函數漸近線在一致連續(xù)中的應用

楊芮

【摘要】 本文將函數的漸近線的概念延伸到一致連續(xù)中，給出了函數一致連續(xù)的兩個充分條件.

【關鍵詞】 漸近線;連續(xù);一致連續(xù)

一、引 言

函數在區(qū)間上一致連續(xù)是函數更強的連續(xù)性，其本質表現(xiàn)為函數在定義域上函數值變化均勻.如何判斷函數一致連續(xù)，已有大量的文獻給出了許多有用的判定方法，如：定義法、導函數有界等.本文將函數的漸近線（以下的漸近線均指函數的斜漸近線）這一概念引入一致連續(xù)中，并分別給出了函數在定義域[a，+∞）和（-∞，+∞）上一致連續(xù)的兩個充分條件，這使得判斷函數一致連續(xù)變得簡單可行.首先，我們先給出漸近線的定義和兩個有用的引理用以輔助證明.

二、主要結果與證明

定義1 [1] 若函數f上的定點P沿著曲線無限遠離原點時，點P與某定直線L的距離趨于0，則稱直線L為函數f（x）的漸近線，即 lim x→∞ （f（x）-kx-b）=0.

引理1 [1] 若函數f在區(qū)間I上滿足Lipschitz條件，即存在常數L>0，使得對I上任意兩點x′，x″都有

|f（x′）-f（x″）|≤L|x′-x″|，

則f在I上一致連續(xù).

證 ?由一致連續(xù)定義可知，x′，x″∈I，|f（x′）-f（x″）|≤L|x′-x″|<ε，所以ε>0，δ= ε L ，x′，x″∈I，當|x′-x″|<ε時，|f（x′）-f（x″）|<ε，故f（x）在I上一致連續(xù).

引理2 [2] 若函數φ（x）在[a，+∞）上一致連續(xù)且函數f（x）在[a，+∞）上連續(xù)，且滿足

lim x→+∞ （f（x）-φ（x））=0，

則f（x）在[a，+∞）上一致連續(xù).

證 ?由 lim x→+∞ （f（x）-φ（x））=0，知對ε>0，M>0，當x>M時，|f（x）-φ（x）|< ε 3 .又由于φ（x）在[a，+∞）上一致連續(xù)，對上述的ε，δ1>0，x′，x″>M，當|x′-x″|<δ1時，|φ（x′）-φ（x″）|< ε 3 .所以當x′，x″>M時，

|f（x′）-f（x″）|

=|f（x′）-φ（x′）+φ（x′）-φ（x″）+φ（x″）-f（x″）|

≤|f（x′）-φ（x′）|+|φ（x′）-φ（x″）|+|φ（x″）-f（x″）|

< ε 3 + ε 3 + ε 3 =ε.

另一方面，因為f（x）在[a，M+1]上連續(xù)，由Cantor定理知，f（x）在[a，M+1]上一致連續(xù).固定ε，δ2>0，x′，x″∈[a，M+1]，當|x′-x″|<δ2時，|f（x′）-f（x″）|<ε.進一步可取δ=min{1，δ1，δ2}，對x′，x″∈[a，+∞），當|x′- x″|<δ時，有|f（x′）-f（x″）|<ε，所以f（x）在[a，+∞）上一致連續(xù).

現(xiàn)引入定義1中漸近線的概念，則以下定理1保持成立.

定理1 ?若函數f（x）在[a，+∞）上連續(xù)且存在漸近線，則f（x）在[a，+∞）上一致連續(xù).

證 ?可令引理2中的φ（x）=kx+b（k為有限數），因為φ（x）為f（x）的漸近線，則 lim x→+∞ （f（x）-φ（x））=0.下證若φ（x）在[a，+∞）上一致連續(xù)，則根據引理2知f（x）在[a，+∞）上一致連續(xù).事實上，x′，x″∈[a，+∞），存在常數k，使得|φ（x′）-φ（x″）|=k|x′-x″|.由引理1知，φ（x）滿足Lipschitz條件，所以φ（x）在[a，+∞）上一致連續(xù)，從而定理得證.

注 ?對形式較為復雜的函數，可以考查該函數的漸近線來判斷f（x）在[a，+∞）上一致連續(xù).但這僅給出了函數在[a，+∞）上一致連續(xù)的充分條件，若函數漸近線不存在，如xcosx，xsin x ，不能根據定理1說明f（x）在[a，+∞）上非一致連續(xù).下面給出幾個有用的推論：

推論1 ?若函數f（x）在[a，+∞）上連續(xù)且漸近線斜率存在，則f（x）在[a，+∞）上一致連續(xù).

證 ?由漸近線定義可知，若k=lim x→+∞? f（x） x 存在，則b=lim x→+∞ （f（x）-kx）也存在.這保證了漸近線y=kx+b存在，既而由定理1知推論1成立.

推論2 ?若函數f（x）在（-∞，+∞）上連續(xù)且存在兩條漸近線，則f（x）在（-∞，+∞）上一致連續(xù).

證 ?對一元函數來說，f（x）至多存在兩條漸近線.存在M>0，在|x|>M上應用定理1知f（x）在|x|>M上一致連續(xù).因為f（x）在[-M-1，M+1]上連續(xù)，由Cantor定理知，f（x）在[-M-1，M+1]上一致連續(xù).類似引理2的證明對ε>0，存在充分小的δ，x′，x″∈（-∞，+∞），當|x′-x″|<δ時，|f（x′）-f（x″）|<ε.所以f（x）在（-∞，+∞）上一致連續(xù).

至此我們給出了判斷函數[a，+∞）和（-∞，+∞）上一致連續(xù)的充分條件，由推論1中的k=lim x→+∞? f（x） x 存在這一條件啟發(fā)，若給出了一個一致連續(xù)性容易判斷的函數g（x），f（x）在[a，+∞）上的一致連續(xù)與函數g（x）是否存在某種聯(lián)系呢？我們給出以下定理.

定理2 ?設函數f（x），g（x）在[a，+∞）上連續(xù)，若g（x）在[a，+∞）上一致連續(xù)，且

lim x→+∞? f（x） g（x） =A（有限數），

則f（x）在[a，+∞）上一致連續(xù).

證 ?由lim x→+∞? f（x） g（x） =A，則對充分小的ε>0，M，當x>M時，? f（x） g（x） -A <ε.故|f（x）-Ag（x）|<ε|g（x）|.又由g（x）在[M，+∞）（M≥a）上一致連續(xù)知，函數g（x）在[M，+∞）上有界，即A0>0使得|g（x）|≤A0.固定上述充分小的ε，x′，x″∈[M，+∞），當|x′-x″|<δ1時，|g（x′）-g（x″）|<ε.所以

|f（x′）-f（x″）|=

|f（x′）-Ag（x′）+Ag（x′）-Ag（x″）+Ag（x″）-f（x″）|

≤|f（x′）-Ag（x′）|+|Ag（x″）-f（x″）|+|A|·|g（x′）-g（x″）|

≤ε（|g（x′）|+|g（x″）|+|g（x′）-g（x″）|）

<ε（|A|+2|A0|）.

另一方面，由f（x）在[a，M+1]上連續(xù)，應用Cantor定理知，f（x）在[a，M+1]上一致連續(xù).可取充分小的ε，δ，對x′，x″∈（-∞，+∞），當|x′-x″|<δ時，|f（x′）-f（x″）|<ε.所以f（x）在[a，+∞）上一致連續(xù).

注 ?將g（x）在[a，+∞）上換成在（-∞，+∞）上，同理可證f（x）在（-∞，+∞）上一致連續(xù).若已知g（x）在區(qū)間I上一致連續(xù)，特別地，可取漸近線（g（x）=kx+b），這對判斷f（x）在I區(qū)間上一致連續(xù)是簡單可行的.

三、應用舉例

例1 ??證明函數f（x）= 3 2x3-x2+x+1 在[0，+∞）上一致連續(xù).

證 ?不妨先考查函數f（x）的漸近線，k=lim x→+∞? f（x） x =lim x→+∞?? 3 2x3-x2+x+1? x = 3 2 ，由推論1知，函數f（x）的漸近線斜率存在，所以函數f（x）在[0，+∞）上一致連續(xù).

另一方面，若取g（x）=2x+1，由引理1知g（x）滿足Lipschitz條件（可取L=2），所以g（x）在[0，+∞）上一致連續(xù)，且lim x→+∞?? 3 2x3-x2+1? 2x+1 =? 3 2? 2 ，所以由定理2知函數f（x）在[0，+∞）上一致連續(xù).

例2 ??證明函數f（x）= 0，x=0，|x| 1+sin 1 x? ，x≠0 ?在 R 上一致連續(xù).

證 ?當x>0時，k=lim x→+∞? f（x） x =lim x→+∞? x 1+sin 1 x?? x ，b=lim x→+∞? x 1+sin 1 x? -x =1，故函數f（x）的漸近線方程為y=x+1，同理當x<0時，函數f（x）的漸近線方程為y=-x-1，由推論2知，函數f（x）的兩條漸近線都存在，故函數f（x）在 R 上一致連續(xù).

【參考文獻】

[1]華東師范大學數學系.數學分析：上冊（第4版）[M].北京：高等教育出版社，2000：86.

[2]裴禮文.數學分析中的典型問題與方法（第2版）[M].北京：高等教育出版社，2006：163-164.