變式教學(xué)不深奧 靈活多變皆有道

宋柏鋒

（遼寧省大連市第三十七中學(xué)）

變式教學(xué)是教師通過不斷變換問題中的條件或結(jié)論，轉(zhuǎn)換問題的內(nèi)容和形式，更換問題中的非本質(zhì)特征，促進學(xué)生掌握數(shù)學(xué)對象本質(zhì)屬性的一種教學(xué)方法.變式教學(xué)對增強學(xué)生思維的深刻性，提高學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的積極性，提升學(xué)生的創(chuàng)新意識等都有著積極的作用.筆者通過對人教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》八年級下冊“勾股定理”一章中一道典型題目的變式研究，與各位同行分享對變式教學(xué)的一些思考.

一、原題解析

題目如圖1，P是等邊三角形ABC內(nèi)的一點，∠BPC=150°，求線段PA PB，PC之間的數(shù)量關(guān)系.

圖1

1.解題思路

依托AB=AC=BC，分別按如圖2～圖7所示旋轉(zhuǎn)，將PA，PB，PC轉(zhuǎn)化至一個三角形，再通過已知角度，證明轉(zhuǎn)化后的三角形為直角三角形，進而得到PA2=PB2+PC2.

圖2

圖3

圖4

圖5

圖6

圖7

以圖2為例進行證明.

解：如圖2，過點A作∠KAP=∠BAC，在AK上截取AK=AP，連接BK，PK.

因為△ABC為等邊三角形，

所以BA=CA，∠ABC=∠BAC=60°.

所以∠KAB=∠KAP-∠BAP=∠BAC-∠BAP=∠CAP，∠KAP=60°.

所以△KBA≌△PCA，△AKP為等邊三角形.

所以KB=PC，∠AKB=∠APC，KP=PA.

因為∠BPC=150°，

所以∠KBP+∠KAP=360°-（∠AKB+∠APB）=360°-（∠APC+∠APB）=∠BPC=150°.得∠KBP=90°.

所以KB2+BP2=KP2，即PA2=PB2+PC2.

2.教學(xué)關(guān)注點

（1）提倡一題多解，這樣有利于學(xué)生在多解中體會原題線段轉(zhuǎn)化的本質(zhì).

（2）提倡從構(gòu)造全等、旋轉(zhuǎn)，構(gòu)造90°等多角度分析思考問題.

（3）嚴格規(guī)范過程書寫，對于輔助線作法等易錯過程進行糾正.

3.解法中的變與不變

變：輔助線的作法及思考問題的切入角度.

不變：利用幾何變換將三條線段轉(zhuǎn)化到一個直角三角形中，進而得到三邊關(guān)系的解題策略及轉(zhuǎn)化的思想方法.

二、原題變式

變式系列1：變化問題載體，弱化條件

變式1：如圖8，P是正方形ABCD內(nèi)一點，∠BPC=135°，求線段PA，PB，PC之間的等量關(guān)系.

變式2：如圖9，P是菱形ABCD內(nèi)的一點，∠ABC=120°，∠BPC=120°，求線段PA，PB，PC之間的等量關(guān)系.

變式3：如圖10，P是菱形ABCD內(nèi)一點，∠ABC=α，∠BPC=β，當α與β之間滿足怎樣的關(guān)系時，PA2=.

圖8

圖9

圖10

以變式3的解法為例，解法如下.

解析：如圖11，過點B作∠PBK=∠ABC=α，在射線BK上截取線段BK=BP，連接PK，CK，過點B作BE⊥PK于點E，

圖11

因為BA=BC，∠PBK=∠ABC=α，

所以∠ABP=∠ABC-∠PBC=∠PBK-∠PBC=∠CBK.

所以△ABP≌△CKB.所以PA=CK.

所以CK2=PK2+PC2.

所以 ∠KPC=90°.

因為∠BPC=∠KPC+∠BPK，

所以α+2β=360°.

（1）教學(xué)關(guān)注點.

變式系列1為原題條件的變化與弱化，變化過程中，不變的是當BA=BC時，當∠ABC和∠BPC滿足一定度數(shù)時，PA，PB，PC之間存在類似勾股定理的結(jié)論.教師在教學(xué)過程中應(yīng)注意以下幾點.

①讓學(xué)生通過自主學(xué)習(xí)、小組交流等學(xué)習(xí)方式，感受因條件變化而減少的輔助線作法.原題目以點A，B，C為旋轉(zhuǎn)中心皆可解決問題，而變式系列1只能以點B為旋轉(zhuǎn)中心.因為以點A，C，D為旋轉(zhuǎn)中心無法將PA，PB，PC轉(zhuǎn)化到一個三角形中，教學(xué)時應(yīng)與學(xué)生共同探索并發(fā)現(xiàn)此變化.

②讓學(xué)生經(jīng)歷在條件弱化的過程中得出一般性的結(jié)論.

③變式3的設(shè)計意圖是為了保證問題設(shè)置的連貫性，讓學(xué)生經(jīng)歷由特殊到一般的過程，因部分內(nèi)容涉及九年級銳角三角函數(shù)的內(nèi)容，在教學(xué)中可根據(jù)學(xué)情酌情選擇.

（2）此題中的變與不變.

變：數(shù)學(xué)問題的載體在不斷發(fā)生改變.

不變：①當BA=BC，∠ABC和∠BPC滿足一定關(guān)系時，PA，PB，PC之間便存在某種數(shù)量關(guān)系.

②通過全等、等腰等幾何變換，將三邊轉(zhuǎn)化到一個三角形中的轉(zhuǎn)化思想未發(fā)生改變.

③依托點B（已知角度的頂角、已知等腰的頂點）作輔助線的策略未發(fā)生改變.

變式系列2：變化圖形中核心元素的相對位置關(guān)系

變式1：如圖12，P是正方形ABCD外的一點，線段PA，PB，PC之間滿足PA2=2PB2+PC2，求∠BPC的度數(shù)？

圖12

圖13

解析：如圖13，依托BA=BC，將△ABP繞著點B順時針旋轉(zhuǎn)90°至△BKC，連接KP，得PB=KB，AP=KC，最終將PA，PB，PC轉(zhuǎn)化到△KPC中.因為PA2=2PB2+PC2可以得出∠CPK=90°，繼而得出∠BPC的度數(shù)為45°.

變式2：如圖14，P是正方形ABCD外的一點，線段PA，PB，PC之間滿足PC2=2PB2+PA2，求∠BPA的度數(shù)？

圖14

圖15

解析：如圖15，將△PBC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)90°至△ABK，連接AK，PK，得BK=BP.思路與上題相同，此外，可以引導(dǎo)學(xué)生從軸對稱圖形的角度思考問題，快速得出結(jié)論.

變式3：如圖16，P是正方形ABCD對角線AC上的一點，求線段PA，PB，PC之間的數(shù)量關(guān)系？

圖16

圖17

解析：如圖17，過點B作∠KBP=∠ABC，在BK上截取BK=BP，連接CK，PK.此題點P處于特殊位置，可以將△APB旋轉(zhuǎn)至△BKC的位置，因為∠BAC=∠ACB=45°，所以∠PCK=90°.所以PK2=CK2+PC2.進而得2PB2=PA2+PC2.

此題在教學(xué)中可繼續(xù)變式（如圖18），利用2PB2=PA2+PC2的不變性變式如下.

圖18

變式4：如圖18，在平面直角坐標系中，已知B(1，1)，C(2，0)，P為線段OC上一點，，求線段PC的長度.

解析：由B(1，1)，C(2，0)，可得△OBC為等腰直角三角形.由變式系列2中變式3的結(jié)論可得2PB2=PO2+PC2.又因為，所以設(shè)OP=x，所以4x2=x2+(2-x)2.進而得出.

此題是將條件與結(jié)論進行數(shù)形轉(zhuǎn)化變式.

（1）教學(xué)關(guān)注點.

圖19

變式系列2本質(zhì)上是在等腰三角形ABC中，點P分別位于點P1，P2，P3，P4，P5等位置 （如圖19），連接PA，PB，PC，當PA，PB，PC滿足類似勾股定理的結(jié)論時，∠ABC與以點P為頂點的最大角之間的存在著某種特定的數(shù)量關(guān)系.在教學(xué)過程中，教師應(yīng)根據(jù)學(xué)情選取適當?shù)淖兪筋}目，讓學(xué)生在變化中感受不變的核心，進而類比解決問題，依托題目變式，感受類比轉(zhuǎn)化思想，提升解題能力.

（2）此題中的變與不變.

變：問題提問的方式；問題中幾何元素間的相對位置.

不變：變式系列1中不變的內(nèi)容仍未發(fā)生改變；從旋轉(zhuǎn)的角度思考問題的技巧在此系列變式中顯得尤為重要.

三、關(guān)于變式教學(xué)的幾點思考

1.變式教學(xué)貴在不變

上述7個變式先后改變了問題的解法、題設(shè)和結(jié)論等，但研究問題的方式、方法及策略始終未變.多元智能理論的主要創(chuàng)建者加德納認為，課堂上學(xué)生對于知識真正的理解來自對少數(shù)主題深入的研討，而不是對許多內(nèi)容的廣泛討論.“少”就是我們要抓住的不變的本質(zhì)，抓住“少”才能衍生出“多”，通過對“少”的多層次的變式構(gòu)造，不但可以使學(xué)生對問題解決過程及問題本質(zhì)的結(jié)構(gòu)有一個清晰的認識，而且也能有效地幫助學(xué)生積累問題解決的經(jīng)驗，并提高解決其他問題的能力.

2.變式教學(xué)貴在有道

變式教學(xué)貴在變之有道，即變化應(yīng)遵循數(shù)學(xué)知識發(fā)生、發(fā)展的邏輯鏈條，體現(xiàn)學(xué)生認知鏈的合理延伸.變式教學(xué)不是針對某一知識點的同水平的數(shù)學(xué)問題的反復(fù)操練與訓(xùn)練，因為簡單的講授與模仿不能幫助學(xué)生進入高思維含量層面的學(xué)習(xí)與積累，反而會使學(xué)生的思維僵化并產(chǎn)生惰性.以本文的變式為例，每次變化都不是簡單的重復(fù)與羅列，而是要通過問題的多種呈現(xiàn)幫助學(xué)生尋找變化中隱藏的不變的本質(zhì).

3.變式教學(xué)貴在創(chuàng)新

愛因斯坦有句名言：提出一個問題往往比解決一個問題更重要.解決問題是被動完成任務(wù)，而提出問題是主動思考和創(chuàng)新思維.變式教學(xué)表面是教師在設(shè)計變式題目，學(xué)生在被動學(xué)，但在深層次上，學(xué)生在抓住問題本質(zhì)的同時學(xué)會了從多角度思考問題的方式，也為學(xué)生提出問題提供了切實可行的渠道.本文就為學(xué)生提供了變換問題載體、弱化題目條件、改變幾何元素之間的相對位置關(guān)系等變式方法，對幾何題目進行變式思考的具體渠道.