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    函數漸近線在一致連續(xù)中的應用

    2019-04-15 12:50:46楊芮
    數學學習與研究 2019年4期
    關鍵詞:漸近線

    楊芮

    【摘要】 本文將函數的漸近線的概念延伸到一致連續(xù)中,給出了函數一致連續(xù)的兩個充分條件.

    【關鍵詞】 漸近線;連續(xù);一致連續(xù)

    一、引 言

    函數在區(qū)間上一致連續(xù)是函數更強的連續(xù)性,其本質表現(xiàn)為函數在定義域上函數值變化均勻.如何判斷函數一致連續(xù),已有大量的文獻給出了許多有用的判定方法,如:定義法、導函數有界等.本文將函數的漸近線(以下的漸近線均指函數的斜漸近線)這一概念引入一致連續(xù)中,并分別給出了函數在定義域[a,+∞)和(-∞,+∞)上一致連續(xù)的兩個充分條件,這使得判斷函數一致連續(xù)變得簡單可行.首先,我們先給出漸近線的定義和兩個有用的引理用以輔助證明.

    二、主要結果與證明

    定義1 [1] 若函數f上的定點P沿著曲線無限遠離原點時,點P與某定直線L的距離趨于0,則稱直線L為函數f(x)的漸近線,即 lim x→∞ (f(x)-kx-b)=0.

    引理1 [1] 若函數f在區(qū)間I上滿足Lipschitz條件,即存在常數L>0,使得對I上任意兩點x′,x″都有

    |f(x′)-f(x″)|≤L|x′-x″|,

    則f在I上一致連續(xù).

    證 ?由一致連續(xù)定義可知,x′,x″∈I,|f(x′)-f(x″)|≤L|x′-x″|<ε,所以ε>0,δ= ε L ,x′,x″∈I,當|x′-x″|<ε時,|f(x′)-f(x″)|<ε,故f(x)在I上一致連續(xù).

    引理2 [2] 若函數φ(x)在[a,+∞)上一致連續(xù)且函數f(x)在[a,+∞)上連續(xù),且滿足

    lim x→+∞ (f(x)-φ(x))=0,

    則f(x)在[a,+∞)上一致連續(xù).

    證 ?由 lim x→+∞ (f(x)-φ(x))=0,知對ε>0,M>0,當x>M時,|f(x)-φ(x)|< ε 3 .又由于φ(x)在[a,+∞)上一致連續(xù),對上述的ε,δ1>0,x′,x″>M,當|x′-x″|<δ1時,|φ(x′)-φ(x″)|< ε 3 .所以當x′,x″>M時,

    |f(x′)-f(x″)|

    =|f(x′)-φ(x′)+φ(x′)-φ(x″)+φ(x″)-f(x″)|

    ≤|f(x′)-φ(x′)|+|φ(x′)-φ(x″)|+|φ(x″)-f(x″)|

    < ε 3 + ε 3 + ε 3 =ε.

    另一方面,因為f(x)在[a,M+1]上連續(xù),由Cantor定理知,f(x)在[a,M+1]上一致連續(xù).固定ε,δ2>0,x′,x″∈[a,M+1],當|x′-x″|<δ2時,|f(x′)-f(x″)|<ε.進一步可取δ=min{1,δ1,δ2},對x′,x″∈[a,+∞),當|x′- x″|<δ時,有|f(x′)-f(x″)|<ε,所以f(x)在[a,+∞)上一致連續(xù).

    現(xiàn)引入定義1中漸近線的概念,則以下定理1保持成立.

    定理1 ?若函數f(x)在[a,+∞)上連續(xù)且存在漸近線,則f(x)在[a,+∞)上一致連續(xù).

    證 ?可令引理2中的φ(x)=kx+b(k為有限數),因為φ(x)為f(x)的漸近線,則 lim x→+∞ (f(x)-φ(x))=0.下證若φ(x)在[a,+∞)上一致連續(xù),則根據引理2知f(x)在[a,+∞)上一致連續(xù).事實上,x′,x″∈[a,+∞),存在常數k,使得|φ(x′)-φ(x″)|=k|x′-x″|.由引理1知,φ(x)滿足Lipschitz條件,所以φ(x)在[a,+∞)上一致連續(xù),從而定理得證.

    注 ?對形式較為復雜的函數,可以考查該函數的漸近線來判斷f(x)在[a,+∞)上一致連續(xù).但這僅給出了函數在[a,+∞)上一致連續(xù)的充分條件,若函數漸近線不存在,如xcosx,xsin x ,不能根據定理1說明f(x)在[a,+∞)上非一致連續(xù).下面給出幾個有用的推論:

    推論1 ?若函數f(x)在[a,+∞)上連續(xù)且漸近線斜率存在,則f(x)在[a,+∞)上一致連續(xù).

    證 ?由漸近線定義可知,若k=lim x→+∞? f(x) x 存在,則b=lim x→+∞ (f(x)-kx)也存在.這保證了漸近線y=kx+b存在,既而由定理1知推論1成立.

    推論2 ?若函數f(x)在(-∞,+∞)上連續(xù)且存在兩條漸近線,則f(x)在(-∞,+∞)上一致連續(xù).

    證 ?對一元函數來說,f(x)至多存在兩條漸近線.存在M>0,在|x|>M上應用定理1知f(x)在|x|>M上一致連續(xù).因為f(x)在[-M-1,M+1]上連續(xù),由Cantor定理知,f(x)在[-M-1,M+1]上一致連續(xù).類似引理2的證明對ε>0,存在充分小的δ,x′,x″∈(-∞,+∞),當|x′-x″|<δ時,|f(x′)-f(x″)|<ε.所以f(x)在(-∞,+∞)上一致連續(xù).

    至此我們給出了判斷函數[a,+∞)和(-∞,+∞)上一致連續(xù)的充分條件,由推論1中的k=lim x→+∞? f(x) x 存在這一條件啟發(fā),若給出了一個一致連續(xù)性容易判斷的函數g(x),f(x)在[a,+∞)上的一致連續(xù)與函數g(x)是否存在某種聯(lián)系呢?我們給出以下定理.

    定理2 ?設函數f(x),g(x)在[a,+∞)上連續(xù),若g(x)在[a,+∞)上一致連續(xù),且

    lim x→+∞? f(x) g(x) =A(有限數),

    則f(x)在[a,+∞)上一致連續(xù).

    證 ?由lim x→+∞? f(x) g(x) =A,則對充分小的ε>0,M,當x>M時,? f(x) g(x) -A <ε.故|f(x)-Ag(x)|<ε|g(x)|.又由g(x)在[M,+∞)(M≥a)上一致連續(xù)知,函數g(x)在[M,+∞)上有界,即A0>0使得|g(x)|≤A0.固定上述充分小的ε,x′,x″∈[M,+∞),當|x′-x″|<δ1時,|g(x′)-g(x″)|<ε.所以

    |f(x′)-f(x″)|=

    |f(x′)-Ag(x′)+Ag(x′)-Ag(x″)+Ag(x″)-f(x″)|

    ≤|f(x′)-Ag(x′)|+|Ag(x″)-f(x″)|+|A|·|g(x′)-g(x″)|

    ≤ε(|g(x′)|+|g(x″)|+|g(x′)-g(x″)|)

    <ε(|A|+2|A0|).

    另一方面,由f(x)在[a,M+1]上連續(xù),應用Cantor定理知,f(x)在[a,M+1]上一致連續(xù).可取充分小的ε,δ,對x′,x″∈(-∞,+∞),當|x′-x″|<δ時,|f(x′)-f(x″)|<ε.所以f(x)在[a,+∞)上一致連續(xù).

    注 ?將g(x)在[a,+∞)上換成在(-∞,+∞)上,同理可證f(x)在(-∞,+∞)上一致連續(xù).若已知g(x)在區(qū)間I上一致連續(xù),特別地,可取漸近線(g(x)=kx+b),這對判斷f(x)在I區(qū)間上一致連續(xù)是簡單可行的.

    三、應用舉例

    例1 ??證明函數f(x)= 3 2x3-x2+x+1 在[0,+∞)上一致連續(xù).

    證 ?不妨先考查函數f(x)的漸近線,k=lim x→+∞? f(x) x =lim x→+∞?? 3 2x3-x2+x+1? x = 3 2 ,由推論1知,函數f(x)的漸近線斜率存在,所以函數f(x)在[0,+∞)上一致連續(xù).

    另一方面,若取g(x)=2x+1,由引理1知g(x)滿足Lipschitz條件(可取L=2),所以g(x)在[0,+∞)上一致連續(xù),且lim x→+∞?? 3 2x3-x2+1? 2x+1 =? 3 2? 2 ,所以由定理2知函數f(x)在[0,+∞)上一致連續(xù).

    例2 ??證明函數f(x)= 0,x=0,|x| 1+sin 1 x? ,x≠0 ?在 R 上一致連續(xù).

    證 ?當x>0時,k=lim x→+∞? f(x) x =lim x→+∞? x 1+sin 1 x?? x ,b=lim x→+∞? x 1+sin 1 x? -x =1,故函數f(x)的漸近線方程為y=x+1,同理當x<0時,函數f(x)的漸近線方程為y=-x-1,由推論2知,函數f(x)的兩條漸近線都存在,故函數f(x)在 R 上一致連續(xù).

    【參考文獻】

    [1]華東師范大學數學系.數學分析:上冊(第4版)[M].北京:高等教育出版社,2000:86.

    [2]裴禮文.數學分析中的典型問題與方法(第2版)[M].北京:高等教育出版社,2006:163-164.

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