為直觀插上想象的翅膀，為邏輯鑲上思辨的光芒

胡吉蔚

[摘 要] 主要闡述筆者在進(jìn)行《直線與平面垂直的定義及其判定》一課的教學(xué)設(shè)計中教材、學(xué)情及目標(biāo)分析和教學(xué)過程的實施中的各個環(huán)節(jié)遇到的困惑及采取的對策. 在整個教學(xué)環(huán)節(jié)完成后，筆者也對教學(xué)實踐效果進(jìn)行了反思.

[關(guān)鍵詞] 立體幾何；空間位置關(guān)系；直觀想象能力；邏輯推理能力

一個數(shù)學(xué)老師的課堂從哪里開始？從上課鈴打響的時刻嗎？筆者想不是，一節(jié)課的序幕拉開應(yīng)該是從翻開教材備課的那一刻開始的. 今天筆者要與大家分享的是在“直線與平面垂直的定義及其判定”這一課的整個環(huán)節(jié)中的困惑與突破.

教材、學(xué)情及目標(biāo)分析時的困惑與突破

1. 教材內(nèi)容分析及地位分析

本內(nèi)容是蘇教版教材必修2“第一章1.2.3直線與平面的位置關(guān)系”第二小節(jié)內(nèi)容，緊跟在直線與平面平行的判定定理與性質(zhì)定理之后，主要內(nèi)容涉及直線與平面垂直的定義及判定.

直線與平面垂直是直線與平面相交的一種特殊情況. 該內(nèi)容既是空間中直線與直線位置關(guān)系的三維延伸，又是平面與平面垂直的依托基礎(chǔ)、是直線與平面所成角概念的形成基礎(chǔ). 因此它是直線與直線（共面、異面）垂直與平面與平面垂直的連接樞紐. 通過這一知識點的學(xué)習(xí)，學(xué)生可以進(jìn)行下圖所示的轉(zhuǎn)換.

2. 課標(biāo)分析

課標(biāo)要求教學(xué)中從學(xué)生常見幾何體如長方體、圓錐等學(xué)生熟知的幾何體出發(fā)，揭示空間中一般的點、線、面之間的位置關(guān)系；通過對空間圖形的觀察、實驗、操作和思辨，讓學(xué)生了解平行、垂直關(guān)系的基本性質(zhì)及判定方法. 線面平行、垂直關(guān)系的判定定理只要求直觀感知、操作確認(rèn)，在此基礎(chǔ)上解決一些簡單的推理論證及應(yīng)用問題.

3. 學(xué)情分析

從縱向分析，學(xué)生初中在平面幾何中已學(xué)過共面條件下直線與直線垂直的判定方法，進(jìn)入立體幾何學(xué)習(xí)階段后又學(xué)習(xí)了異面直線垂直的判定方法；從橫向分析，學(xué)生已學(xué)習(xí)了與本課內(nèi)容結(jié)構(gòu)類似的直線與平面平行的定義、判定定理、性質(zhì)定理，初步感受立體幾何中觀察、操作、總結(jié)歸納、推理論證的過程，形成了一定的空間想象能力，初步具有合情推理與邏輯推理的意識，并具備一定的圖形語言、符號語言、文字語言三種語言之間相互轉(zhuǎn)換的能力.

4. 學(xué)習(xí)目標(biāo)分析

（1）知識與技能

通過觀察教具模型，抽象概括出直線與平面垂直的定義并進(jìn)行理解.

通過觀察、操作、歸納出直線與平面垂直的判定定理并能進(jìn)行簡單應(yīng)用.

（2）過程與方法

從實際背景出發(fā)，在探索直線與平面垂直的定義、判定定理過程中，進(jìn)一步提升空間想象能力、合情推理能力、邏輯推理能力.

加深對轉(zhuǎn)化思想的認(rèn)識，進(jìn)一步熟練將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題來解決.

（3）情感態(tài)度與價值觀

在探究的過程中體會數(shù)學(xué)與實際生活的聯(lián)系，體驗操作成功的樂趣，克服對空間問題的畏懼感，增強數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣與信心.

5. 重難點分析

（1）重點：直線與平面垂直的定義與判定定理.

（2）難點：直線與平面垂直定義的抽象，直線與平面判定定理的概括，直線與平面判定定理的應(yīng)用. ？搖？搖？搖？搖？搖

6. 分析過程中的困惑及突破

困惑1：現(xiàn)實生活中，直線與平面垂直的模型比比皆是，然而從直觀可見的“實”，？搖如何化為數(shù)學(xué)抽象的“虛”？這兩者之間的轉(zhuǎn)化是對學(xué)生的挑戰(zhàn). 如何才能讓這一難點既順利突破，又符合情理？

困惑2：直線與平面垂直的定義：如果一條直線l和平面α內(nèi)的任何一條直線都垂直，我們稱這條直線l和這個平面α互相垂直.

直線與平面判定定理：如果一條直線和一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這個平面.

從定義到判定定理，最大的一個變化是從“任意一條直線”到“兩條”“相交”直線. 這其中的數(shù)量關(guān)系發(fā)生了變化，位置關(guān)系發(fā)生了變化. 我該如何引導(dǎo)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)這樣的變化？

困惑3：課標(biāo)中線面垂直判定定理只要求直觀感知、操作確認(rèn)，而立體幾何知識模塊則是培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理論證能力的重要環(huán)節(jié)，這兩者之間可能產(chǎn)生的矛盾、沖突如何順利化解？如何能合理地將直觀感知、操作確認(rèn)與嚴(yán)密的邏輯表述與推理論證合理地統(tǒng)一起來？

突破策略1：我將直觀可見的“實”上升為數(shù)學(xué)抽象的“虛”分成兩個臺階. 第一階，先從直觀可見的“實”轉(zhuǎn)換為數(shù)學(xué)語言的“虛”；第二階，從數(shù)學(xué)語言的“虛”轉(zhuǎn)換為數(shù)學(xué)抽象的“虛”. 也就是先引導(dǎo)學(xué)生將實際生活中“旗桿與地面的位置關(guān)系”等模型轉(zhuǎn)換為數(shù)學(xué)語言中的直線與平面垂直，再引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會用數(shù)學(xué)中直線與直線垂直去描述直線與平面的位置關(guān)系.

？搖突破策略2：“任意”與“存在”是高中數(shù)學(xué)中非常重要的兩個量詞. 這里，我想借助直線與平面平行判定定理，采用類比推理的方式引導(dǎo)學(xué)生從定義向判定定理轉(zhuǎn)化.

？搖突破策略3：直觀感知、操作確認(rèn)是學(xué)生認(rèn)知現(xiàn)實世界的重要方式，而邏輯推理、思辨論證是認(rèn)知數(shù)學(xué)世界的重要方式. 這兩者并不矛盾，而是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程的因與果. 因此我決定，在大量的直觀感知、操作確認(rèn)的基礎(chǔ)上去發(fā)展學(xué)生的邏輯推理、思辨論證能力.

7. 教具選擇

學(xué)生自備學(xué)具：直角三角形紙片、斜三角形紙片、作圖工具.

教師教具：圓錐模型（標(biāo)出兩條母線、高，底面標(biāo)出多條半徑），塑料長棍（代表直線），？搖三角板（板書作圖用），PPT課件.

課堂實踐：困惑與突破的戰(zhàn)斗

1. 執(zhí)行突破策略1

直觀可見的“實”→數(shù)學(xué)語言的“虛”→數(shù)學(xué)抽象的“虛”.

師：空間直線與平面有哪些位置關(guān)系？

生：直線在平面內(nèi)，直線與平面平行，直線與平面相交.

師：你們能在現(xiàn)實世界中找到相應(yīng)的模型嗎？endprint

（學(xué)生七嘴八舌地開始說起來，有說教室里的電燈與地面是平行的，有說窗棱的，非常熱烈.）

筆者抓取了其中兩個實例作為代表：①教室后方本期黑板報中有黃色線條元素，于是有個同學(xué)說黃色的線斜著，延長后與地面相交；②有個同學(xué)說，實物投影儀立在講臺上.

師：這兩個生活模型都能表示直線和平面相交嗎？它們有沒有不一樣的地方呢？

生：黃色的線和地面是斜著的，而投影儀是直的.

師：那你們能用數(shù)學(xué)的語言表述一下何為“投影儀是直的”嗎？

生：（舉出這個實例的同學(xué)立刻站了起來）就是直線和平面是垂直的.

師：（將他的話板書在黑板上）說得很好. 在現(xiàn)實生活中，給我們這樣一種視覺感受的現(xiàn)象就是我們數(shù)學(xué)中要研究的直線與平面垂直，這就是本節(jié)課要研究的目標(biāo).

（至此，本節(jié)課的主題已經(jīng)引入，并且突破1中的第一階也已經(jīng)完成.）

師：那什么是數(shù)學(xué)中的直線和平面垂直呢？我們不能總是用生活中的實例來解釋這個位置關(guān)系，我們該如何用數(shù)學(xué)的語言去表達(dá)這樣的位置關(guān)系呢？

（此時，下面鴉雀無聲，學(xué)生確實難以實現(xiàn)從直觀印象到抽象定義的突破.）

實驗1：

師：（等待片刻后）請同學(xué)們拿出直角三角形紙片，以一條直角邊為軸旋轉(zhuǎn).你認(rèn)識旋轉(zhuǎn)得到的幾何體嗎？

生：是一個圓錐.

師：你能感知軸和圓錐底面的位置關(guān)系嗎？

生：軸和底面是垂直的.

師：（追問）從剛才旋轉(zhuǎn)的過程中，大家現(xiàn)在知道如何去描述直線與平面垂直嗎？

生：在旋轉(zhuǎn)的過程中，軸和底面所在的那條直角邊始終是垂直的. 我想，應(yīng)該是直線要和底面里的每一條直線垂直才叫直線和底面垂直.

師：（舉起手中的圓錐模型，停頓，留給其他同學(xué)思考的時間）同學(xué)們認(rèn)為這位同學(xué)說得有道理嗎？

（這時，突然有同學(xué)打斷了筆者的話，要求舉例. 她說，操場的旗桿在太陽照射的時候旗桿和每一時刻的影子都是垂直的，因此旗桿和地面也是垂直的.筆者給予了這位同學(xué)表揚.）

【設(shè)計意圖】 通過實驗、操作，感受直線與平面垂直的形象直觀，同時自然將直線與平面垂直的模型降維至直線與直線垂直.

實驗1結(jié)束，到此刻為止，策略1中的突破難點的“兩部曲”已經(jīng)基本演奏結(jié)束，并取得了預(yù)期的效果.

難點突破后，師生再修飾語言，明確定義：如果一條直線l和平面α內(nèi)的任何一條直線都垂直，我們就說這條直線l和這個平面α互相垂直，記作l⊥α，直線l叫作平面α的垂線，平面α叫作直線l的垂面. 直線與平面垂直時，它們唯一的公共點叫作垂足.

此處教師說明定義①一條直線垂直于平面內(nèi)任意一條直線，則這條直線與該平面垂直，符號表示為l⊥aa？奐α？圯l⊥α；②一條直線垂直于一個平面，是指這條直線垂直于這個平面內(nèi)的任何直線，符號表示為l⊥αa？奐α？圯l⊥a. 另外，教師明確作圖方法，即通常把直線畫成與表示平面的平行四邊形的一邊垂直. 規(guī)范作圖如圖1所示.

【辨析1】 判斷下列說法是否正確：

（1）一條直線與平面內(nèi)無數(shù)條直線垂直，那么這條直線與這個平面垂直；

（2）一條直線與平面不垂直，那么這條直線與平面內(nèi)任一條直線都不垂直.

【設(shè)計意圖】 辨析（1），如圖2，突出“無數(shù)”與“任意”的沖突；辨析（2），是命題與否命題之間的聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會改變條件、變換條件與結(jié)論，或?qū)l件與結(jié)論進(jìn)行全部或部分否定進(jìn)行辨析. 通過兩個辨析題，引導(dǎo)學(xué)生畫出反例的圖，從而進(jìn)一步深化對定義的理解，同時為判定的辨析作鋪墊.

2. 執(zhí)行突破策略2

師：請同學(xué)們觀察我們的教室，請問，教室的墻縫所在直線與地面所在平面垂直嗎？

生：（異口同聲）垂直.

師：你是怎么判斷的？你有沒有判斷豎著的墻縫所在直線和地面所在平面內(nèi)的每一條線都垂直呢？

（學(xué)生再一次安靜下來，因為他們得到垂直的結(jié)論還是基于自己的直觀感受，并沒有經(jīng)過定義的檢驗.）

生：（一個學(xué)生舉手）老師，其實我們不用去判斷每一條，我覺得只要墻縫和地面那兩條垂直的縫垂直就可以了.

師：你能把條件敘述清晰一點嗎？

生：豎著的墻縫和下面兩條地縫垂直，而且兩條地縫也要相互垂直，那么豎著的墻縫和地面是垂直的.

生：同學(xué)們同意她的觀點嗎？（有同學(xué)點頭，有同學(xué)搖頭）下面我們要一起來做一個實驗.

實驗2：

師：請同學(xué)們將三角形紙片ABC（如圖3）過其頂點A與BC上一點D翻折，得到折痕AD，將翻折后的紙片豎起放置在桌面上（BD，CD與桌面接觸，如圖4）.

（1）？搖觀察折痕與桌面的位置關(guān)系；

（2）你能折出AD與桌面所在平面垂直嗎？

師：請同學(xué)們回顧前面的過程，回答下面的幾個問題：

（3）在△ABC中，AD與BD，CD的關(guān)系？BD與CD的關(guān)系？

（4）翻折后，AD與BD，CD的關(guān)系變化沒有？由此你能得到什么結(jié)論？

（5）你在實驗中得到的結(jié)論和剛才墻縫地面問題中得到的結(jié)論一致嗎？

【設(shè)計意圖】 引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，因為利用定義判斷就會涉及“任意”這一無限的問題，讓學(xué)生覺得不方便，從而激起尋找更間接方法的需求. 同時將無限減少到有限，再到不可再減的過程轉(zhuǎn)換為不妨從1條開始增加一直到足夠數(shù)目為止.

問題（3）（4）引導(dǎo)學(xué)生對操作過程進(jìn)行回顧總結(jié)，進(jìn)行合情推理得到正確結(jié)論. 在合情推理的同時，利用說理讓學(xué)生感受邏輯推理的成分，從而不降低學(xué)生的思維水平.

在實驗結(jié)束后，大多數(shù)同學(xué)在兩條相交直線上達(dá)成了一致，但是在平面內(nèi)兩條相交直線是否需要垂直又產(chǎn)生了爭論. 因此筆者引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)用旋轉(zhuǎn)實驗的方法，得出正確結(jié)論，同時驗證判定定理與定義的一致.endprint

師：請同學(xué)們用圖形語言、文字語言、符號語言將上述結(jié)論完整表述出來.

下面教師引導(dǎo)學(xué)生讓學(xué)生自主進(jìn)行梳理、歸納概括，并用文字語言、符號語言、圖形語言表達(dá)直線與平面垂直的判定定理.

直線和平面垂直的判定定理：如果一條直線和一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這個平面.

【辨析2】 判斷下列說法是否正確：

（1）如圖7，如果一條直線l與一個梯形的兩條邊垂直，那么這條直線垂直于梯形所在的平面. 這種說法是否正確？為什么？

（2）如果一條直線與平面內(nèi)無數(shù)多條直線垂直，那么這條直線垂直于這個平面.

【設(shè)計意圖】 強化定理中“兩條”“相交”的條件，達(dá)到與練習(xí)1中辨析相同的意圖.

3. 執(zhí)行突破策略3

例1：如圖8，有一根旗桿AB高8 m，它的頂端A掛一條長10 m的繩子，拉緊繩子并把它的下端放在地面上的兩點（和旗桿腳不在同一直線上）C，D，如果這兩點都和旗桿腳B的距離是6 m.

（1）證明旗桿和地面垂直；

（2）求AB與CD所成的角.

【設(shè)計意圖】 （1）利用勾股定理得到線線垂直，再由判定定理得到線面垂直. 體會空間問題向平面問題轉(zhuǎn)化. （2）是定義的運用. 解決問題過程中，注意書寫的規(guī)范性.

練習(xí)：如圖9，在三棱柱V-ABC中，VA=VC，AB=BC，求證VB⊥AC.

【設(shè)計意圖】 選用常見幾何體——三棱錐. 本題思路是線線垂直、線面垂直、線線垂直，讓學(xué)生體會這兩者關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化.

教學(xué)反思

1. 成功之處

（1）本設(shè)計首先從生活實踐出發(fā)，尋找線面垂直的實際模型，在課堂上引導(dǎo)學(xué)生積極發(fā)現(xiàn)生活中的數(shù)學(xué). 同時用實驗的方法引導(dǎo)學(xué)生從學(xué)生可見的、熟悉的圓錐體入手，成功突破了從直觀形象的垂直到嚴(yán)格定義的垂直這一難點.

（2）折紙實驗過程中，很多學(xué)生能立刻發(fā)現(xiàn)如果折痕是三角形底邊的高時，折痕就會與桌面垂直，但并不能清晰地說出直線與平面垂直的條件，主要是因為沒能發(fā)現(xiàn)三角形紙片沿高對折后，原來的垂直關(guān)系不發(fā)生改變. 此處安排了一個問題串，將學(xué)生的目光聚焦到有效垂直關(guān)系上去，從而能理清條件與結(jié)論.

（3）在定義與判定定理出現(xiàn)后，都安排了辨析. 命題的出現(xiàn)要伴之以辨析，通過削弱命題的條件，互換或部分呼喚命題的條件與結(jié)論的位置等方法，對命題進(jìn)行辨析有利于學(xué)生對原命題的理解，同時也教給學(xué)生如何去研究命題.

2. 值得改進(jìn)的地方

課標(biāo)中不要求對直線與平面垂直判定定理的證明，只要求操作確認(rèn)并概括出判定定理即可. 但是邏輯證明不要求，并不代表學(xué)生的思維水平可以降低. 因此，此處如何在操作過程中進(jìn)行引導(dǎo)，使得學(xué)生既能感受合情推理的魅力，又能體會邏輯推理的嚴(yán)謹(jǐn)，細(xì)節(jié)之處該如何處理，仍是值得推敲的地方.endprint