從“幾何、代數、三角”三個維度揭密幾何計算的思考策略
——基于一道中考幾何計算題解法的分析與啟示

李 明

（江西省贛州市第一中學）

著名數學家波利亞指出：拿一個有意義而又不復雜的題目去幫助學生挖掘問題的各個方面，使得通過這道題就好像通過一道門戶，把學生引入一個完整的領域.幾何計算是給出已知條件，讓學生去推理計算，許多時候學生的思維盲目，難以想到解題切入點.以2017年重慶市中考試卷第18題（填空壓軸題）為例，從“幾何、代數、三角”三個不同維度探尋幾何計算的思路，讓學生感受幾何計算的多種解法，把學生引入一個幾何計算領域，提高學生解題能力和核心素養(yǎng).

題目如圖1，正方形ABCD中，AD=4，點E是對角線AC上一點，連接DE，過點E作EF⊥ED，交AB于點F，連接DF，交AC于點G，將△EFG沿EF翻折，得到△EFM，連接DM，交EF于點N，若F是AB的中點，則△EMN的周長是____.

圖1

一、解法初探

此題以正方形為背景，融入翻折變換、全等、相似，難度大，計算復雜，對學生的推理要求高.為幫助學生突破難點，筆者讓學生先獨立思考、探索、發(fā)現，思考根據題目條件，容易求出哪些線段的長度，能推出哪些結論？

經過探究，學生得出以下結論.

結論2：由△AGF∽△CGD，得，DG=

結論3：A，D，E，F四點共圓，且∠EFM=∠DFE=.

結論4：如圖2，D，N，M，B四點共線，AC⊥DN，設AC與DM的交點為點O，則.

理由：如圖2，連接MB，作GP⊥AB，MQ⊥AB，

易證得△GPF≌△FQM.

所以GP=FQ=AP，PF=QM.

因為AF=BF，所以PF=QB=QM.

所以∠QBM=∠ABD=45°.

所以D，N，M，B四點共線.所以AC⊥DN.

圖2

圖3

結論5：如圖3，∠1=∠2=∠3=∠4.

理由：由A，D，E，F四點共圓，AC⊥DN容易推出.

二、妙解評析

在學生獨立思考、探索的基礎上，全班開展小組討論，經過合作交流，學生涌現出許多奇思妙想，探究出了很多精彩的計算方法.

1.從相似三角形與勾股定理入手

思路1：計算線段長度常常考慮用“相似三角形中對應邊成比例”連接已知線段和未知線段的關系.相似三角形有如圖4～圖8所示的5個常用的基本圖形，筆者在教學中稱它們?yōu)椤拔宥浣鸹ā?

圖4

圖5

圖6

圖7

圖8

在復雜圖形中，尋找或通過輔助線構建相似基本圖形是計算線段的常用思考策略.

圖9

解法1：如圖9，由題目條件，根據勾股定理易求出DF，AC，DE，EF的長.由△AGF∽△CGD（“X”型）易求出GF，DG，AG，CG的長.通過△AGF∽△DGE（“X”型）建立未知線段和所求出線段間的等量關系，求出線段EG（即EM）的長.連接MG，MG∥DE，得出△FGH∽△FDE（“A”型），△DEN∽△MHN（“X”型），得問題轉化為求線段EH，DN的長，，從而求出線段EN，MN的長.

【評析】此題要求的線段和已知條件沒有直接聯系，為此，抓住圖中的4對相似三角形（△AGF∽△CGD，△AGF∽△DGE，△FGH∽△FDE，△DEN∽△MHN）構建線段間的等量關系，通過相似，架起溝通已知和未知的橋梁.解法1較為復雜，后3對相似三角形學生難以想到，但可以讓學生充分感受“相似法”在計算線段長度中的威力.

解法2：如圖10，在Rt△DEN中，EO⊥DN，易聯想到“母子相似形”△DOE∽△EON∽△DEN，根據OD，DE的長可以求出OE，ON，EN，DN的長.

圖10

由EM=EG=OE+OG=OE+(OA-AG)，求出EM的長.由，求出MN的長，得.

【評析】由四邊形對角互補想到四點共圓是常用的解題策略，利用圓的性質更容易發(fā)現題目中角之間的等量關系.由翻折得∠GFM=90°，通過添加輔助線構造“三等角相似形”證出D，N，M，B四點共線（祥見解法初探），進而發(fā)現OE⊥DN，OD=OA.在“母子相似形”中知任意兩條線段的長可求出其余所有線段的長，在直角三角形中運用勾股定理計算線段長度也是最常用的方法，本解法讓學生感受“母子相似形”在計算線段長度中的應用.

解法3：同解法2求出EN，EM的長.如圖10，由△MEN∽△MDE，可得求出MN的長，得.

【評析】解法1中求MN的長思考難度大，解法2中求MN的長計算量大，交流中學生又發(fā)現了△MEN∽△MDE（公共角型），且相似比為1∶2，從而MN=，輕松求出MN的長.

反思上述三種解法，在復雜圖形中尋找或構建相似三角形（上面用到了相似三角形的5個基本圖形），通過相似三角形得到線段間的比例關系，完成從已知向未知的過渡.在幾何計算中，“相似”好比一盞亮著的燈，利用相似得到相等關系是一個重要的解題思路.在復雜圖形的分析中，若能把圖形分解為簡單的相似基本圖形，解題思路便會豁然開朗.

2.從“面積比與線段比的互相轉化”入手

思路2：解題中為了尋找線段間的數量關系，還可以從圖形的面積入手.在面積比與線段比的相互轉化中，有兩種常用思考策略：一是相似三角形的面積比等于相似比的平方；二是等高三角形的面積比等于底的比，或等底三角形的面積比等于高的比.

解法4：同上求出DN，EN，EM的長.

圖11

如圖11，連接GN，由FG∶GD=1∶2，求出S△NFG∶S△NGD=1∶2. 由△NGF≌△NMF，得S△FMN∶S△FND=1∶3.進而得MN∶DN=1∶3.由此求出MN的長，得C△EMN=EN+.

3.從全等三角形與整體思想入手

思路3：利用全等三角形實現線段間的等量轉化，把求三邊和作為一個整體來計算，使運算更為簡便.

解法5：同解法2，求得.

如圖12，作EH⊥DF于點H，交DN于點K.由 △EKD≌△FME， 得EM=DK，FM=EK.由 △EKN≌△FMN，得MN=KN.所以C△EMN=EN+NM+EM=EN+NK+DK=EN+.

圖12

【評析】在前面4種解法中，學生利用相似三角形、勾股定理、面積等知識分別求出三角形的三邊長，從而求出周長.在交流中，學生思維活躍，有學生運用整體思想想到把三邊的和作為一個整體計算.學生在探究中抓住等腰直角三角形DEF，作底邊上的高EH，證出兩對全等三角形△EKD≌△FME，△EKN≌△FMN，從而EM+MN=DK+KN=DN，△EMN的周長轉化成EN+DN的長，使問題得以解決.在等腰三角形中，作底邊上的高是添加輔助線常用的方法.課堂上，教師若給學生留下思考的時間和空間，學生往往會給你帶來意外的驚喜.

4.從銳角三角函數與解直角三角形入手

思路4：在直角三角形中，知道一邊和一個銳角的三角函數值，可以求出該三角形的另外兩邊長，把要求線段放在直角三角形中計算.

圖13

解法6：如圖13，連接GM，交EF于點H，在 Rt△DAF中，易求，由tan∠4=，可求出EN的長.在Rt△EHM和Rt△NHM中， 由 tan∠2=tan∠5=，得NH∶MH∶EH=1∶2∶4，則，可求得HN的長，利用勾股定理或比值關系可求出MN，EM的長.

【評析】在解題教學中，筆者經常向學生提起“相似”和“三角”是一對好朋友，“相似”和“三角”都和比值相關，運用“三角法”解題往往更為簡便.解法6通篇沒有用相似，而是巧妙利用三角函數建立已知線段和未知線段的等量關系，抓住tan∠4=tan∠2=與勾股定理，輕松求出了所求線段的長，讓學生領略了“三角法”在計算中的神奇表現.

5.從直角坐標系入手

思路5：要求出三角形三邊的長，從代數角度考慮，可以建立平面直角坐標系，求出線段端點坐標，從而利用兩點間距離公式或勾股定理求出線段長.

解法7：如圖14，建立平面直角坐標系，易得D(0，4)，C(4，4)，H(2，2)，F(2，0).

圖14

由待定系數法求出直線AC，DF，DB的解析式，求得直線AC與DF的交點G的坐標.由ED=EF，列方程可求得點E的坐標.求出直線EF的解析式，與直線DB的解析式聯立求出點N的坐標.根據兩點間距離公式求得EG，EN，NG的長.

【評析】坐標法是通過代數計算來完成幾何證明或計算的一種解題方法.此題要計算三角形的周長，容易想到只需要確定三角形三個頂點的坐標，問題便得以解決，相比前面相似法、全等法、面積法、三角法，思維難度大大降低.在解答時，注意把求E，N，M三點的坐標轉化為求E，N，G三點的坐標，可以有效減小計算量.坐標法的學習讓學生體會代數與幾何的密切聯系，可以培養(yǎng)學生的數形結合能力，為學生高中學習解析幾何奠定基礎.

三、教學啟示

回顧此題的教學，在解法初探中教師提出一個開放性的問題，讓學生從條件出發(fā)，去探究能得出哪些正確結論，這是思考問題的常用方法.學生從題中已知的一條線段長出發(fā)，求出了一系列線段的長，并探究出了四點共圓、四點共線，為解決問題奠定了堅實的基礎.綜觀上述5種思路、7種解法，學生從相似、面積、全等、三角、坐標等不同角度探究計算思路，搭建從已知通向未知的橋梁，訓練學生從不同角度思考問題的能力，促使學生從單一的思維模式中解放出來，以創(chuàng)新思維、求異思維的方式來解決問題，較好地培養(yǎng)了學生思維的嚴密性、開闊性、發(fā)散性和靈活性.

一個令許多學生望而生畏的幾何計算填空壓軸題，課堂上學生精彩解法的展示令教師和全班學生驚嘆不已.在這道題的解法探究中，初中數學計算線段長度的常用方法在這道題中得到了淋漓盡致的呈現.學生通過反思總結，感受了幾何線段計算領域常用到的思想方法，如勾股定理法、面積法、全等法、相似法、三角法、坐標法等.透過每種解法的表層，抓住每種解法的本質，把握不同解法之間的聯系，能讓學生觸類旁通、舉一反三，有望達到“做一題，通一類，會一片”的較高層次效果.

解題教學的最終目標是發(fā)展學生的思維，科學精神、理性思維是核心素養(yǎng)的重要成分.通過一題多解，引發(fā)學生反思幾何計算與幾何推理之間的內在關系，發(fā)展學生的思維能力，讓學科核心素養(yǎng)的培育落實到具體的數學教學中.