類比法在矩陣運(yùn)算教學(xué)中的應(yīng)用

陳彥恒 賈松芳

【摘要】 本文探討了類比法在矩陣運(yùn)算教學(xué)中的應(yīng)用，將矩陣的運(yùn)算及其運(yùn)算律類比為數(shù)的運(yùn)算及其運(yùn)算律，不僅提升了學(xué)生對(duì)矩陣運(yùn)算的理解和實(shí)際應(yīng)用能力，而且激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力和創(chuàng)新意識(shí).

【關(guān)鍵詞】 數(shù)的運(yùn)算;矩陣的運(yùn)算;類比法

【基金項(xiàng)目】 該文由重慶市教委科研資助項(xiàng)目（KJ1710254），重慶三峽學(xué)院重點(diǎn)項(xiàng)目（14ZD16），重慶三峽學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院教改項(xiàng)目資助.

矩陣運(yùn)算又是矩陣的最基本內(nèi)容，同時(shí)也是學(xué)生深入進(jìn)行專業(yè)課學(xué)習(xí)的重要工具，但學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中會(huì)遇到內(nèi)容抽象枯燥、知識(shí)碎片化、邏輯嚴(yán)密等問(wèn)題的困擾，從而影響了學(xué)習(xí)的效果和興趣.因此，如何增強(qiáng)學(xué)生對(duì)矩陣運(yùn)算的學(xué)習(xí)興趣和學(xué)習(xí)效果，如何利用該課程培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思想，如何培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和思維能力是擺在任課教師面前的重要問(wèn)題.

實(shí)踐證明，類比教學(xué)法是一種解決上述問(wèn)題的有效方法.類比法，屬于平行式思維的一種方法，是通過(guò)觀察比較、分析聯(lián)想來(lái)猜想所獲得的結(jié)論，它是一種尋求真理、發(fā)現(xiàn)真理的最基本、最主要的工具.特別是在數(shù)學(xué)的教學(xué)中，應(yīng)用類比法能使學(xué)生在學(xué)習(xí)新知識(shí)時(shí)，有“恍然大悟”的感覺(jué)，使得枯燥的數(shù)學(xué)理論知識(shí)在清晰的對(duì)比、歸納中融入學(xué)生的知識(shí)鏈中.

數(shù)是最基本的概念，對(duì)數(shù)的研究一直是人類學(xué)習(xí)研究過(guò)程中的基本內(nèi)容，并且數(shù)在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的加、減、乘、除運(yùn)算法則是理論的、邏輯的代數(shù)體系，它反映了數(shù)學(xué)的思想和方法，同時(shí)也是牢牢駐扎在學(xué)生大腦中最熟悉的知識(shí).矩陣的運(yùn)算與數(shù)的運(yùn)算之間存在很多相似的地方，比如，矩陣的加減法本質(zhì)上是數(shù)的加減法，矩陣的數(shù)乘本質(zhì)上是數(shù)的乘法，但數(shù)和矩陣是兩種不同數(shù)學(xué)概念，兩者又有不同的地方.本文探討了類比法在矩陣運(yùn)算教學(xué)中的應(yīng)用，不僅提升了學(xué)生對(duì)矩陣運(yùn)算的理解和實(shí)際應(yīng)用能力，而且激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)了學(xué)生的思維能力和創(chuàng)新意識(shí).

一、類比法在矩陣線性運(yùn)算教學(xué)中的應(yīng)用

在矩陣的加減法教學(xué)中，由數(shù)的加減運(yùn)算法則可類比性地引出矩陣的加減法運(yùn)算，即對(duì)應(yīng)元素?cái)?shù)字的加減，有減法可進(jìn)一步說(shuō)明對(duì)應(yīng)元素全部相等的矩陣相等，其運(yùn)算規(guī)律與數(shù)的運(yùn)算規(guī)律完全一致，滿足交換律、結(jié)合律等，但需注意的是同型矩陣，即行數(shù)與列數(shù)分別相同的矩陣才能進(jìn)行加減運(yùn)算.

在矩陣的數(shù)乘運(yùn)算教學(xué)中，數(shù)與矩陣的乘法可類比為數(shù)與數(shù)的乘法，即數(shù)與矩陣的每一個(gè)元素相乘，從而矩陣的數(shù)乘本質(zhì)就成了數(shù)的乘法.因此，關(guān)于數(shù)的乘法的交換律、結(jié)合律、分配律，矩陣的數(shù)乘運(yùn)算也都具有.

由此可以看出，數(shù)的加減法，乘法與矩陣線性運(yùn)算存在著許多的相似處，通過(guò)兩者類比，加深學(xué)生對(duì)矩陣線性運(yùn)算及性質(zhì)的理解與記憶.

二、類比法在矩陣乘法中的應(yīng)用

由矩陣的數(shù)乘運(yùn)算，我們知道：一個(gè)數(shù)乘一個(gè)矩陣等于這個(gè)數(shù)乘矩陣中的每一個(gè)元素.通過(guò)類比，很自然地提出一個(gè)問(wèn)題：兩個(gè)矩陣相乘是對(duì)應(yīng)元素相乘嗎？答案是否定的.事實(shí)上，矩陣的乘法是在實(shí)際應(yīng)用中提出的，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)本質(zhì)來(lái)源于生活的思想，具體可參見(jiàn)文獻(xiàn)[1][2]矩陣乘法部分的引例.

在某種意義上，矩陣可以看成是數(shù)的推廣，那么矩陣的乘法運(yùn)算律可以類比為數(shù)的乘法運(yùn)算律來(lái)進(jìn)行教學(xué).數(shù)的乘法運(yùn)算律有交換律、結(jié)合律、分配律、消去律等，但這些運(yùn)算律對(duì)矩陣乘法來(lái)說(shuō)不完全成立.矩陣乘法滿足結(jié)合律以及矩陣乘法對(duì)矩陣加法的左右分配律，但不滿足交換律和消去律.但單位矩陣與任意同階方陣相乘滿足交換律，且相乘結(jié)果等于矩陣本身.進(jìn)一步可知，在滿足矩陣可乘的條件下，單位矩陣與任意矩陣左乘或右乘都等于矩陣本身，可見(jiàn)單位矩陣在矩陣乘法中的作用類似于數(shù)1在數(shù)乘法中的作用.

在講授矩陣乘法的運(yùn)算規(guī)律時(shí)，關(guān)鍵在于將其與數(shù)的乘法運(yùn)算律進(jìn)行類比教學(xué)，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中熟練掌握兩者運(yùn)算規(guī)律的不同點(diǎn)和相同點(diǎn).為了使兩者之間的區(qū)別與聯(lián)系更加直觀，教師可以讓學(xué)生自己列出數(shù)的乘法與矩陣乘法運(yùn)算律的對(duì)比表.

三、類比法在矩陣的逆運(yùn)算中的應(yīng)用

在數(shù)的乘法運(yùn)算中，對(duì)數(shù)a，如果存在數(shù)b，使得ab=ba=1，那么稱數(shù)b是數(shù)a的逆，記作a-1.因而，可提出問(wèn)題：類比數(shù)的這一性質(zhì)，能否利用矩陣的乘法定義矩陣的逆運(yùn)算呢？答案是肯定的，對(duì)方陣 A ，我們把滿足條件 AB = BA =I的矩陣 B 稱為 A 的逆矩陣，記作 A -1.

對(duì)數(shù)a，若a≠0，則a可逆，且a-1= 1 a .類比數(shù)的這一性質(zhì)，可以得到矩陣可逆的判定定理：對(duì)方陣 A ，若| A |≠0，則 A 可逆，且 A -1=? A| A | ，其中 A 是 A 的伴隨矩陣.

對(duì)數(shù)a，b，c，若a可逆，且ab=ac，則b=c，即數(shù)的乘法是滿足消去律的.正如上面所述，矩陣的乘法一般是不滿足消去律的，但類比數(shù)的這一性質(zhì)，可得：對(duì)矩陣 A ， B ， C ，若 A 可逆，且 AB = AC （ BA = CA ），則 B = C ，即在矩陣可逆的條件下，矩陣的乘法是滿足左（右）消去律的.進(jìn)而還可以利用一元一次方程求解方法來(lái)類比求解矩陣方程的解，例如，若矩陣方程 AXB = C ，其中 A ， B 是可逆陣，則矩陣方程有唯一解 X = A -1 CB -1.

從上面的討論中我們不難發(fā)現(xiàn)，矩陣運(yùn)算的類比法教學(xué)不僅可以讓學(xué)生將所熟悉的數(shù)的運(yùn)算遷移到矩陣的運(yùn)算上去，而且可以使學(xué)生更容易理解矩陣的運(yùn)算及運(yùn)算律，使得教師的教和學(xué)生的學(xué)有機(jī)結(jié)合，同時(shí)也激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)了學(xué)生探索問(wèn)題的能力和創(chuàng)新意識(shí).

【參考文獻(xiàn)】

[1]姜友誼，吳艷秋，鄒黎敏.線性代數(shù)[M].北京：科學(xué)出版社，2015.

[2]張志讓，劉啟寬.高等代數(shù)[M].北京：高等教育出版社，2008.

[3]陳維新.線性代數(shù)簡(jiǎn)明教程（第二版）[M].北京：高等教育出版社，2010.