對(duì)概率論中“數(shù)學(xué)期望”概念的教學(xué)思考

羊豪

【摘要】 數(shù)學(xué)期望是隨機(jī)變量領(lǐng)域的一個(gè)重要概念，在概念領(lǐng)域有著無可替代的重要地位.數(shù)學(xué)期望對(duì)學(xué)生來講是一個(gè)比較抽象的概念，學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)期望概念及特征的掌握不透徹，本文將抽象的“期望”概念化為形象、具體的知識(shí)，讓學(xué)生更好地理解期望的概念、特征及具體應(yīng)用等.

【關(guān)鍵詞】 概率論;數(shù)學(xué)期望;教學(xué)思考

一、“數(shù)學(xué)期望”概念及導(dǎo)入

課程的導(dǎo)入是至關(guān)重要的，一堂課的開始通過趣味性的導(dǎo)入，可以使本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容更加形象生動(dòng)地呈現(xiàn)在學(xué)生眼前，從而調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性，提高學(xué)生的自主探究能力，進(jìn)而使學(xué)生更好地學(xué)習(xí)本節(jié)知識(shí).

（一）隨機(jī)變量數(shù)字特征引入的原因

隨機(jī)變量的數(shù)字特征主要描述隨機(jī)變量在某些方面的性質(zhì)和特征，比較常用的有：數(shù)學(xué)期望、方差、協(xié)方差和相關(guān)的系數(shù)等.正如我們所了解的，隨機(jī)變量分布函數(shù)可以從全方位進(jìn)行描述隨機(jī)變量自身的各個(gè)特性，但教師還需要導(dǎo)入數(shù)字特征的概念，可以從以下兩方面給學(xué)生講解原因.

1.在現(xiàn)實(shí)生活中，其實(shí)不需要我們?nèi)ビ^察隨機(jī)變量的具體變化規(guī)律，只需掌握其中某些隨機(jī)變量數(shù)字特征的變化情況，就可以輕而易舉地做出判斷，得出結(jié)論.如，在期末考試結(jié)束后，對(duì)班級(jí)內(nèi)的學(xué)生進(jìn)行成績考查，教師只需要計(jì)算出學(xué)生的平均分及其標(biāo)準(zhǔn)差，就可以對(duì)這個(gè)班的學(xué)習(xí)情況做出判斷并得出準(zhǔn)確結(jié)論.

2.正如我們所了解的，分布函數(shù)不容易求解，這時(shí)可以給同學(xué)們展示具體的例子，讓學(xué)生通過計(jì)算，知道分布函數(shù)不容易求解，退而求其次來分析、研究隨機(jī)變量的數(shù)字特征，使學(xué)生知道隨機(jī)變量數(shù)字特征的引入在某個(gè)角度上是隨機(jī)變量分布函數(shù)的簡便操作.

（二）本章小介紹

在每章章首都有一個(gè)本章小簡介，這個(gè)簡介在每章中是非常重要的，學(xué)生預(yù)習(xí)或講新課之前教師帶領(lǐng)學(xué)生讀一讀本章簡介，學(xué)生們就會(huì)比較容易地把握本章學(xué)習(xí)內(nèi)容，使學(xué)生對(duì)整體框架進(jìn)行初步的了解，在接下來的講課過程中，就能更容易地對(duì)課堂重點(diǎn)內(nèi)容進(jìn)行理解把握與記憶.在“數(shù)字特征”這章中，主要從以下幾個(gè)方面進(jìn)行講解.

1.數(shù)學(xué)期望E（X）是隨機(jī)變量X的重要特征之一，用來反映隨機(jī)變量集中位置的數(shù)字特征，即表示了X的平均值的大小[1].

2.方差D（X）反映了隨機(jī)變量的取值在均值周圍的離散程度的數(shù)字特征.

3.協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)反映了兩個(gè)隨機(jī)變量X，Y相關(guān)程度的數(shù)字特征.

（三）結(jié)合例題進(jìn)行分析

導(dǎo)入一堂新課的小例題具有承上啟下的作用，它能夠開啟本節(jié)新課，指導(dǎo)學(xué)生對(duì)新課的研究分析與學(xué)習(xí)，可以使學(xué)生更順利地將前后所學(xué)知識(shí)結(jié)合在一起，從而更好地理解、掌握及運(yùn)用本節(jié)課所學(xué)知識(shí)，形成比較系統(tǒng)的知識(shí)網(wǎng)絡(luò).

1.關(guān)于權(quán)重的相關(guān)問題

設(shè)隨機(jī)變量X的取值情況有兩種：X1=100，X2=200.隨機(jī)變量X的分布列f（n1）=0.01，f（n2）=0.99，求X的平均值.

解析：如果這樣計(jì)算，那么X的平均值= 100+200 2 =150很明顯是不合理的，以此來讓同學(xué)們自己計(jì)算更為準(zhǔn)確的平均分，對(duì)其進(jìn)行引導(dǎo)，X的平均分應(yīng)該等于100×0.01+200×0.99=199，之后再布置小練習(xí)讓學(xué)生加以練習(xí)掌握.

2.劉備、曹操賭金問題

通過趣味性的小故事，調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，激發(fā)學(xué)生渴求知識(shí)的欲望，從而使學(xué)生能夠更好地掌握所學(xué)知識(shí)，理解更加透徹，運(yùn)用更加準(zhǔn)確.本節(jié)課的趣味小例題2是劉備、曹操賭金問題，如下：

曹操、劉備各拿50金作為賭金，規(guī)則為五局三勝，假設(shè)已經(jīng)進(jìn)行了三局，劉備勝一局負(fù)了兩局.這時(shí)，由于某些外在原因被迫終止了比賽，則賭資如何分配？

用X表示曹操獲得的賭金數(shù)，則可得出概率分布表：

X 0 100

Pn? 1 4?? 3 4

則得出0× 1 4 +100× 3 4 =75.

通過這兩個(gè)例題的趣味講解，使學(xué)生能更好地掌握概率論及本節(jié)所學(xué)內(nèi)容，這樣也能加深學(xué)生的理解與記憶，讓學(xué)生通過更多的練習(xí)，學(xué)會(huì)自主學(xué)習(xí)與探究，將今日所學(xué)知識(shí)熟練地運(yùn)用到今后的實(shí)際生活中去.

二、離散型變量“數(shù)學(xué)期望”注意事項(xiàng)

（一）數(shù)學(xué)期望是一個(gè)確定的常數(shù)，而不是隨機(jī)的、不確定的

離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望正如計(jì)算公式所示是一個(gè)無窮級(jí)數(shù)的和，若變量X有限，則E（X）就是加權(quán)平均值.

（二）研究表明，有的隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望值可能不存在

要想存在必須滿足的條件是正項(xiàng)級(jí)數(shù)，如，∣xi∣與xi所代表的意義就不盡相同了.在這里∣xi∣是滿足正項(xiàng)級(jí)數(shù)的，而xi還可能是個(gè)負(fù)值，因此，其所對(duì)應(yīng)的隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望值可能不存在[2].

（三）“期望值”并不等同于“期望”

也就是說期望值可能不在隨機(jī)變量的取值范圍之中.如，向空中拋一個(gè)六個(gè)面標(biāo)有1，2，3，4，5，6的正方體物塊，在每個(gè)面朝上的可能性都均等的情況下，求擲的數(shù)學(xué)期望如下：

根據(jù)定義可得E（X）=1× 1 6 +2× 1 6 +3× 1 6 +4× 1 6 +5× 1 6 +6× 1 6 =3.5，那么我們想一想，六個(gè)面中有哪個(gè)面標(biāo)有3.5呢？可想而知，很顯然沒有，這就是所說的“期望值”不一定等于“期望”[3].

三、總 結(jié)

一堂新課的引入與重點(diǎn)知識(shí)講解的好壞都直接決定了這堂課的成功與失敗.雖然“數(shù)學(xué)期望”是一個(gè)比較抽象的概念，但我們可以利用好的教學(xué)方法使它具體化，從而使學(xué)生更好地掌握數(shù)學(xué)期望的概念，教師可以進(jìn)行趣味導(dǎo)入，吸引學(xué)生們的注意力，調(diào)動(dòng)學(xué)生們的積極性，通過例題的講解，讓學(xué)生大量練習(xí)相關(guān)題目，熟練運(yùn)用數(shù)學(xué)期望.

【參考文獻(xiàn)】

[1]曹小玲.淺談概率論中“數(shù)學(xué)期望”概念的講解[J].教育教學(xué)論壇，2014（45）：199-201.

[2]謝永欽.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)（第2版）[M].北京：北京郵電大學(xué)出版社，2013：89-98.

[3]段麗凌.淺析數(shù)學(xué)期望在經(jīng)濟(jì)生活中的應(yīng)用[J].商場現(xiàn)代化，2008（11）：398-399.