挖掘基本圖形 突破思維節(jié)點
——對2018年浙江省溫州市中考試卷第24題的思考

俞衛(wèi)勝，呂小玲

（浙江省樂清市育英寄宿學校；浙江省溫州市第二十一中學）

2018年浙江溫州中考試卷第24題，考查了學生的邏輯推理能力、綜合運用知識能力和探究能力，考查了學生在變化過程中對圖形的分析能力，考查了學生對基本圖形的挖掘能力.試題以動態(tài)問題為載體，以問題串的形式呈現(xiàn)，在解法上凸顯出了多樣性.筆者有幸參與此題的閱卷工作，現(xiàn)結合閱卷的感悟，從試題呈現(xiàn)、試題特色、思路探析、解法賞析幾個方面進行思考，并整理成文，與讀者分享與研討.

一、試題呈現(xiàn)

題目如圖1，已知點P為銳角∠MAN內部一點，過點P作PB⊥AM于點B，PC⊥AN于點C，以PB為直徑作⊙O，交直線CP于點D，連接AP，BD，AP交⊙O于點E.

圖1

（1）求證：∠BPD=∠BAC．

（2） 連接EB，ED，當時，在點P的整個運動過程中．

①若∠BDE=45°，求PD的長．

②若△BED為等腰三角形，求所有滿足條件的BD的長．

（3）連接OC，EC，OC交AP于點F，當tan∠MAN=1，OC∥BE時，記△OFP的面積為S1，△CFE的面積為S2，試寫出的值．

二、試題特色

此題屬于動態(tài)探究性綜合題，由一個變化的角牽制線與線的關系，變化的點帶動一組線的變化，看似無序的運動，實則動中有靜，變中有不變，實現(xiàn)了動與靜的完美融合.試題通過分層設問，逐步遞進，將三角形、圓、三角函數(shù)、方程、軸對稱等初中數(shù)學的核心知識融為一體，蘊藏著許多經典的基本圖形，要求學生通過閱讀理解、推理計算、分類討論等方式進行研究，對學生基礎知識的掌握情況、數(shù)學思考能力，以及邏輯推理能力都有較高要求，充分體現(xiàn)了“知識與能力并重，思想與方法交融”的特點，凸顯數(shù)學本質.

三、思路探析及解法賞析

1.第（1）小題思路探析

此小題要證兩個角相等，從所給條件及圖形來看，尋找或構造一對全等三角形來證明兩個角相等這個途徑比較困難.于是想到找第三者建立兩個角之間的聯(lián)系，可以通過∠BPC架起∠BPD與∠BAC的橋梁，如解法1，也可以通過等角進行轉移，如解法2.當然，若能挖掘A，C，P，B四點共圓這個隱含信息，利用圓內接四邊形這個基本圖形亦可解決.

除了通過現(xiàn)有的角建立兩者的聯(lián)系外，還可以通過作輔助線構造基本圖形，尋找它們之間的聯(lián)系.由∠ABP=90°，想到構造“三垂圖”，實現(xiàn)角的轉移，如解法3.由BD∥AC想到構造“X型”“A型”相似圖，如解法4和解法5.在教學中，教師要引導學生從多角度思考問題，提倡一題多解，多解歸一，可以提升學生的邏輯推理能力，加深學生對數(shù)學本質的理解.

解法1：如圖2，因為PB⊥AM，PC⊥AN.

所以∠ABP+∠ACP=90°+90°=180°.

易得∠1+∠3=180°.

又因為∠2+∠3=180°，

所以∠2=∠1，即∠BPD=∠BAC.

圖2

解法2：如圖2，因為PB為⊙O的直徑，

所以∠BDP=90°，即∠2+∠5=90°.

由已知易得BD∥AC.所以∠1=∠4.

因為∠4+∠5=90°，

所以∠2=∠1，即∠BPD=∠BAC.

解法3：如圖3，過點A作AK⊥DK，交DB的延長線于點K，

可得∠KAB=∠PBD，且∠KAB+∠BAC=90°.

因為∠PBD+∠DPB=90°，

所以∠BPD=∠BAC.

圖3

解法4：如圖4、圖5，延長BP，交AC的延長線于點G，

易得△BDP∽△GCP∽△GBA.

可得∠BPD=∠GPC=∠BAC.

圖4

圖5

解法5：如圖6，延長AB，CD，交于點H，方法同上，略.

圖6

2.第（2）小題第①問思路探析

此問最關鍵的一步是利用“在同圓中，同弧所對的圓周角相等”得到△ABP為等腰直角三角形，然后利用勾股定理、相似三角形、三角函數(shù)建立方程.由已知條件，tan∠MAN=2，聯(lián)想到遇到三角函數(shù)便構造直角，通過構造“三垂圖”，架起已知與未知的聯(lián)系.

解法1：如圖7，因為 ∠BPE=∠BDE=45°， 且∠ABP=90°，

所以△ABP是等腰直角三角形.

由 tan∠BPD=tan∠MAN=2，

可設PD=x，則BD=2x.

在Rt△BDP中，由勾股定理得PD2+BD2=BP2，

解得x=2或x=-2（舍去），即PD的長為2.

圖7

解法2：如圖7，同解法1，得.

在Rt△BDP中，由 tan∠BPD=2，

解法3：如圖8，過點B作BI⊥AN，交AN于點I，

圖8

解得x=2或x=-2（舍去），即PD的長為2.

3.第（2）小題第②問思路探析

此問延續(xù)2017年浙江溫州中考試卷第24題的風格，在分類上難度降低了，消除學生不知如何分類、

易得△BAI∽△BPD.

由 tan∠BPD=tan∠MAN=2.

設PD=x，則CP=4-x，AC=2+2x.

在Rt△APC中，CP2+AC2=AP2，分不全的思維盲點，注重解法的多樣化.每一類解法的思路形成需要學生心中有基本圖形，能從復雜圖形中透視出基本圖形，從而找到各個量之間的聯(lián)系.此問可以通過設元，用含未知數(shù)的代數(shù)式表示相關線段，并利用相似三角形性質、勾股定理等建立方程.

對每一種分類，筆者都給出了2種解法，其中每種分類的解法1通過等角轉移，將△BED的三個內角轉移到共頂點P的一個平角上，這個基本圖形要在教學中加以內化.其中圖8中的BP及圖11中的AP充當著角平分線的角色，若能挖掘這層本質關系，問題將迎刃而解.每種分類的解法2凸顯圓的軸對稱性，巧妙地實現(xiàn)了各個量之間的關系，當然第三種分類中的解法2涉及半角模型的構建，以及后面分母有理化的過程，對學生來說存在一定的難度.

若△BED為等腰三角形，可以分如下三類進行分類討論.

（1）當BD=BE時.

解法1：如圖9，易得∠EPB=∠BPD，

即tan∠EPB=tan∠BPD=2.

在Rt△BPD中，由tan∠BPD=2，得BD=2.

圖9

解法2：如圖9，由已知可得EP=DP，∠BEP=∠BDP=90°， ∠EPB=∠BPD.

在Rt△BEP中，因為BE=2，所以BD=BE=2.

（2）當DB=DE時.

解法1：如圖10，易得∠DBE=∠DEB.

因為四邊形BEPD是⊙O的內接四邊形，

所以∠APC=∠DBE=∠DEB=∠BPD.

所以tan∠APC=tan∠BPD.

設DP=x，由，得.

圖10

圖11

解法2：如圖11，連接DO并延長，交BE于點M，

則BM=EM，∠EBD=∠BED=∠BPD.

所以tan∠BED=tan∠DPB=2.

設PD=x，則DE=BD=2x.

由△BEP∽△ABP，得.

（3）當EB=ED時.

解法1：如圖12，得∠APC=∠DBE=∠BDE=∠APB.

又由∠ABP=∠ACP=90°，得.

過點B作BH⊥AC，

在Rt△ABH中，由 tan∠MAN=2，，

得AH=2.

圖12

圖13

解法2：如圖13，連接EO并延長，交BD于點N，

則DN=BN=PD，得.

又因為∠BPA=∠BDE，易得tan∠BAP=tan∠DEN.

綜上所述，當BD為2或3或時，△BDE為等腰三角形.

4.第（3）小題思路探析

此小題涉及三角形的中位線，等腰三角形及相似三角形等核心知識，要善于挖掘基本圖形，利用線段之間的關系求出面積的比值，如解法1、解法2.最后一小問，由于時間有限，有的學生通過猜想的方法加以解決，如解法3，很好地考查了學生直觀想象的能力.

解法1：如圖14，過點O作OQ⊥CD，交CD于點Q，

圖14

由tan∠BPD=tan∠MAN=1，得BD=DP.

設PD=BD=2a，PC=b，

則AC=4a+b，OQ=PQ=a，CQ=a+b.

由OC∥BE，得∠OCH=∠PAC.

易得 Rt△ACP∽Rt△CQO.

所以AC·OQ=CP·CQ.

所以(4a+b)a=b(a+b).

可得2a=b.易得.

解法2：考慮到最后求比值，可以用特殊值法.

設CP=1，PD=BD=2a.其他同解法1，可得a=0.5.下同，略，這樣可簡化運算.

解法3：由 tan∠MAN=1，即 ∠MAN=45°，猜想45°的“12345”模型.這個證明留給讀者思考.

四、結束語

筆者認為，對一道動態(tài)幾何壓軸題的研究，先要研究其解法，特別是要思考這種解法是如何想到的，在此基礎上，進行教學思考.在教學中，一要重視引導學生挖掘題中隱藏的基本圖形，此題就包含著很多常見的基本圖形，如相似三角形；二要重視對數(shù)學思想方法的滲透，此題通過設元，用含未知數(shù)的代數(shù)式表示相關的線段，并建立方程，這種設元建立方程的思想非常重要.另外，題中還涉及到分類討論、數(shù)形結合等思想方法；三要提倡問題解法的多樣化，一題多解，開闊學生思路，發(fā)散學生思維，使學生學會多角度分析和解決問題.在解題教學中，當呈現(xiàn)一種解法后，教師可及時追問一句“還有其他解法嗎？”學生由此展開不同思路的探究與交流；四要關注數(shù)學問題的本質內涵，現(xiàn)行中考試題加大了對數(shù)學問題本質的探究，弱化了對特殊技巧的考查，這需要教師在平時的解題教學中善于就問題進行分析、挖掘，尋找隱含在其中的本質內涵，才能有效地形成解題思路.