精心預(yù)設(shè)“一題一課”，同類再練反饋效果*
——以2018年泰州卷壓軸題教學(xué)為例

☉江蘇省泰州市姜堰區(qū)實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué) 許小燕

每年各地新中考試卷出來(lái)之后，熱衷于解題研究（主要是解法研究）的同行很多，然而針對(duì)一些典型考題開(kāi)展解題教學(xué)設(shè)計(jì)研究相對(duì)較少.本著解題教學(xué)研究的興趣，本文以2018年江蘇省泰州卷第26題為例，給出解題教學(xué)設(shè)計(jì)，并跟進(jìn)教學(xué)思考，供研討.

一、壓軸題解題教學(xué)設(shè)計(jì)

教學(xué)環(huán)節(jié)（一） 基礎(chǔ)熱身

例1平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A在曲線y＝（x＞10）上.點(diǎn)A′與點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)O對(duì)稱，直線y2＝mx＋n經(jīng)過(guò)點(diǎn)A′，且與曲線y1＝（x＞0）交于點(diǎn)B（4，2）.

（1）若點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為2，求函數(shù)y1、y2的解析式；

（2）在（1）的條件下，分析使y1＞y2＞0成立的x的范圍；

（3）當(dāng)m＝1時(shí)，求點(diǎn)A的坐標(biāo)；

（4）在（3）的條件下，求△A′AB的面積.

圖1

圖2

教學(xué)組織：這一組問(wèn)題不難.前兩問(wèn)訓(xùn)練學(xué)生辨別兩種函數(shù)圖像及其交點(diǎn)的位置，從點(diǎn)B（4，2）出發(fā)，可求出曲線y1＝（x＞0）的解析式，再結(jié)合“點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為2”得出點(diǎn)A的坐標(biāo)，于是聯(lián)立A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)可得y2的解析式.第（3）和（4）問(wèn)則是逆過(guò)來(lái)，從m＝1出發(fā)，先求出y2的解析式y(tǒng)＝x-2，再設(shè)A′點(diǎn)的坐標(biāo)為 （-a ， -），代入y＝x-2，2求出a＝2.于是A（2，4），進(jìn)而可求出△A′AB的面積.教學(xué)時(shí)可追問(wèn)學(xué)生有哪些不同方法求出該三角形的面積，一方面可引導(dǎo)學(xué)生注意不同方法，另一方面可引出過(guò)點(diǎn)A作“分割線”的解法，如圖1，設(shè)直線y2＝x-2交x軸于點(diǎn)C（2，0），連接AC，AC恰垂直于x軸，于是把AC作為△A′AB的“分割線”，為后續(xù)教學(xué)提供鋪墊.當(dāng)然，△AA′B的面積也可轉(zhuǎn)化△OAB的面積的兩倍，然后轉(zhuǎn)化為梯形的面積解決.

教學(xué)環(huán)節(jié)（二） 拾級(jí)而上

例2 如圖2，平面直角坐標(biāo)系xOy中，橫坐標(biāo)為a的點(diǎn)A在曲線y1＝（x＞0）上.點(diǎn)A′與點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)O對(duì)稱，直線y2＝mx＋n經(jīng)過(guò)點(diǎn)A′，交曲線y1于點(diǎn)B，設(shè)點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為3a.

（1）當(dāng)a＝2，k＝6時(shí)，求△AA′B的面積.

（2）連接OB，求△AOB的面積.（用含k的式子表示）

（3）小聰練習(xí)（1）之后，發(fā)現(xiàn)△AA′B的面積只與k的值有關(guān)，與a的取值無(wú)關(guān).你覺(jué)得小聰?shù)陌l(fā)現(xiàn)是否正確？請(qǐng)說(shuō)明理由.

（4）若△AA′B的面積為16，求k的值.

教學(xué)組織：第（1）問(wèn)是賦值求面積，屬于特值引路.第（2）和（3）問(wèn)可看成為第（4）問(wèn)預(yù)設(shè)的鋪墊式問(wèn)題，學(xué)生在兩個(gè)鋪墊問(wèn)題的引導(dǎo)下，應(yīng)該可自主貫通思路.教學(xué)時(shí)注意追問(wèn)學(xué)生的思路，并適當(dāng)安排學(xué)生上臺(tái)結(jié)合圖形講解、演算，在關(guān)鍵步驟進(jìn)行標(biāo)注、提醒，并再次要求至少兩個(gè)學(xué)生把思路復(fù)述一遍（即在重點(diǎn)和難點(diǎn)處安排學(xué)生“請(qǐng)你再講一遍”）.

教學(xué)環(huán)節(jié)（三） 挑戰(zhàn)難題

例3如圖3，平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A在曲線y1＝（x＞0）上，點(diǎn)A′與點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)O對(duì)稱，直線y＝x＋n經(jīng)過(guò)點(diǎn)A′. 過(guò)點(diǎn)A作2AD⊥x軸，與直線y2相交于點(diǎn)D，以AD為一邊向右側(cè)作正方形ADEF.小明經(jīng)過(guò)運(yùn)算發(fā)現(xiàn)直線y2與正方形ADEF的邊EF的交點(diǎn)P恰在曲線y1上.請(qǐng)判斷小明的發(fā)現(xiàn)是否正確，并說(shuō)明理由.

圖3

教學(xué)組織：考慮到這一問(wèn)比較有難度，可以預(yù)設(shè)如下一些鋪墊式問(wèn)題.

鋪墊問(wèn)題1：設(shè)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為a，用含a、k的式子表示n；

鋪墊問(wèn)題2：求正方形ADEF的邊長(zhǎng)；（用含a、k的式子表示）

鋪墊問(wèn)題3：寫(xiě)出點(diǎn)E的橫坐標(biāo)；（用含a、k的式子表示）

鋪墊問(wèn)題4：寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo).（用含a、k的式子表示）

至此，學(xué)生只要把點(diǎn)P的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)相乘就能確認(rèn)，點(diǎn)P恰落在曲線y1＝（x＞0）上.

教學(xué)環(huán)節(jié)（四） 同類鏈接

例4 （2018年江蘇南通中考卷，第18題）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知A（2t，0）、B（0，-2t）、C（2t，4t）三點(diǎn)，其中t＞0，函數(shù)y＝的圖像分別與線段BC、AC交于點(diǎn)P、Q，若S△PAB-S△PQB＝t，則t的值為_(kāi)__________.

圖4

預(yù)設(shè)講評(píng)：由題意畫(huà)出示意圖（如圖4）.

設(shè)PA、BQ交于點(diǎn)F.

借助B（0，-2t）、C（2t，4t），求出直線BC的解析式為：y＝3x-2t.

二、教學(xué)思考

1.重視地區(qū)壓軸題研究，精心預(yù)設(shè)解題教學(xué)

我們知道，當(dāng)前很多地級(jí)市中考命題都帶有濃濃的地區(qū)特色、且不論這種風(fēng)格的好壞，對(duì)于該地區(qū)廣大備考師生來(lái)說(shuō)，務(wù)必做好的就是積極應(yīng)對(duì)、復(fù)習(xí)備考.在研究本地區(qū)中考?jí)狠S題時(shí)，不只是局限于近兩年的壓軸題的題型研究，更重要的是深入“題”中，挖掘題中內(nèi)涵，如該題的知識(shí)點(diǎn)涉及哪些？求解該題的關(guān)鍵是什么？體現(xiàn)了怎樣的命題意圖？近年來(lái)，哪些題涉及過(guò)類似的問(wèn)題結(jié)構(gòu)？等等.想清楚這些，為進(jìn)一步預(yù)設(shè)解題教學(xué)提供了幫助.因?yàn)樵陬A(yù)設(shè)解題教學(xué)時(shí)，立足“一題一課”就需要將壓軸題充分展開(kāi)，由淺入深，層層遞進(jìn)，讓更多學(xué)生的數(shù)學(xué)思維卷入到課堂進(jìn)程中.

2.利用鋪墊式問(wèn)題引導(dǎo)，驅(qū)動(dòng)學(xué)生自主獲解

具體預(yù)設(shè)解題教學(xué)時(shí)，對(duì)于簡(jiǎn)單問(wèn)題可以適當(dāng)包裝、變換問(wèn)題呈現(xiàn)方式，正反設(shè)問(wèn)、互逆問(wèn)題，在這些簡(jiǎn)單問(wèn)題的展開(kāi)訓(xùn)練過(guò)程中，讓學(xué)生對(duì)問(wèn)題的背景、平臺(tái)有了豐富的認(rèn)識(shí)，接著拾級(jí)而上，成果擴(kuò)大，研究稍有挑戰(zhàn)的問(wèn)題，像上文課例中，讓學(xué)生想清三角形面積與反比例函數(shù)中的常數(shù)k之間的關(guān)系；最后挑戰(zhàn)較難題時(shí)，我們也預(yù)設(shè)了幾個(gè)鋪墊式問(wèn)題，順著這些問(wèn)題的引領(lǐng)，學(xué)生也就可以自主獲得思路，也就追求了“潤(rùn)物細(xì)無(wú)聲”的教學(xué)引導(dǎo)藝術(shù).

3.加強(qiáng)同類題鏈接再練，有效反饋教學(xué)效果

在考題講評(píng)之后，一方面，可以讓學(xué)生回顧反思解題的全過(guò)程，想清主要難點(diǎn)、障礙點(diǎn)，關(guān)鍵步驟有哪些，加深對(duì)問(wèn)題的理解；另一方面，老師在備課時(shí)還要善于檢索同類考題，將其鏈接到課堂最后環(huán)節(jié)，或者作為課外作業(yè)布置給學(xué)生跟進(jìn)訓(xùn)練.我們?cè)谏厦嬲n例中鏈接的一道南通的考題，就是一道高度相似的同類考題，都需要學(xué)生具備含參數(shù)的運(yùn)算基本功，并且對(duì)參數(shù)對(duì)應(yīng)著的圖形的位置關(guān)系有數(shù)形對(duì)應(yīng)的“敏感”.當(dāng)然，如果具備一定的命題基本功，還可圍繞本課講評(píng)的考題進(jìn)行一些簡(jiǎn)單的變式改編，安排學(xué)生再練也是可行的.作為本文的結(jié)束，我們針對(duì)泰州壓軸題最后一問(wèn)，也提出一個(gè)變式設(shè)問(wèn).在上文教學(xué)環(huán)節(jié)（三）中，在理解了問(wèn)題的結(jié)構(gòu)之后，可以跟進(jìn)如下變式拓展問(wèn)題：