幾何畫(huà)板在培養(yǎng)高中學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想中的應(yīng)用

齊旭東

摘 要：幾何畫(huà)板軟件有著簡(jiǎn)單易學(xué)，動(dòng)態(tài)演示，互動(dòng)反饋集一身的優(yōu)秀品質(zhì)，特別是幾何畫(huà)板輔助教學(xué)的數(shù)形結(jié)合特點(diǎn)，如果能借助幾何畫(huà)板，培養(yǎng)高中學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想，這將有利于貫徹高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)，有助于解決目前教學(xué)困境。本文通過(guò)探討幾何畫(huà)板與高中數(shù)學(xué)內(nèi)容的融合，幾何畫(huà)板與數(shù)學(xué)課堂教學(xué)模式的整合，從而轉(zhuǎn)變數(shù)學(xué)教學(xué)方式和評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)，改變學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的困境，最終達(dá)到培養(yǎng)高中學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想的目的。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)課程 幾何畫(huà)板 數(shù)形結(jié)合思想

建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論認(rèn)為，學(xué)生是課堂的主體、真正意義上的主動(dòng)建構(gòu)者，而非被動(dòng)接受者和被灌輸?shù)膶?duì)象。換句話說(shuō)，建構(gòu)主義倡導(dǎo)者布魯納認(rèn)為學(xué)習(xí)就是通過(guò)學(xué)生的自主探索，開(kāi)展信息加工活動(dòng)，自己主動(dòng)形成知識(shí)結(jié)構(gòu)的過(guò)程。而幾何畫(huà)板既能以“畫(huà)板”的角色，構(gòu)造各種幾何圖形，展現(xiàn)數(shù)學(xué)圖形之美，發(fā)現(xiàn)事物內(nèi)在之規(guī)律，又能提供度量運(yùn)算功能，解決數(shù)學(xué)中代數(shù)統(tǒng)計(jì)問(wèn)題。這樣幾何畫(huà)板與數(shù)學(xué)內(nèi)容的融合，學(xué)生可以利用幾何畫(huà)板的強(qiáng)大功能，自主探究，形成對(duì)客觀事物的認(rèn)識(shí)和解決實(shí)際問(wèn)題的方案，作出的新“發(fā)現(xiàn)”，獲得新的“領(lǐng)悟”，從而達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想的目的。

一、在代數(shù)教與學(xué)中，利用幾何畫(huà)板培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想

函數(shù)是高中代數(shù)學(xué)習(xí)的重點(diǎn)，可以說(shuō)函數(shù)思想滲透在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的每一個(gè)領(lǐng)域，而數(shù)形結(jié)合思想在函數(shù)的教學(xué)學(xué)習(xí)中體現(xiàn)的淋漓盡致。在有關(guān)函數(shù)的傳統(tǒng)教學(xué)中多以教師手工在黑板上或紙上畫(huà)圖，但手工畫(huà)圖有不精確、速度慢的不足，利用幾何畫(huà)板快速作出圖像，并可保持設(shè)定的幾何關(guān)系，以繪圖，軌跡，追蹤及顯示等功能可以避免上述現(xiàn)象的發(fā)生，大大提高課堂效率，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想。比如在函數(shù)奇偶性教學(xué)中，我們利用幾何畫(huà)板作出幾個(gè)特殊函數(shù)的圖象，學(xué)生觀察圖象，對(duì)函數(shù)奇偶性有個(gè)感性的認(rèn)識(shí)，然后制作有關(guān)圖像上點(diǎn)坐標(biāo)的表格，探究點(diǎn)的坐標(biāo)滿足的數(shù)量變化規(guī)律。還可以啟用幾何畫(huà)板的運(yùn)算功能，驗(yàn)證發(fā)現(xiàn)的數(shù)量規(guī)律。利用幾何畫(huà)板工具創(chuàng)設(shè)如下的教學(xué)情境，會(huì)使數(shù)與形的結(jié)合表現(xiàn)得更加自然。

二、在空間立體幾何的教與學(xué)中，利用幾何畫(huà)板培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想

學(xué)習(xí)立體幾何必須具備空間想象能力，也就是從平面二維空間向立體三維空間的思維發(fā)展過(guò)程，這對(duì)初學(xué)者來(lái)說(shuō)是一個(gè)難題。由于幾何畫(huà)板畫(huà)出的圖形，某些元素可以適當(dāng)移動(dòng)，但還保持設(shè)定的關(guān)系，一個(gè)“活”的立體圖形展現(xiàn)在眼前，可以幫助初學(xué)者較快掌握這種能力。

例如，在講解旋轉(zhuǎn)體圓柱、圓錐、圓臺(tái)的概念時(shí)，不妨利用幾何畫(huà)板的旋轉(zhuǎn)功能，制作平面圖形矩形繞一邊旋轉(zhuǎn)一周、直角三角形繞一直角邊旋轉(zhuǎn)一周、直角梯形繞直角腰旋轉(zhuǎn)一周，形成空間封閉幾何體，然后利用幾何畫(huà)板動(dòng)態(tài)演示功能，發(fā)現(xiàn)平面圖形與幾何體的關(guān)系，為后續(xù)研究幾何體打下基礎(chǔ)。這樣使學(xué)生在圖形的變化中形象的認(rèn)識(shí)幾何體，學(xué)習(xí)新概念，極大的提高學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性，積極性。

三、在概率統(tǒng)計(jì)的教與學(xué)中，利用幾何畫(huà)板培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想

從確定性關(guān)系的學(xué)習(xí)研究，延伸到不確定性學(xué)習(xí)研究中，學(xué)生需要有思維轉(zhuǎn)變，也要有學(xué)習(xí)方法的改變。在概率統(tǒng)計(jì)教學(xué)中，大綱要求學(xué)生具備這種不確定性的數(shù)學(xué)思維，通過(guò)不確定性問(wèn)題研究，找到確定性關(guān)系，從而解決當(dāng)前問(wèn)題。傳統(tǒng)教學(xué)工具缺少對(duì)大量有效數(shù)據(jù)進(jìn)行篩選、統(tǒng)計(jì)、分析、歸納、擬合、驗(yàn)證。而幾何畫(huà)板正好有相關(guān)數(shù)據(jù)處理功能，學(xué)生在幾何畫(huà)板課件的幫助下就能更好地促進(jìn)理解這些概念，無(wú)形中滲透了數(shù)形結(jié)合思想。

課本出示學(xué)生非常熟悉的擲硬幣的實(shí)例，學(xué)生可以分組動(dòng)手實(shí)驗(yàn)，并隨時(shí)記錄結(jié)果，教師引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)隨機(jī)事件發(fā)生的隨機(jī)性和發(fā)生過(guò)程中的規(guī)律性。實(shí)驗(yàn)要求：首先要求實(shí)驗(yàn)結(jié)果的隨機(jī)性；其次要求實(shí)驗(yàn)的次數(shù)，次數(shù)越多，頻率越趨于穩(wěn)定。但是學(xué)生實(shí)際操作中，受各種因素的影響，誤差很大，加上時(shí)間有限，實(shí)驗(yàn)次數(shù)少，得到的數(shù)據(jù)有偏差，得到的結(jié)論往往是理論化的。為了得到更清晰，更有說(shuō)服力的數(shù)據(jù)，教師可以制作幾何畫(huà)板課件，點(diǎn)擊投擲按鈕，模擬擲硬幣實(shí)驗(yàn)，圖中表格顯示出頻率的變化。這樣的教學(xué)設(shè)計(jì)，學(xué)生當(dāng)堂親自演示，達(dá)到大家一直的共識(shí)，進(jìn)而完成教學(xué)目標(biāo)。

四、在解析幾何教與學(xué)中，利用幾何畫(huà)板培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想

17世紀(jì)，解析幾何的出現(xiàn)，標(biāo)志著代數(shù)與幾何完美結(jié)合，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的重要數(shù)學(xué)思想。人教版選修2-1中《圓錐曲線與方程》這章內(nèi)容是解析幾何的重點(diǎn)，要求必須掌握?qǐng)A錐曲線的基本幾何性質(zhì)，可見(jiàn)也是高考的必考內(nèi)容。加之學(xué)生學(xué)習(xí)起來(lái)也比較抽象，所以我們可以利用幾何畫(huà)板制作課件，調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)圓錐曲線的積極性，很有必要。在介紹本章內(nèi)容時(shí)，首先展示同頂點(diǎn)的兩個(gè)圓錐模型，然后從用一個(gè)平面去截圓錐面談起。老師可以向?qū)W生提問(wèn)：用一個(gè)垂直于圓錐的軸的平面截圓錐，在兩圓錐表面截得的截口曲線（截面與圓錐側(cè)面的交線）是什么圖形？根據(jù)模型特點(diǎn)，學(xué)生很快回答到：圓。接下來(lái)老師又問(wèn)：改變平面與圓錐軸線的夾角，那么截口曲線又是什么呢？這時(shí)候?qū)W生相互討論，有的學(xué)生在紙上比劃起來(lái)，大家的答案不盡相同。最后老師展示課前早已做好的幾何畫(huà)板課件，課件中的截面是由三點(diǎn)確定，允許學(xué)生拖動(dòng)其中任何一點(diǎn)做實(shí)驗(yàn)，就可以改變平面的位置，導(dǎo)致截面與圓錐面的交線的變化。

總之，幾何畫(huà)板課件與高中數(shù)學(xué)內(nèi)容的整合，使得高中數(shù)學(xué)中復(fù)雜的、抽象的、多維的、不確定的問(wèn)題，以形象直觀，可操作，可演示的，可探究等簡(jiǎn)潔的形式呈現(xiàn)出來(lái)，幫助學(xué)生理解和證明，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想。

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