從高考題看高中數(shù)學(xué)圓錐曲線解題技巧

李勇 周會(huì)娟

【摘要】 圓錐曲線是歷年數(shù)學(xué)高考中的核心考點(diǎn)之一.圓錐曲線題型復(fù)雜多變，解題過程煩瑣，學(xué)生稍不注意便會(huì)出錯(cuò).圓錐曲線問題雖然較難，但解題時(shí)依然有一定的技巧和方法，學(xué)生掌握技巧和方法后便能輕而易舉地求出題目.文章從高考題入手，對(duì)圓錐曲線解題技巧和方法進(jìn)行了簡(jiǎn)單分析.

【關(guān)鍵詞】 高考題;圓錐曲線;解題思想

一、從高考題看高中數(shù)學(xué)圓錐曲線試題

分析近幾年高考數(shù)學(xué)中有關(guān)圓錐曲線試題可知，圓錐曲線主要以客觀題和主觀題的形式存在，考查知識(shí)點(diǎn)較多，橢圓、拋物線、雙曲線等都是考查對(duì)象.具體來講圍繞著圓錐曲線概念與性質(zhì)、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系等出題.要求學(xué)生在掌握相關(guān)概念與性質(zhì)的基礎(chǔ)上運(yùn)用各種數(shù)學(xué)思想方法如數(shù)形結(jié)合、分類討論等方法求解.高考數(shù)學(xué)對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思想、解題能力要求較高，圓錐曲線試題更體現(xiàn)出這一高考特征.

二、圓錐曲線高考題的解題技巧

（一）圓錐曲線性質(zhì)類試題解題技巧分析

圓錐曲線性質(zhì)基本知識(shí)點(diǎn)考查是高考數(shù)學(xué)的常見考點(diǎn).題目設(shè)計(jì)時(shí)一般將圓錐曲線信息和其他平面幾何圖形結(jié)合起來，全面考查學(xué)生對(duì)相關(guān)知識(shí)點(diǎn)的掌握程度.求解時(shí)，對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思想的掌握有一定要求.一般情況下，在求解這類問題時(shí)應(yīng)采用待定系數(shù)法進(jìn)行求解.

例1?? 已知A，B為雙曲線E的左右兩個(gè)頂點(diǎn)，M為E上的一點(diǎn)，△ABM是等腰三角形，頂角為120°，E的離心率為（? ）.

A. 5

B.2

C. 3

D. 2

解析? 該試題來自2015年新課標(biāo)2的高考數(shù)學(xué)卷.該題對(duì)雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程及性質(zhì)、等腰三角形性質(zhì)相關(guān)知識(shí)進(jìn)行了考查.求解時(shí)，可采用待定系數(shù)法，假設(shè)雙曲線方程為 x2 a2 - y2 b2 =1（a>0，b>0），

如圖1所示.△ABM是等腰三角形，|AB|=|BM|，∠ABM=120°.過M作一條垂直于x軸的垂線MN，N為垂足.在Rt△BMN中，求出|BN|=a，|MN|= 3 a，M的坐標(biāo)為（2a， 3 a）.根據(jù)c2=a2+b2、離心率e= c a （e>1），求出c2=2a2，e= 2 .故答案為D.

（二）直線與圓錐曲線位置關(guān)系試題解題技巧分析

直線與圓錐曲線位置關(guān)系是高考中常見的考點(diǎn)，中點(diǎn)弦方程、軌跡問題、直線參數(shù)、直線過定點(diǎn)、求弦長(zhǎng)、最值問題等是經(jīng)?？键c(diǎn)的內(nèi)容.在解決這類問題時(shí)方法較多，如數(shù)形結(jié)合思想、韋達(dá)定理、設(shè)而不求、函數(shù)與方程思想等，都是常用的解題思想和方法.

例2?? 已知拋物線C1：x2=4y的焦點(diǎn)F也是橢圓C2： y2 a2 + x2 b2 =1（a>b>0）的一個(gè)焦點(diǎn)，C1，C2公共弦長(zhǎng)為2 6 ，過點(diǎn)F的直線l與C1相交于A，B兩點(diǎn)，與C2相交于C，D兩點(diǎn)，AC ，BD 同向.（1）求C2方程;（2）若|AC|=|BD|，求直線l斜率.

解析? 該題是2015年湖南數(shù)學(xué)高考中的一道題，該題屬于典型的直線與圓錐曲線位置關(guān)系試題.該題中涉及函數(shù)和方程，求解時(shí)可以運(yùn)用函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想.

（1）由C1：x2=4y可知其焦點(diǎn)坐標(biāo)，即F（0，1），由于F也屬于C2上的焦點(diǎn)，故a2-b2=1 ①.又因?yàn)镃1，C2公共弦長(zhǎng)為2 6 ，C1，C2關(guān)于y軸對(duì)稱，得出C1，C2公共點(diǎn)坐標(biāo)為 ± 6 ， 3 2? ，故 9 4a2 + 6 b2 =1 ②，聯(lián)立①②得出a2=9，b2=8，求出C2方程為 y2 9 + x2 8 =1.

（2）根據(jù)題意畫出如圖2所示的圖，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4）.因?yàn)锳C ，BD 同向，故x3-x1=x4-x2，即x3-x4=x1-x2.（x3+x4）2-4x3x4=（x1+x2）2-4x1x2 ③.設(shè)直線l斜率為k，則直線方程為y=kx+1.由 y=kx+1，x2=4y，? 得x2-4kx-4=0.x1，x2是方程的兩個(gè)根，故x1+x2=4k，x1x2=-4 ④.

由 y=kx+1， x2 8 + y2 9 =1，? 得（9+8k2）x2+16kx-64=0，x3，x4是該方程的兩個(gè)根，x3+x3=- 16k 9+8k2 ，x3x4= - 64 9+8k2? ⑤.將④⑤代入方程③中，得出16（k2+1）= 162k2 （9+8k2）2 + 4×64 9+8k2 ，即16（k2+1）= 162×9（k2+1） （9+8k2）2 ，（9+8k2）2=16×9，求出k=±? 6? 4 ，即直線l的斜率為±? 6? 4 .

高考試題中，圓錐曲線試題類型多樣化、多變化特征明顯，但不管題型如何變化，都離不開圓錐曲線概念與性質(zhì)、直線與圓錐曲線位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，學(xué)生在求解圓錐曲線相關(guān)試題時(shí)，應(yīng)熟練掌握相關(guān)概念和性質(zhì)，學(xué)會(huì)運(yùn)用各類數(shù)學(xué)思想進(jìn)行解題.仔細(xì)審題，明確題目所考查的知識(shí)范圍，選擇合適的數(shù)學(xué)思想和方法進(jìn)行求解.備考時(shí)，學(xué)生應(yīng)從數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想等方面入手，運(yùn)用待定系數(shù)法、點(diǎn)差法等多種方法和技巧進(jìn)行求解，找出不同題型合適的解題方法和技巧，從而快速、準(zhǔn)確的解出題目.

【參考文獻(xiàn)】

[1]陳娟，李建軍.圓錐曲線解題思路分析[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2017（11）：109.

[2]趙倬.從高考試題看高中數(shù)學(xué)圓錐曲線解題技巧[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2016（5）：135.