對一道經(jīng)典分割問題的探究

段廣猛

（江蘇省高郵市贊化學(xué)校）

如果一個(gè)三角形恰好能夠被分割成兩個(gè)等腰三角形，那么這個(gè)三角形應(yīng)該滿足怎樣的條件？并且如何分割呢？

一、問題解決

對于如此抽象的問題，筆者的解決方案按以下步驟逐一展開，此為思維的有序性.

1.大小假設(shè)

如圖1，在△ABC中，不妨設(shè)∠A≤∠B≤∠C，即∠A為最小角，∠C為最大角.

圖1

2.總體策略

逆向思考，反道而行；畫出草圖，精準(zhǔn)分析.

3.局部策略

先通過觀察做定性分析，縮小范圍，再分類做定量研究.

4.分類決策

分三類解決問題：第一類是過最小角∠A的頂點(diǎn)分割；第二類是過較大角∠B的頂點(diǎn)分割；第三類是過最大角∠C的頂點(diǎn)分割.

5.實(shí)施過程

圖2

第一類：如圖2，當(dāng)過最小角∠A的頂點(diǎn)作分割線AD時(shí)，易得∠ADB＞∠C≥∠B≥∠BAC＞∠BAD.鎖定△ABD，即∠ADB＞∠B＞∠BAD，故△ABD不可能為等腰三角形，可得結(jié)論1.

結(jié)論1：對于任意三角形，過最小角的頂點(diǎn)都不能分割成兩個(gè)等腰三角形.

第二類：如圖3，當(dāng)過較大角∠B的頂點(diǎn)作分割線BD時(shí)，易得∠ADB＞∠C≥∠ABC≥∠A.鎖定△ABD，則有∠ADB＞∠ABD，且∠ADB＞∠A.故要使△ABD為等腰三角形，只有一種可能，即∠ABD=∠A.

圖3

圖4

接下來調(diào)整圖形.如圖4，∠ABD=∠A，繼續(xù)觀察做定性分析，鎖定△BCD，易知∠C≥∠ABC＞∠CBD，故要使△BCD為等腰三角形，有兩種情況，即∠C=∠CDB或∠CBD=∠CDB.

情況1：如圖5，當(dāng)∠C=∠CDB時(shí)，設(shè)∠ABD=∠A=α，則∠C=∠CDB=2α，∠DBC=180°-4α，∠ABC=180°-3α..

圖5

分析定量關(guān)系：由∠A≤∠ABC≤ ∠C及∠DBC＞0°，則有解得36°≤α＜45°.

有趣的是，此時(shí)還會(huì)發(fā)現(xiàn)∠C=2∠A，從而可以得到以下結(jié)論.

結(jié)論2：當(dāng)某三角形同時(shí)滿足36°≤最小角α＜45°，且存在另一個(gè)角2α?xí)r，只需要過第三個(gè)角的頂點(diǎn)分割出一個(gè)角α，這時(shí)原三角形將會(huì)被分割成兩個(gè)等腰三角形.

情況2：如圖6，當(dāng)∠CBD=∠CDB時(shí)，設(shè)∠ABD=∠A=α，則∠CBD=∠CDB=2α，∠C=180°-4α，∠ABC=3α..

圖6

分析定量關(guān)系：由∠A≤∠ABC≤∠C，則有解得.

有趣的是，此時(shí)還會(huì)發(fā)現(xiàn)∠ABC=3∠A，從而可以得到以下結(jié)論.

結(jié)論3：當(dāng)某三角形同時(shí)滿足最小角，存在另一個(gè)角3α?xí)r，只需要過角3α的頂點(diǎn)分割出一個(gè)角α，這時(shí)原三角形將會(huì)被分割成兩個(gè)等腰三角形.

圖7

第三類：如圖7，當(dāng)過最大角∠C的頂點(diǎn)作分割線CD時(shí)，易得∠ADC＞∠B≥∠A. 鎖 定 △ACD，則有∠ADC＞∠A.故要使△ACD為等腰三角形，又分兩種類型，即∠ACD=∠A或∠ACD=∠ADC.

類型1：當(dāng)∠ACD=∠A時(shí)，再鎖定△BCD，繼續(xù)觀察做定性分析，但得不到任何有效信息來縮小范圍.要使△BCD為等腰三角形，可能有三種情形，即∠BCD=∠B或∠BDC=∠B或∠BCD=∠BDC.

情況1：如圖8，當(dāng)∠BCD=∠B時(shí)，設(shè)∠ACD=∠A=α，則∠BDC=2α，∠BCD=∠B=90°-α，所以∠ACB=90°，即△ACB為直角三角形.

圖8

結(jié)論4：直角三角形一定可以分割成兩個(gè)等腰三角形（只需沿著斜邊的中線進(jìn)行分割）.

圖9

情況2：如圖9，當(dāng)∠BDC=∠B時(shí)，設(shè)∠ACD=∠A=α，則∠BDC=∠B=2α，∠BCD=180°-4α，∠ACB=180°-3α.

分析定量關(guān)系：由∠ABC≤∠ACB， 且 ∠BCD＞0°， 則 有解得α≤36°.

有趣的是，此時(shí)還會(huì)發(fā)現(xiàn)∠B=2∠A，從而可以得到以下結(jié)論.

結(jié)論5：當(dāng)某三角形同時(shí)滿足最小角α≤36°，且存在另一個(gè)角2α?xí)r，只需過第三個(gè)角的頂點(diǎn)分割出一個(gè)角α，這時(shí)原三角形將會(huì)被分割成兩個(gè)等腰三角形.

情況3：如圖10，當(dāng)∠BCD=∠BDC時(shí)，設(shè)∠ACD=∠A=α，則∠BCD=∠BDC=2α，∠B=180°-4α，∠ACB=3α.

分析定量關(guān)系：由∠A≤∠B≤∠ACB，則有解得.

有趣的是，此時(shí)還會(huì)發(fā)現(xiàn)∠ACB=3∠A，從而可以得到以下結(jié)論.

結(jié)論6：當(dāng)某三角形同時(shí)滿足最小角α≤36°，且存在另一個(gè)角3α?xí)r，只需要過角3α的頂點(diǎn)分割出一個(gè)角α，這時(shí)原三角形將會(huì)被分割成兩個(gè)等腰三角形.

類型2：如圖11，當(dāng)∠ACD=∠ADC時(shí)，再鎖定△BCD，繼續(xù)觀察做定性分析，易知∠BDC＞∠ACD，即∠BDC＞∠ADC，從而∠BDC＞90°.要使鈍角△BCD為等腰三角形，只有一種可能，即∠BCD=∠B.

圖11

圖12

如圖12為調(diào)整后的圖形，設(shè)∠A=α，則∠ACD=.

分析定量關(guān)系：由 ∠A≤∠B，則有，解得α≤36°.

有趣的是，此時(shí)有∠ACB=∠ACD+∠BCD=2∠B+∠B=3∠B，從而可以得到以下結(jié)論.

結(jié)論7：當(dāng)某三角形同時(shí)滿足最小角α≤36°，且另兩個(gè)角之間存在三倍關(guān)系時(shí)，可以過三倍角（即最大角）的頂點(diǎn)將原三角形分割成兩個(gè)等腰三角形.

6.整合結(jié)論

為表述方便，可做如下規(guī)定：若某三角形有一個(gè)內(nèi)角是另一個(gè)內(nèi)角的二倍，則稱此內(nèi)角為“二倍角”；若某三角形有一個(gè)內(nèi)角是另一個(gè)內(nèi)角的三倍，則稱此內(nèi)角為“三倍角”.

整合分析上述7個(gè)結(jié)論，進(jìn)而解決以下兩個(gè)關(guān)鍵性問題.

問題1：哪些三角形可以被分割成兩個(gè)等腰三角形？

直角三角形都可以分割成兩個(gè)等腰三角形（來源于結(jié)論4）；

對于非直角三角形，只有當(dāng)其存在二倍角或三倍角時(shí)，才有可能被分割成兩個(gè)等腰三角形，具體如下.

（1）當(dāng)某個(gè)非直角三角形存在二倍角時(shí)，且其最小角α＜45°時(shí)，它可以被分割成兩個(gè)等腰三角形（來源于結(jié)論2與結(jié)論5）；

（2）當(dāng)某個(gè)非直角三角形存在三倍角時(shí)，且其最小角α≤36°時(shí)，它可以被分割成兩個(gè)等腰三角形（來源于結(jié)論3、結(jié)論6和結(jié)論7）.

問題2：對于符合上述條件的三角形，如何分割？或者說分割策略有哪些？

對于直角三角形，可以沿著斜邊的中線，將其分割成兩個(gè)等腰三角形；

而對于非直角三角形，有以下分割策略.

（1）最小角不分割，即不能過最小角的頂點(diǎn)分割（來源于結(jié)論1）；

（2）二倍角不分割（來源于結(jié)論2與結(jié)論5）；

（3）三倍角必分割（來源于結(jié)論3、結(jié)論6和結(jié)論7）.

特別說明：（2）和（3）成立的前提是原三角形中有唯一的二倍角或者三倍角.

若該三角形中存在著兩個(gè)二倍角或者三倍角，可以選擇其中一個(gè)進(jìn)行分割即可，其實(shí)這樣的三角形有且只有兩個(gè)，其內(nèi)角分別為36°，72°，72°或，.

這里的“收網(wǎng)行動(dòng)”，充分體現(xiàn)了思維的整合性和靈活性，對于學(xué)生能力的要求較高，而且得到的結(jié)論是解決相關(guān)問題的重要“法寶”.

二、實(shí)戰(zhàn)分析

萬事俱備，只欠實(shí)戰(zhàn).下面筆者略舉幾例，來體悟上述所得結(jié)果在解題中的應(yīng)用.

例1如圖13，試用一條直線將△ABC分割成兩個(gè)等腰三角形，其中∠A=40°，∠B=20°.

圖13

簡析：首先，該直線必過△ABC的某個(gè)頂點(diǎn)，否則會(huì)割出一個(gè)四邊形；其次，此△ABC的最小角∠B=20°＜36°，且∠C=3∠A，∠A=2∠B，即它既存在三倍角，又存在二倍角，故必可分割成兩個(gè)等腰三角形.

最小角不分割，即不能過最小角∠B分割；

二倍角不分割，即不能過二倍角∠A分割；

三倍角必分割，即必須過三倍角∠C來分割.

由此，如圖14及圖15所示，此題有兩種分割方案，問題得解.

圖14

圖15

例2給定一張等腰三角形紙片，剪一刀后被分成了兩張等腰三角形紙片，求原等腰三角形紙片的各內(nèi)角的度數(shù).

簡析：（1）若此等腰三角形為等腰直角三角形，則可以沿著斜邊的中線分割成兩個(gè)等腰三角形.如圖16，此時(shí)其各內(nèi)角的度數(shù)分別為45°，45°和90°.

圖16

（2）若此等腰三角形為非直角三角形，則其必然含有二倍角或者三倍角，具體可分以下四類.

①當(dāng)其頂角為底角的2倍時(shí)，設(shè)底角為α，頂角為2α，則有α+α+2α=180°，解得α=45°.此時(shí)它依然為等腰直角三角形，與前面重復(fù).

②當(dāng)其底角為頂角的2倍時(shí)，設(shè)頂角為α，底角為2α，則有2α+2α+α=180°，解得α=36°.此時(shí)最小角α＜45°，故可以分割.如圖17，其各內(nèi)角的度數(shù)分別為36°，72°和72°，即為黃金三角形.

③當(dāng)其頂角為底角的3倍時(shí)，設(shè)底角為α，頂角為3α，則有α+α+3α=180°，解得α=36°.此時(shí)最小角α=36°，故可以分割.如圖18，其各內(nèi)角的度數(shù)分別為36°，36°和108°，仍為黃金三角形.

④當(dāng)其底角為頂角的3倍時(shí)，設(shè)頂角為α，底角為3α，則有3α+3α+α=180°，解得.此時(shí)最小角α＜36°，故可以分割.如圖19，其各內(nèi)角的度數(shù)分別為.

圖17

圖18

圖19

綜上所述：符合條件的等腰三角形有四種，其各內(nèi)角的度數(shù)分別為45°，45°，90°或36°，72°，72°或36°，36°，108°或，問題得解.

由實(shí)戰(zhàn)分析可以看出，本文探索得出的結(jié)論對于解決相關(guān)的分割問題有極大的作用.但本文最大的價(jià)值還是體現(xiàn)在探索數(shù)學(xué)的樂趣中，這種過程性的享受與收獲是筆者更愿意傳遞的信念與精神.