關(guān)于“圓在滾動(dòng)中的自轉(zhuǎn)圈數(shù)”問題的探討

王東升

（遼寧省阜新市教師進(jìn)修學(xué)院）

在現(xiàn)行各版本初中數(shù)學(xué)教材、多地的中考數(shù)學(xué)試題，乃至數(shù)學(xué)競賽題中，都出現(xiàn)過“圓在無滑動(dòng)的滾動(dòng)中自轉(zhuǎn)圈數(shù)”的問題.概括起來，此問題從形式上可分為三類：（1）圓在直線上滾動(dòng)，如例1；（2）圓在多邊形（折線）上滾動(dòng)，如例2；（3）圓在圓周（曲線）上滾動(dòng)，如例3.

要解決好這類問題，首先要對什么是“圓自轉(zhuǎn)一圈”有一個(gè)正確的認(rèn)識(shí)（這對第（3）類問題的解決顯得尤為重要）.所謂“圓自轉(zhuǎn)一圈”，從圖形特征上看，可以認(rèn)為是參照元素重回原位置.如果把這一說法數(shù)學(xué)化，則如由圖1到圖2，圓的半徑OA在圓自轉(zhuǎn)后回到原位置O′A′，OA∥O′A′，且方向相同. 為什么要強(qiáng)調(diào)方向相同呢？如圖1（3）所示的圓，其中的半徑與起始位置的半徑所在直線也是平行的，但此時(shí)圓并非自轉(zhuǎn)1圈，事實(shí)上，只轉(zhuǎn)半圈而已.就圓周上的參照點(diǎn)A來說，它繞圓心旋轉(zhuǎn)360°°時(shí)圓自轉(zhuǎn)一圈.

圖1

圖2

那么，每種類型的問題的規(guī)律如何呢？下面進(jìn)行分類探討.

一、圓在直線上滾動(dòng)

例1如圖3，一個(gè)半徑為2 cm的圓，在10 cm的線段AB上滾動(dòng)（無滑動(dòng)，下同），由點(diǎn)A到點(diǎn)B滾動(dòng)結(jié)束時(shí)，⊙O自轉(zhuǎn)了幾圈？

圖3

分析：如圖4，設(shè)⊙O的起初位置為⊙O1，滾動(dòng)一周后的位置為⊙O2.直線與兩圓相切，切點(diǎn)為點(diǎn)A，A′，且O1A∥O2A′，則線段O1O2=AA′為⊙O的周長.此時(shí)，⊙O恰好自轉(zhuǎn)一圈，即圓的自轉(zhuǎn)圈數(shù)（其中，l為圓在直線上滾動(dòng)的距離，c為圓周長）.

圖4

解：.

二、圓在多邊形（折線）上滾動(dòng)

例2如圖5，一個(gè)半徑為2 cm的圓，在△ABC的外部，沿三角形的邊滾動(dòng)一周，其中AB=5 cm，BC=6 cm，CA=7 cm.滾動(dòng)結(jié)束時(shí)，⊙O自轉(zhuǎn)了幾圈？

圖5

分析：理解圓沿三角形的邊滾動(dòng)一周過程可知，滾動(dòng)分為圓沿直線滾動(dòng)（如圖6）和圓繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)（如圖7）兩種情況.

如圖6，⊙O在△ABC邊上滾動(dòng)的情況，可如例1求解.

如圖7，圓繞點(diǎn)（此點(diǎn)在圓周上）旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)一周，自轉(zhuǎn)一圈，即圓的自轉(zhuǎn)圈數(shù)（θ為圓旋轉(zhuǎn)過的角度）.

圖6

圖7

此題中⊙O分別繞點(diǎn)A，B，C旋轉(zhuǎn)角α，β，γ，由三角形性質(zhì)可知，α+β+γ=360°.°

解：如圖6，⊙O在△ABC邊上滾動(dòng)過的距離為AB+BC+CA=5+6+7=18 cm.這個(gè)過程中，⊙O自轉(zhuǎn)圈數(shù).

如圖7，⊙O分別繞點(diǎn)A，B，C旋轉(zhuǎn)角為α，β，γ，由三角形性質(zhì)可知，α+β+γ=360°.這個(gè)過程中，⊙O自轉(zhuǎn)圈數(shù).

所以，當(dāng)在△ABC外滾動(dòng)一周時(shí)，⊙O自轉(zhuǎn)了圈.

三、圓在圓周（曲線）上滾動(dòng)

例3兩個(gè)一元硬幣，其中一個(gè)不動(dòng)，另一個(gè)繞其做不滑動(dòng)的滾動(dòng)一周，問旋轉(zhuǎn)的硬幣自轉(zhuǎn)幾圈？

分析：正確理解“圓自轉(zhuǎn)一周，是參照元素重回原位置”，對求解此題至關(guān)重要.一些學(xué)生會(huì)誤解為：如圖8，在⊙O2繞⊙O1的圓周滾動(dòng)的過程中，參照點(diǎn)A到達(dá)點(diǎn)B的位置時(shí)（的長等于⊙O2的周長），⊙O2自轉(zhuǎn)了一圈.這種誤解也許來自“圓在直線上滾動(dòng)”的問題圖示的影響.事實(shí)上，圓在圓周上滾動(dòng)時(shí)，既有滾動(dòng)距離也有旋轉(zhuǎn)，兼具例1與例2的特性.

圖8

圖9

本文開篇就特別強(qiáng)調(diào)了“圓自轉(zhuǎn)一圈，是參照元素重回原位置”的重要性，也可以用更直觀的說法“半徑平行且方向相同”來理解.如圖9，當(dāng)⊙O2的半徑O2A隨著圓的滾動(dòng)，旋轉(zhuǎn)到O2C的位置時(shí)（O2A∥O2′C），⊙O2自轉(zhuǎn)了1圈.可以看到，此時(shí)點(diǎn)C并未到達(dá)圓周與連心線的交點(diǎn)，對比兩圖會(huì)發(fā)現(xiàn)，圖8中的⊙O2′已經(jīng)自轉(zhuǎn)一圈還多些.

問題：若⊙O2繞⊙O1的圓周滾動(dòng)一周，⊙O2自轉(zhuǎn)幾圈？

如圖9， ⊙O2自轉(zhuǎn)了1圈時(shí)，O2A∥O2′C，設(shè) ∠O1=∠O2=n，⊙O1的半徑為R，⊙O2的半徑為r.

由滾動(dòng)可知，⊙O1的的長等于⊙O2的的長，得.

⊙O1的的長為為⊙O2自轉(zhuǎn)1圈時(shí)滾動(dòng)過的⊙O1的弧長.）

此時(shí)，如圖10，點(diǎn)O2經(jīng)過的路線長=2πr，（點(diǎn)為O2經(jīng)過的路線長為 ⊙O1的周長，滾動(dòng)圓的圓心經(jīng)過一個(gè)自身周長的距離，為自轉(zhuǎn)1圈.）

圖10

例4如圖11，已知⊙O的半徑為R，⊙B的半徑為r，且R＞r，⊙B在⊙O內(nèi)無滑動(dòng)的滾動(dòng)一周，則⊙B自轉(zhuǎn)的圈數(shù)為.

圖11

圖12

分析：如圖12，作連心線過兩圓的切點(diǎn)A，按“半徑平行且方向相同”畫出⊙B自轉(zhuǎn)1圈的位置⊙B′，兩圓的切點(diǎn)為點(diǎn)C，此時(shí)半徑BA∥B′A′.⊙B滾動(dòng)的距離，即⊙O的的長，相當(dāng)于⊙B的周長，再加上 ⊙B′的的長.

證明：（方法1）如圖12，設(shè) ∠O=∠A′B′C=n，已知⊙O的半徑為R，⊙B的半徑為r.

由滾動(dòng)可知，⊙O的的長=⊙B的周長+⊙B′的的長，

所以，⊙B在⊙O內(nèi)滾動(dòng)一周的自轉(zhuǎn)圈數(shù)=.

所以⊙B在⊙O內(nèi)滾動(dòng)一周的自轉(zhuǎn)圈數(shù)=.

或此時(shí)點(diǎn)B所經(jīng)過的路線的長.（點(diǎn)B所經(jīng)過的路線為⊙B的周長，滾動(dòng)圓的圓心經(jīng)過一個(gè)自身周長的距離，為自轉(zhuǎn)1圈.）

所以，⊙B在⊙O內(nèi)滾動(dòng)一周的自轉(zhuǎn)圈數(shù)=.

綜上所述，無論是圓在直線上滾動(dòng)，或是圓在折線上滾動(dòng)，或是圓在另一圓的圓周上（外或內(nèi)）滾動(dòng)，滾動(dòng)圓的自轉(zhuǎn)圈數(shù)的規(guī)律均滿足自轉(zhuǎn)圈數(shù)=，也就是說，只要求出滾動(dòng)圓的圓心經(jīng)過的路徑長，再除以滾動(dòng)圓的周長，即可求出滾動(dòng)圓自轉(zhuǎn)的圈數(shù)了.

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