)合思想可以使某些抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題直觀化、生動(dòng)化，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì).運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解題通常有三種類型：由形化數(shù)，由數(shù)化形，數(shù)形轉(zhuǎn)化，下面舉例說(shuō)明.

1 由形化數(shù)

由形化數(shù)就是借助所給的圖形，仔細(xì)觀察研究，提出圖形中蘊(yùn)含的數(shù)量關(guān)系，反映幾何圖形內(nèi)在的屬性.

例1 （2018年全國(guó)I卷理10）如圖1來(lái)自古希臘數(shù)學(xué)家希波克拉底所研究的幾何圖形.此圖由三個(gè)半圓構(gòu)成，三個(gè)半圓的直徑分別為Rt△ABC的斜邊BC，直角邊AB，AC.△ABC的三邊所圍成的區(qū)域記為I，黑色部分記為Ⅱ，其余部分記為Ⅲ，在整個(gè)圖形中隨機(jī)取一點(diǎn)，此點(diǎn)取自I，Ⅱ，Ⅲ的概率分別記為p1，p2，p3，則（ ）.

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查幾何概型與數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.解答本題的關(guān)鍵是借助所給的圖形，仔細(xì)觀察研究，提出圖形中蘊(yùn)含的數(shù)量關(guān)系，計(jì)算出半圓、三角形等幾何圖形的面積，然后再找p1，p2，p3之間的關(guān)系.

2 由數(shù)化形

由數(shù)化形就是根據(jù)題設(shè)條件正確畫出相應(yīng)的圖形，使圖形能充分反映出它們相應(yīng)的數(shù)量關(guān)系，提煉出數(shù)與式的本質(zhì)特征，

例2（2018年全國(guó)I卷理6）在△ABC中，AD為BC邊上的中線，點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，則贏：（ ）.

點(diǎn)評(píng) 本題以向量與三角形為背景，考查向量的線性運(yùn)算、向量加法的平行四邊形法則、數(shù)形結(jié)合思想等知識(shí).解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)題設(shè)條件正確畫出相應(yīng)的圖形，使圖形能充分反映出它們相應(yīng)的數(shù)量關(guān)系，提煉出數(shù)與式的本質(zhì)特征，然后利用向量的線性運(yùn)算、向量加法的平行四邊形法則等知識(shí)求解.

3 數(shù)形轉(zhuǎn)化

數(shù)形轉(zhuǎn)換就是根據(jù)“數(shù)”與“形”既對(duì)立，又統(tǒng)一的特征，觀察圖形的形狀，分析數(shù)與式的結(jié)構(gòu)，引起聯(lián)想，適時(shí)將它們相互轉(zhuǎn)化，化抽象為直觀并提示隱含的數(shù)量關(guān)系.

點(diǎn)評(píng) 本題以線性規(guī)劃為背景，考查二元一次不等式組、線性目標(biāo)函數(shù)的最值、數(shù)形結(jié)合思想等知識(shí).求解本題的關(guān)鍵是畫出約束條件所確定的可行域，發(fā)現(xiàn)當(dāng)直線Z。經(jīng)過(guò)點(diǎn)B時(shí)，在y軸上的截距最大.在整個(gè)解題過(guò)程中實(shí)現(xiàn)了“數(shù)”與“形”的相互轉(zhuǎn)化，化抽象為直觀并提示隱含的數(shù)量關(guān)系.

（收稿日期：2019 - 01 - 17）