基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的課堂教學(xué)實(shí)踐
——“勾股定理”教學(xué)實(shí)踐與反思

李靖敏

（北京航空航天大學(xué)實(shí)驗(yàn)中學(xué)（中學(xué)部））

教什么，如何教？這是教師教學(xué)的永恒課題.基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的課堂教學(xué)，就是要教給學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，用數(shù)學(xué)的思維思考世界，用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界，幫助學(xué)生建立研究數(shù)學(xué)問題的一般過程與方法，使學(xué)生不依賴模仿、記憶，而是通過自悟、他悟、最終頓悟，使學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)落到實(shí)處.

筆者在課堂教學(xué)實(shí)踐中進(jìn)行了基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)教學(xué)的嘗試，以勾股定理教學(xué)內(nèi)容為例，通過創(chuàng)設(shè)合適的教學(xué)情境，提出合適的教學(xué)問題，啟發(fā)學(xué)生思考，相互交流，讓學(xué)生在掌握知識(shí)與技能的同時(shí)，理解數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)，感悟數(shù)學(xué)的思想，養(yǎng)成和發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

一、設(shè)計(jì)思路

勾股定理是大家熟知的古老而重要的幾何定理，它揭示了直角三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系，是直角三角形的重要性質(zhì)，是解直角三角形的主要依據(jù).它把形轉(zhuǎn)化為數(shù)，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的重要思想；它引發(fā)了第一次數(shù)學(xué)危機(jī)，導(dǎo)致了無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)，蘊(yùn)含著豐富的歷史文化內(nèi)涵；它不僅在數(shù)學(xué)領(lǐng)域有重要地位，而且在其他自然科學(xué)中也被廣泛應(yīng)用著.同時(shí)，網(wǎng)絡(luò)提供了大量的關(guān)于勾股定理教學(xué)的豐富資料，為學(xué)生自主學(xué)習(xí)提供了更廣闊的天地.教師若能恰當(dāng)利用這些網(wǎng)絡(luò)資源，通過精心設(shè)計(jì)、合理安排課堂，本節(jié)課的教學(xué)將對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)知識(shí)、培養(yǎng)能力、體驗(yàn)情感起到很好的促進(jìn)作用，有助于學(xué)生在具體的情境中發(fā)現(xiàn)、提出和解決問題，有利于學(xué)生核心素養(yǎng)的養(yǎng)成和發(fā)展.

為此，筆者對(duì)人教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》第十七章“勾股定理”進(jìn)行了再創(chuàng)造，將勾股定理的發(fā)現(xiàn)和證明作為第一節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容，而將勾股定理的應(yīng)用放在下一節(jié)課.

筆者將勾股定理的發(fā)現(xiàn)和證明設(shè)計(jì)為一節(jié)數(shù)學(xué)活動(dòng)課.運(yùn)用現(xiàn)代教育技術(shù)，為學(xué)生提供信息資源，創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境，通過設(shè)計(jì)系列問題，引導(dǎo)學(xué)生在計(jì)算機(jī)上做實(shí)驗(yàn)，探索并發(fā)現(xiàn)勾股定理；引導(dǎo)學(xué)生從特殊到一般，用度量、數(shù)格子、拼圖等多種方法，驗(yàn)證、證明勾股定理，讓學(xué)生經(jīng)歷勾股定理建構(gòu)的過程.在這一過程中，讓學(xué)生思考、嘗試、探索，以一個(gè)創(chuàng)造者的身份探究知識(shí)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，從中體會(huì)數(shù)形結(jié)合的重要性.通過上網(wǎng)查詢，可以豐富學(xué)生的知識(shí)，開闊學(xué)生的視野.

二、課堂教學(xué)實(shí)踐

1.創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新課

教師的教學(xué)方式要服務(wù)于學(xué)生的學(xué)習(xí)方式.首先，我們來思考一下，在何種情況下，學(xué)生學(xué)得最好？當(dāng)學(xué)生感興趣時(shí)，當(dāng)學(xué)生智力遭遇到挑戰(zhàn)時(shí)，當(dāng)學(xué)生能自主地參與探索與創(chuàng)新時(shí)，當(dāng)學(xué)生能夠?qū)W以至用時(shí)，當(dāng)學(xué)生得到鼓舞與信任時(shí)，他們學(xué)得最好.在此環(huán)節(jié)中，筆者設(shè)計(jì)了如下兩個(gè)問題.

（1）教師首先引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)直角三角形的邊和角的有關(guān)性質(zhì)，指出“斜邊大于任何一條直角邊，兩條直角邊的和大于斜邊”是直角三角形三邊之間的不等關(guān)系，既然有不等關(guān)系是否還存在等量關(guān)系？又有怎樣的等量關(guān)系呢？

（2）同學(xué)們知道古代商高測天的典故嗎？

周公：天高幾何？商高：把一根直尺折成直角，兩段連接得一個(gè)直角三角形，若勾3，股4，則弦5，用此法可測天高.

遠(yuǎn)在3 000多年前，我國古代的數(shù)學(xué)家就發(fā)現(xiàn)了直角三角形三邊之間存在著重要的等量關(guān)系，并把它稱為勾股定理.很多具有古老文化的民族和國家都會(huì)說：首先認(rèn)識(shí)的數(shù)學(xué)定理是勾股定理.今天我們就來學(xué)習(xí)這一古老而重要的定理.

兩個(gè)問題的拋出猶如一石激起千層浪，在這里，答案并不重要，重要的是學(xué)生迫切尋求答案的心情.此時(shí)學(xué)生充滿好奇心，有著強(qiáng)烈的求知欲，在此情境下，引導(dǎo)學(xué)生自然而然地進(jìn)入到探究勾股定理的美妙、有趣的世界中.

2.實(shí)驗(yàn)操作，探索新知

教師指導(dǎo)學(xué)生在計(jì)算機(jī)上利用幾何畫板軟件進(jìn)行探究實(shí)驗(yàn)，讓學(xué)生體驗(yàn)發(fā)現(xiàn)勾股定理的歷程.

埃德加·富爾在《學(xué)會(huì)生存》一書中指出：未來的文盲不再是那些不識(shí)字的人，而是那些不會(huì)學(xué)習(xí)的人.基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的課堂教學(xué)更多的要關(guān)心學(xué)生如何學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí).因此，在學(xué)習(xí)勾股定理時(shí)，筆者并沒有把勾股定理的內(nèi)容直接呈現(xiàn)給學(xué)生，而是指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)探究實(shí)驗(yàn)，讓學(xué)生體驗(yàn)、發(fā)現(xiàn)勾股定理的歷程，主動(dòng)參與類似的科學(xué)研究活動(dòng)，從而學(xué)會(huì)研究問題的方法與策略.為此在這一環(huán)節(jié)中，筆者設(shè)計(jì)了如下三個(gè)不同層次的實(shí)驗(yàn).

實(shí)驗(yàn)1：在幾何畫板軟件中畫一個(gè)直角三角形，探究直角三角形三邊之間的等量關(guān)系.

問題1：畫出直角三角形后，測量三邊的長度，并改變邊長的大小，有何發(fā)現(xiàn)？

學(xué)生沒有發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律.

問題2：既然沒發(fā)現(xiàn)三邊的一次的等量關(guān)系，不妨分別計(jì)算各邊的平方或立方，看看會(huì)有什么發(fā)現(xiàn)？

學(xué)生發(fā)現(xiàn)兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方.

問題3：三邊間的這種等量關(guān)系是否只有直角三角形才具有？將此直角三角形變?yōu)殇J角和鈍角三角形，這個(gè)規(guī)律是否存在？有何新的發(fā)現(xiàn)？

學(xué)生得出：在△ABC中，若∠C＜90°，則a2+b2＞c2；若∠C＞90°，則a2+b2＜c2；若∠C=90°，則a2+b2=c2.而且這個(gè)等量關(guān)系是直角三角形所獨(dú)有的.

學(xué)生的疑惑：為什么要從邊的平方上找等量關(guān)系？古代沒有精確的測量工具，古代的數(shù)學(xué)家是如何發(fā)現(xiàn)這一等量關(guān)系的？若不測量三邊的長度，是否還有其他方法證明勾股定理？

實(shí)驗(yàn)1意在讓學(xué)生從度量三邊的長度進(jìn)行數(shù)據(jù)分析，從而發(fā)現(xiàn)勾股定理是直角三角形所獨(dú)有的性質(zhì)，激發(fā)學(xué)生探究古代的數(shù)學(xué)家是如何發(fā)現(xiàn)勾股定理的欲望.同時(shí)，針對(duì)學(xué)生的疑惑，啟發(fā)學(xué)生改變思維角度，從數(shù)量a2上來聯(lián)想它所表示的幾何圖形，將學(xué)生的思維從對(duì)邊的數(shù)量關(guān)系的探究引到對(duì)形的度量的探究之中，使學(xué)生漸漸形成數(shù)形轉(zhuǎn)化的思維習(xí)慣，逐步養(yǎng)成數(shù)學(xué)素養(yǎng).

實(shí)驗(yàn)2：以直角三角形的三邊長分別向形外作正方形，探索三個(gè)正方形面積之間存在的等量關(guān)系.

問題1：（用度量的方法驗(yàn)證）如圖1，用幾何畫板軟件的測量工具測量正方形1、正方形2和正方形3的面積，并改變圖形的大小，再次測量，你能得到什么結(jié)論？

圖1

學(xué)生通過分析數(shù)據(jù)，得出S正方形1+S正方形2=S正方形3.

問題2：（在特殊的等腰直角三角形中用拼圖法驗(yàn)證）如圖2，當(dāng)圖1中的三角形變?yōu)榈妊苯侨切螘r(shí)，能否用分割、拼接的方法得出S正方形1+S正方形2=S正方形3？

圖2

圖3

如圖3，學(xué)生通過連接各正方形的對(duì)角線，得出S正方形3=4S△ABC，S正方形1+S正方形2=4S△ABC.從而S正方形1+S正方形2=S正方形3.

問題3：（在一般直角三角形中，用網(wǎng)格計(jì)算正方形面積驗(yàn)證）當(dāng)圖2中的三角形為一般的直角三角形時(shí)，能否用割補(bǔ)、拼接的方法得出S正方形1+S正方形2=S正方形3？

觀察圖4，在邊長為1個(gè)單位長度的小方格組成的網(wǎng)格中，正方形A中含有_____個(gè)小方格，即正方形A的面積是______個(gè)單位面積；

正方形B中含有______個(gè)小方格，即正方形B的面積是_____個(gè)單位面積；

正方形C中含有______個(gè)小方格，即正方形C的面積是_____個(gè)單位面積.

圖4

師生活動(dòng)：在計(jì)算正方形C的面積時(shí)，學(xué)生遇到了困難，讓學(xué)生相互討論，教師參與討論之中，與學(xué)生共同研究，啟發(fā)學(xué)生用如下的割補(bǔ)法去驗(yàn)證.

方法1：將正方形C的面積利用割補(bǔ)法拼湊成25個(gè)小正方形網(wǎng)格；

方法2：如圖5，將正方形C的面積劃分為兩條直角邊均為整格子的全等的直角三角形和一個(gè)小正方形網(wǎng)格. 通過計(jì)算，得出S正方形A+S正方形B=S正方形C，即a2+b2=c2.

圖5

學(xué)生觀察正方形C，得出結(jié)論：大正方形C的邊長為四個(gè)全等直角三角形的斜邊，中間小正方形的邊長恰為直角三角形兩條直角邊的差，為勾股定理的證明做鋪墊.

實(shí)驗(yàn)2通過面積的度量、特殊圖形的拼圖、一般圖形下面積的割補(bǔ)拼接驗(yàn)證勾股定理，層層遞進(jìn).學(xué)生親身經(jīng)歷由特殊到一般從形的角度驗(yàn)證勾股定理的過程，不僅掌握了研究圖形面積常用的方法，而且在生與生、師與生的交流中，感悟到研究問題、解決問題的方法與策略，理解數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)，從而提升數(shù)學(xué)素養(yǎng).

實(shí)驗(yàn)3：拼圖實(shí)驗(yàn)，從特殊到一般地完成勾股定理的證明.

問題1：在幾何畫板軟件中，給出任意擺放的如圖6所示的8個(gè)全等直角三角形，選用其中的4個(gè)進(jìn)行拼圖，完成等量關(guān)系a2+b2=c2的證明.

圖6

圖7

教師將學(xué)生分成4人的研究小組，要求協(xié)作完成.由于受到實(shí)驗(yàn)2中問題3的啟發(fā)，學(xué)生很快拼出圖7.

師：如何用圖7來證明勾股定理？

學(xué)生代表的回答如下.

生1：圖6中，以斜邊c為邊長的正方形是由4個(gè)全等的直角三角形再加上中間的小正方形組成的.每個(gè)直角三角形的面積為，中間小正方形的邊長為b-a，則大正方形的面積為(b-a)2.所以c2.化簡得a2+b2=c2.

師：還有其他拼法嗎？

生2：我們組拼的是以a+b為邊長的大正方形（如圖8），是由4個(gè)相等的直角三角形再加上中間的邊長為c的正方形組成，大正方形的面積為.化簡得a2+b2=c2.

圖8

師生活動(dòng)：教師對(duì)學(xué)生的回答給予及時(shí)的評(píng)價(jià)及鼓勵(lì)，并引導(dǎo)學(xué)生對(duì)兩種拼圖的方法及證明進(jìn)行比較，找出共同點(diǎn)及不同點(diǎn).教師指出圖7稱為弦圖，是我國古代三國時(shí)期著名數(shù)學(xué)家趙爽的證明圖.通過幾何畫板軟件演示古代的原始弦圖，介紹趙爽生平簡介.然后教師向?qū)W生介紹2002年國際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)標(biāo)選用的就是這個(gè)圖，從而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情和民族自豪感.

問題2：若選用其中的2個(gè)全等三角形拼圖，能完成等量關(guān)系a2+b2=c2的證明嗎？

師生活動(dòng)：學(xué)生積極思考，動(dòng)手拼圖，很快大部分學(xué)生想到利用對(duì)稱性拼成圖8的一半（如圖9），再通過計(jì)算梯形面積進(jìn)行證明.教師指出，早在1876年，美國第20任總統(tǒng)伽菲爾德就給出了這種面積證法，同時(shí)表揚(yáng)學(xué)生的證法.此時(shí)學(xué)生非常興奮.

圖9

問題3：我們從特殊到一般，通過猜想、實(shí)驗(yàn)、證明了在Rt△ABC中，若∠C=90°，則a2+b2=c2這一重要的等量關(guān)系，這一等量關(guān)系稱之為勾股定理，如何用語言敘述勾股定理的內(nèi)容呢？你知道勾股定理名稱的由來嗎？

問題4：（1）教師展示我國古代數(shù)學(xué)家劉徽在《九章算術(shù)注》中用“青朱出入圖”證明勾股定理的方法（如圖10），對(duì)學(xué)生進(jìn)行愛國主義教育.

圖10

圖11

（2）觀賞如圖11所示的“畢達(dá)哥拉斯樹”，讓學(xué)生充分享受數(shù)學(xué)的美妙與神奇，進(jìn)一步激發(fā)學(xué)生的興趣和熱情.

用拼圖實(shí)驗(yàn)和面積方法證明勾股定理，激發(fā)學(xué)生潛在的能力，提升學(xué)生的抽象概括、邏輯推理能力.在勾股定理的證明過程中，學(xué)生體驗(yàn)到成功的快樂，體驗(yàn)到數(shù)學(xué)的美與神奇，更加熱愛數(shù)學(xué)課堂.同時(shí)，用弦圖進(jìn)行愛國主義教育，使學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)在課堂上得到提升.

以上三個(gè)實(shí)驗(yàn)，學(xué)生通過操作、探究、分析、交流、合作等一系列活動(dòng)，以他們自己的方式建立起對(duì)問題的理解，并通過對(duì)自己建構(gòu)的反思，深化對(duì)勾股定理的理解.學(xué)生具有很強(qiáng)的認(rèn)知主體性，有著豐富的智慧.教師的挖掘與引導(dǎo)則能起到松土激活的作用，體驗(yàn)到學(xué)生的思維和智慧是可教的.教師是學(xué)生思維發(fā)展與智慧提升的引導(dǎo)者和推動(dòng)者.

3.回顧反思，網(wǎng)上查詢

（1）師生一起回顧勾股定理的探索過程，讓學(xué)生自己歸納本節(jié)課所學(xué)知識(shí)，形成完整的知識(shí)體系.

（2）讓學(xué)生反思勾股定理的探索過程，幫助學(xué)生梳理探索過程中所體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想及科學(xué)的探索方法.

（3）介紹利用拼圖法驗(yàn)證勾股定理是我國古代數(shù)學(xué)家的偉大貢獻(xiàn)，目前世界上可以查到的證明勾股定理的方法有幾百種，你想知道這些美妙證法嗎？請(qǐng)上網(wǎng)查詢《勾股定理的證明與推廣》.通過網(wǎng)上查詢，學(xué)生對(duì)勾股定理的證明方法有了更充分的了解，同時(shí)也感受到勾股定理豐富的文化內(nèi)涵.讓學(xué)生把自己學(xué)到的勾股定理的證明方法寫成一篇小論文.

三、教學(xué)反思

1.基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的課堂教學(xué)，“問題”是課堂的核心

本節(jié)課改變了以往定理教學(xué)的方式，創(chuàng)設(shè)了合適的教學(xué)情境，提出了合適的教學(xué)問題，在問題情境下展開教學(xué).首先，從直角三角形中存在不等量關(guān)系，是否還存在等量關(guān)系，又有怎樣的等量關(guān)系，以及商高測天的典故入手，引發(fā)學(xué)生探究問題的欲望，而后通過問題引領(lǐng)，逐步深入，引導(dǎo)學(xué)生畫直角三角形、銳角三角形、鈍角三角形，測量邊長，分析數(shù)據(jù)，驗(yàn)證勾股定理.面對(duì)學(xué)生的疑惑，尋根溯源，將學(xué)生的思維從對(duì)邊的數(shù)量關(guān)系的探究引導(dǎo)到對(duì)正方形面積的度量的探究之中.通過數(shù)形的轉(zhuǎn)化，引發(fā)學(xué)生深層次的思考，給學(xué)生更多的思考空間，使學(xué)生“想知”，也“能知”，使更多的學(xué)生積極參與到問題的思考之中，從而發(fā)揮出最大的主觀能動(dòng)性，收獲最好的探究勾股定理歷程學(xué)習(xí)體驗(yàn).因此，“問題”的設(shè)計(jì)是關(guān)鍵，是課堂的核心.

2.基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的課堂教學(xué)，思維活動(dòng)是課堂的主線

本節(jié)課從實(shí)驗(yàn)1、實(shí)驗(yàn)2和實(shí)驗(yàn)3的生成，問題的設(shè)置層層遞進(jìn)，使學(xué)生思維活動(dòng)逐步提升.每一名學(xué)生在幾何畫板軟件中動(dòng)手操作實(shí)驗(yàn)，親身經(jīng)歷多次由特殊到一般、數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化過程，學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想的感悟在三個(gè)實(shí)驗(yàn)操作中得到深化；在度量、數(shù)格子、拼圖等多種方法，驗(yàn)證和證明勾股定理的過程中，掌握研究數(shù)學(xué)問題的方法，理解數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)；通過操作、探究、分析、交流、合作等一系列活動(dòng)，生與生、師與生思維不斷的碰撞，學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的邏輯思維能力在交流討論中得以提升，學(xué)生的直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析、邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)在課堂上逐漸養(yǎng)成.因此，思維活動(dòng)的設(shè)計(jì)是重點(diǎn)，是課堂的主線.

3.基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的課堂教學(xué)，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是課堂的最終目的

基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的課堂教學(xué)強(qiáng)調(diào)知識(shí)發(fā)生、發(fā)展的過程，強(qiáng)調(diào)學(xué)生探究新知的經(jīng)歷和獲得新知的體驗(yàn).當(dāng)然，強(qiáng)調(diào)過程意味著學(xué)生可能要在解決問題的過程中面臨困惑、挫折和失敗，這同時(shí)意味著學(xué)生可能要花費(fèi)較多的時(shí)間和精力，結(jié)果卻一無所獲.但這是一個(gè)人學(xué)習(xí)、生存、生長、發(fā)展、創(chuàng)新所必須經(jīng)歷的過程，也是一個(gè)人能力與智慧發(fā)展的內(nèi)在要求，它是一種不可量化的“長效”，一種難以言說的豐厚的回報(bào)，而眼前的耗時(shí)、耗力應(yīng)該說是值得付出的代價(jià).

基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的課堂教學(xué)，不僅要讓學(xué)生收獲知識(shí)，更重要的是讓學(xué)生學(xué)會(huì)思考問題的方法，選擇解決問題的策略，表達(dá)解決問題的過程，進(jìn)而發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維與能力.因此，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是課堂的最終目的.