以準備性學(xué)習(xí)材料建模，理解和倍問題的數(shù)量關(guān)系

梁剛 溫彩娥

摘? 要：和倍問題在小學(xué)數(shù)學(xué)里一直屬于奧數(shù)知識的范疇，學(xué)習(xí)簡易方程后列方程解題雖然能很好地擺脫算術(shù)思維的局限性，變逆向思維為順向思維，還有未知數(shù)參與計算等于多了已知條件等優(yōu)勢，但對于和倍問題部分學(xué)生依然沒能順利解決。我們通過不斷嘗試，打破列方程解題注重找等量關(guān)系的常規(guī)，以準備性學(xué)習(xí)材料入手，結(jié)合字母表示數(shù)的知識從舊的數(shù)學(xué)模型“已知兩個數(shù)的倍數(shù)關(guān)系和其中的一個數(shù)，就能算出另一個數(shù)”遷移到新的數(shù)學(xué)模型“已知兩個數(shù)的倍數(shù)關(guān)系與它們的和，就能算出這兩個數(shù)”，幫助學(xué)生理解和倍問題的數(shù)量關(guān)系，收到了顯著的效果。

關(guān)鍵詞：和倍問題;建模思想;數(shù)量關(guān)系

人教版小學(xué)數(shù)學(xué)五年級上冊第五單元《簡易方程》里實際問題與方程的例4，是奧數(shù)知識里的和倍問題，這一類問題含有兩個未知數(shù)，是學(xué)生之前從未接觸過的，對于理解能力稍弱的學(xué)生來說，碰上這類題如同“老鼠拉龜”，無從下手。這類題目跟其他題目最大的不同，也是最大的難點在于，題目給出的兩個數(shù)字：兩個數(shù)的倍數(shù)關(guān)系與兩個數(shù)的和，不能直接拿來列算式！無論用算術(shù)思路還是列方程求解，都必須明確有倍數(shù)關(guān)系的兩個數(shù)里，一倍數(shù)占一份。按說五年級的學(xué)生利用中低學(xué)段學(xué)過的總數(shù)除以份數(shù)等于每份數(shù)、誰是誰的幾倍等知識應(yīng)該能解決這類問題的。但實際上學(xué)習(xí)列方程解決例4時，學(xué)生會設(shè)陸地面積為x，海洋面積也會用2.4x表示，可列出來的方程卻是2.4x=5.1，就算旁邊的同學(xué)提示，要加上陸地面積這個x才是地球的表面積，就算看著線段圖來分析，他們還是一知半解。有倍數(shù)關(guān)系的兩個數(shù)利用它們的和或差計算的時候，必須用上“一倍數(shù)”，但學(xué)生在“誰是誰的幾倍”這句話里，往往只注意幾倍數(shù)的份數(shù)，忽略了“一倍數(shù)”也占一份。

俞正強老師說：“學(xué)習(xí)困難的發(fā)生一定是有原因的。大多數(shù)學(xué)生完成小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)應(yīng)該不會有太大困難，如果發(fā)生了困難，一定是某個地方的準備出問題了，教師的任務(wù)就是找尋那個節(jié)點，只要節(jié)點解決了，學(xué)習(xí)也就解決了?！?[1]那么和倍問題的“節(jié)點”在哪兒？應(yīng)該給予學(xué)生怎樣的學(xué)習(xí)準備呢？一開始我們利用三道涂色題幫助學(xué)生理解和、差、倍問題的數(shù)量關(guān)系。第1題：（圖1）把其中的一份涂上顏色;空白部分的面積是陰影部分面積的（? ）倍。第2題：（圖2）圖中有100個小格，請你把其中的一部分涂上顏色，使空白部分的面積是陰影部分面積的4倍。第3題：（圖3）分一分，涂一涂，使圖中空白部分的面積是陰影部分面積的5倍，空白部分面積比陰影部分面積多4份。

這三道涂色題不僅幫助學(xué)生正確區(qū)分“誰是一倍數(shù)”“誰是幾倍數(shù)”，也很好地強調(diào)出一倍數(shù)的地位，兩者之和的總份數(shù)要加上這1份，兩者相差的份數(shù)要減掉這1份，可惜對于新課和倍問題的解決幫助不大，學(xué)生不懂得把圖例中的和倍關(guān)系與實際問題中的和倍關(guān)系聯(lián)系起來。

我們又試著利用線段圖幫助學(xué)生理解和倍問題的數(shù)量關(guān)系，發(fā)現(xiàn)學(xué)生計算整數(shù)倍時又對又快，換成小數(shù)倍就不行了。這反映出由整數(shù)倍過渡到小數(shù)倍，學(xué)生的觀念一下子轉(zhuǎn)變不過來，因為學(xué)生最早接觸的份數(shù)概念、倍數(shù)概念都是整份的，把不夠一份的零點幾份參與計算對于學(xué)生來說有點抽象。但更深層的原因是，學(xué)生還沒有真正領(lǐng)悟到和倍問題的解題方法，他們只是把答案套進去而已。和倍問題是在“誰是誰的幾倍”的基礎(chǔ)上進行學(xué)習(xí)的，學(xué)生對“已知兩個數(shù)的倍數(shù)關(guān)系和其中一個數(shù)，就能求出另一個數(shù)”已經(jīng)很熟練了，現(xiàn)在上升為有倍數(shù)關(guān)系的兩個數(shù)都不知道，搭建一個什么橋梁才能使學(xué)生發(fā)現(xiàn)這兩個數(shù)的和包括了一倍數(shù)和幾倍數(shù)的總份數(shù)，從而利用這個數(shù)量關(guān)系來解決問題呢？

經(jīng)過不懈的努力，我們終于找到了方向，把學(xué)習(xí)重點定為建立“幾倍數(shù)+一倍數(shù)=和”的數(shù)學(xué)模型。要提煉模型，在“知識”與“數(shù)學(xué)問題”之間需要情境，尤其是熟悉的生活情境，更能引起學(xué)生的共鳴。于是新課引入我們創(chuàng)設(shè)了買水果的情境：周末老師去買兩種水果，共20個，其中橘子的個數(shù)是橙子的4倍，你能猜出老師買的橘子和橙子分別是多少個嗎？這道題大多數(shù)學(xué)生不能一下子找到答案，旨在建立一個初步印象：知道了兩個數(shù)的和以及這兩個數(shù)的倍數(shù)關(guān)系，能算出這兩個數(shù)分別是多少嗎？

接著開展小活動，回顧舊知“已知兩個數(shù)的倍數(shù)關(guān)系和其中一個數(shù)，就能求出另一個數(shù)”。先請一個男生上臺，使女生的人數(shù)是男生的3倍，要請幾個女生上臺？怎么列式？可以用什么方法表示這種倍量關(guān)系？讓學(xué)生各抒己見，預(yù)設(shè)學(xué)生會畫符號、畫線段圖表示人數(shù)……再請2個男生上臺，女生的人數(shù)仍然是男生的3倍，要請幾個女生上臺？怎么列式？還能用剛才的圖例表示現(xiàn)在的倍量關(guān)系嗎？隨著數(shù)量的增多，一個符號表示一個人還方便嗎？此處優(yōu)化方法，突出線段圖的優(yōu)勢，可以用一段表示男生人數(shù)，仍然畫三段表示女生人數(shù)。也就是說，不管男生有多少人，都是一份，叫作一倍數(shù)，同時指著3倍：只要知道兩個數(shù)的倍數(shù)關(guān)系和一倍數(shù)，就能算出女生人數(shù)。女生的人數(shù)不止一倍，我們叫作幾倍數(shù)。反過來，已知兩個數(shù)的倍數(shù)關(guān)系和幾倍數(shù)，能求出一倍數(shù)嗎？總結(jié)模型：已知兩個數(shù)的倍數(shù)關(guān)系和其中的一個數(shù)，就能求出另一個數(shù)。（板書省略）

接著進入重點環(huán)節(jié)，利用舊模型與字母表示數(shù)的知識，建立新模型。在剛才的活動中，女生的人數(shù)是男生的3倍，屏幕上紅色箱子里乒乓球的個數(shù)也是黃色箱子的3倍。箱子里有幾個乒乓球，知道嗎？你有辦法表示兩個箱子里分別有幾個乒乓球嗎？（板書：x和3x，寫在剛才模型的下方）反過來可以嗎？用x表示幾倍數(shù)的話，一倍數(shù)怎么表示？你覺得哪一種表示方法更方便？讓學(xué)生加深印象：用x表示一倍數(shù)，幾倍數(shù)是它的幾倍就乘幾更簡便。此時此刻你最想知道什么？（箱子里有幾個乒乓球）你能算出來嗎？（不能，條件不夠）那么已知兩個數(shù)的倍數(shù)關(guān)系，再補充一個什么信息，就能算出兩個箱子里分別有幾個乒乓球？讓學(xué)生開展小組活動，一起討論交流，預(yù)設(shè)學(xué)生匯報情況有三：

（1）補充黃色箱子乒乓球的個數(shù)，能算出紅色箱子乒乓球的個數(shù)。

（2）補充紅色箱子乒乓球的個數(shù)，能算出黃色箱子乒乓球的個數(shù)。

（3）補充兩個箱子里一共有幾個乒乓球，能分別算出兩個箱子里有幾個乒乓球。

重點放在第（3）種情況：補充誰跟誰一共的個數(shù)，真的能算出兩個箱子里分別有幾個乒乓球嗎？怎樣列方程？誰會解這個方程？一個數(shù)算出來了，另一個數(shù)呢？

小結(jié)：原來只要知道了兩個數(shù)的倍數(shù)關(guān)系，又知道這兩個數(shù)的和，就能算出這兩個數(shù)，總結(jié)得出新模型（圖4）：幾倍數(shù)+一倍數(shù)=和。并追問除了上面3種方法，還有不同的方法嗎？

然后鞏固新模型，看線段圖找信息：乙是甲的3.4倍，甲、乙一共是8.8米，讓學(xué)生聯(lián)系新模型，明確甲是一倍數(shù)，乙是幾倍數(shù)，甲、乙分別是幾知道嗎？如果用x表示甲，那么乙怎么表示？看著線段圖，你會列方程嗎？你會解這個方程嗎？甲數(shù)算出來了，乙數(shù)呢？

最后利用模型學(xué)以致用，解決實際問題：（1）地球的表面積為5.1億平方千米，其中海洋面積約為陸地面積的2.4倍。地球上海洋面積和陸地面積分別是多少億平方千米？（2）今年春節(jié)，年初一至年初七來六祖故里旅游的人數(shù)多達40.5萬人。其中成人人數(shù)大約是兒童人數(shù)的3.5倍。你知道六祖故里旅游區(qū)這7天分別接待了多少名兒童和成人嗎？

按照這個教學(xué)流程上課，學(xué)生完成這兩道實際問題的準確率大大提升，可見“幾倍數(shù)+一倍數(shù)=和”這個模型的建立對于學(xué)生解決和倍問題大有幫助?？v觀整節(jié)課，我們利用準備性學(xué)習(xí)材料，幫助學(xué)生梳理清楚舊知識的脈絡(luò)，概括總結(jié)出“已知兩個數(shù)的倍數(shù)關(guān)系和其中一個數(shù)，就能求出另一個數(shù)”，在此基礎(chǔ)上引出新問題：這兩個數(shù)都未知的話，可以補充一個什么信息，就能算出這兩個數(shù)？同時結(jié)合用字母表示數(shù)的知識，滲透兩個未知數(shù)如何列方程解答，一步一步有梯度地層層遞進，這樣設(shè)計不僅突出了兩個數(shù)的和，也突出了兩個數(shù)都是未知數(shù)，跟例4的聯(lián)系非常緊密。有了這個準備環(huán)節(jié)的鋪墊，學(xué)生解決例4這種類型的題目，等量關(guān)系找得很準，列方程基本沒問題。從學(xué)生的課堂回答和練習(xí)效果來看，這樣設(shè)計很符合學(xué)生的認知規(guī)律，把“竅門”弄明白后，不僅和倍問題解決了，差倍問題、和差問題也能舉一反三地跟著解決，對學(xué)生形成系統(tǒng)的數(shù)學(xué)思想很有幫助，是卓有成效的。

“知識是有類型的，每一種類型的知識， 其教學(xué)是有不同樣式的。” [2]作為老師我們要努力把握好每一類知識的側(cè)重點，通過準備性學(xué)習(xí)材料降低學(xué)習(xí)新課的坡度，幫助學(xué)生更好地理解、掌握新知識，樹立學(xué)好數(shù)學(xué)的信心，感受運用數(shù)學(xué)知識解決問題的樂趣！

參考文獻：

[1]? 俞正強. 教學(xué)應(yīng)該發(fā)生在恰當?shù)牡胤健獙W(xué)困生問題的20年思考與感悟[J]. 人民教育，2009（11）：39-40.

[2]? 俞正強. 俞正強：小學(xué)生數(shù)學(xué)課堂學(xué)習(xí)之基本樣式[J]. 中國教師，2014（13）：20-22.