改編題組漸次呈現(xiàn)，對(duì)話追問促進(jìn)理解
——以2018年兩道圖形翻折中考題教學(xué)為例

☉浙江省諸暨市濱江初級(jí)中學(xué) 嚴(yán)月華

近讀《中學(xué)數(shù)學(xué)（初中版）》，三位老師圍繞圖形翻折設(shè)計(jì)了中考微專題復(fù)習(xí)課（見參考文獻(xiàn)［1］～［3］），讀來很受啟發(fā)，這種主題聚焦式的復(fù)習(xí)課圍繞一個(gè)“題干”多角度設(shè)問，是一種有效的復(fù)習(xí)課型.帶著這樣的思考研究各地中考試卷時(shí)，發(fā)現(xiàn)不少地區(qū)都將翻折問題作為綜合題進(jìn)行考查.本文選擇兩道翻折變換綜合題構(gòu)思一節(jié)專題復(fù)習(xí)課，供研討.

一、圖形翻折專題復(fù)習(xí)課

本課兩道例題改編自2018年中考卷翻折題，改編成題組呈現(xiàn).

例1如圖1，將等腰直角三角形ABC對(duì)折，折痕為CD.展平后，再將點(diǎn)B折疊至邊AC上（不與A、C重合），折痕為EF，點(diǎn)B在AC上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為M.設(shè)CD與EM交于點(diǎn)P，CD與FM交于點(diǎn)O，連接PF.已知BC=4.

（1）求∠EMF的度數(shù).

（2）若點(diǎn)M為AC的中點(diǎn)，求△CMF的周長(zhǎng)和面積.

（3）在（2）的條件下，求證：PF=PM.

（4）小明發(fā)現(xiàn)：不需要（2）中的條件“點(diǎn)M為AC的中點(diǎn)”，也可證出△PFM的形狀是等腰直角三角形.請(qǐng)判斷小明的發(fā)現(xiàn)是否正確，并說明理由.

（5）隨著點(diǎn)M在AC邊上的不同位置，分析△PFM的周長(zhǎng)的取值范圍.

（6）探究FC、PC、CM三條線段之間的數(shù)量關(guān)系.

教學(xué)預(yù)設(shè)：前兩問不難解決，主要是第（3）問，學(xué)生可以從兩個(gè)角度進(jìn)行突破.第一個(gè)角度著眼于相似，先證△POM △FOC，得出比例式，結(jié)合對(duì)頂角∠POF=∠MOC，可得△POF △MOC，于是∠PFO=∠PCM=45°，于是△PFM為等腰直角三角形.第二個(gè)角度是，識(shí)別點(diǎn)P、M、C、F共圓，從而根據(jù)圓周角性質(zhì)可得∠PFM=∠PCM=45°，∠PMF=∠PCF=45°，問題獲證.而這兩種證法都沒有用到條件“點(diǎn)M為AC的中點(diǎn)”，相應(yīng)的第（4）問“小明發(fā)現(xiàn)”是正確的.

第（5）問需要考慮點(diǎn)M在邊AC的兩個(gè)端點(diǎn)“臨界”情況.當(dāng)M與C重合時(shí)（注意：根據(jù)題干要求，它們是不可能重合的，這只是討論的“臨界”情況），F(xiàn)為BC的中點(diǎn)，CF=BC=2，PM=PF=，此時(shí)△PFM的周長(zhǎng)為2+2；當(dāng)M與A重合時(shí)，F(xiàn)與C重合，E與D重合，F(xiàn)M=AC=4，PM=PF=2，此時(shí)△PFM的周長(zhǎng)為4+4.又B不與A、C重合，所以△PFM的周長(zhǎng)的取值范圍是大于2+2且小于4+4.

第（6）問是一個(gè)經(jīng)典問題，可以有多種處理方法，比如基于“旋轉(zhuǎn)”的念頭，如圖2，作HP⊥CP交BC于點(diǎn)H，證出△PHF △PCM，于是證出△CPH為等腰直角三角形，從而CH=PC.又CH=CF+FH=CF+CM，則CF+CM=PC.

圖1

圖2

例2 有一張矩形紙片ABCD，AB=4，AD=9.

（1）如圖3，點(diǎn)E在這張矩形紙片的邊AD上，將紙片折疊，使AB落在CE所在直線上，折痕設(shè)為MN（點(diǎn)M、N分別在邊AD、BC上），利用直尺和圓規(guī)畫出折痕MN.

圖3

圖4

（2）如圖4，點(diǎn)F在這張矩形紙片的邊BC上，將紙片折疊，使FB落在射線FD上，折痕為GF，點(diǎn)A、B分別落在點(diǎn)A′、B′處.小睿發(fā)現(xiàn)，△FDG是一個(gè)等腰三角形，你覺得他的發(fā)現(xiàn)有道理嗎？請(qǐng)說明理由.

（）如圖 ，設(shè)該矩形紙片的邊 上有一點(diǎn) ，且45ADKDK=3，沿折痕HI折疊紙片，使AB落在CK所在直線上，點(diǎn)A、B分別落在點(diǎn)A′、B′處，小杰認(rèn)為連接B′D，則DB′恰為△CDK的高.他的判斷是否正確？請(qǐng)說明理由.

圖5

圖6

預(yù)設(shè)講評(píng)：（1）延長(zhǎng)CE、BA形成一個(gè)銳角，如圖6，作該銳角的角平分線交矩形的一組對(duì)邊于M、N，則M、N為所求的折痕.

（2）根據(jù)“平行遇上平分”可得出∠DGF=∠DFG，從而確認(rèn)△FDG是一個(gè)等腰三角形.

Rt△CDF中

講評(píng)之后，還可成果擴(kuò)大，追問學(xué)生：是否可求出B′D的長(zhǎng)？預(yù)設(shè)：BF=BC-CF=9-=. 由折疊得B′F=BF=.即B′D=DF-B′F=-=3.

（4）小杰的判斷不正確，理由如下.如圖7，連接ID.

在Rt△CDK中，KD=3，CD=4，求出CK=5.

由折疊得IB=IB′=4k.所以BC=BI+IC=4k+5k=9k=9.解得k=1.說明△CDK △IB′C，則IC=5，IB′=4，B′C=3.把目光轉(zhuǎn)向Rt△ICB′中，tan∠B′IC=

圖7

二、解題教學(xué)的三點(diǎn)思考

1.深刻理解考題考查意圖，恰當(dāng)改編預(yù)設(shè)題組漸次呈現(xiàn)

教師解題時(shí)不能滿足于思路貫通、答案獲取，也不只是簡(jiǎn)單追求一題多解，而要更進(jìn)一步，達(dá)到深刻理解考題的追求.何謂深刻理解考題？應(yīng)該有如下表征：其一，不但有一題多解的探求，更有“殊途何以同歸”的結(jié)構(gòu)揭示；其二，想清辨明考題的主要難點(diǎn)與關(guān)鍵步驟；其三，站在該題在全卷的“位置”來理解命題專家設(shè)置該題的意圖，以便在解題教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)改編題組，選擇增設(shè)鋪墊問題還是繼續(xù)成果擴(kuò)大、拓展提升.順便指出，這里改編預(yù)設(shè)題組時(shí)，需要教師平時(shí)注重修煉自身的命題功夫.

2.教學(xué)時(shí)注重對(duì)話與追問，促進(jìn)學(xué)生自主獲得思路貫通

當(dāng)考題經(jīng)過課前的改編，以題組形式漸次呈現(xiàn)（所謂漸次呈現(xiàn)，就是每次出示一個(gè)小問，師生解決之后，再出示下一個(gè)，而不是整體推出所有小問）在課堂上時(shí)，教學(xué)進(jìn)程中教師需要注意對(duì)話和追問.每呈現(xiàn)一個(gè)小問后，先安排學(xué)生獨(dú)立思考，有多個(gè)學(xué)生都貫通思路之后，教師可安排他們?cè)谛〗M內(nèi)先交流講解，然后全班匯報(bào)展示，教師進(jìn)行追問和評(píng)析，這時(shí)相機(jī)引導(dǎo)或追問其他學(xué)生對(duì)解題過程中某個(gè)關(guān)鍵步驟、重要信息是如何理解的，可以看出學(xué)生是否達(dá)到了真正的理解.

3.關(guān)鍵步驟不宜輕輕滑過，讓學(xué)生有充足時(shí)間消化和理解

數(shù)學(xué)較難習(xí)題求解的障礙往往出現(xiàn)在起點(diǎn)不清、方向不明，這時(shí)教師根據(jù)課前對(duì)考題的深刻理解，出示一些鋪墊式問題，可以幫助學(xué)生攻克難點(diǎn).而在關(guān)鍵步驟的講評(píng)過程中，也不宜輕輕滑過，忌用“顯然”“易得”這類“一帶而過”的教學(xué)用語，根據(jù)教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生往往沒聽懂、還不理解的原因多是教師在講評(píng)過程中（或一些網(wǎng)傳解答）出現(xiàn)的一些“顯然”“易得”之處.為了把關(guān)鍵步驟如何得到，怎樣自然而然地捕獲解題念頭講清楚，可以安排一些優(yōu)秀學(xué)生介紹他們的經(jīng)驗(yàn)，讓學(xué)生啟發(fā)學(xué)生，讓不同的學(xué)生表達(dá)不同的思考，一方面，可看到這些問題的處理視角或著眼點(diǎn)，另一方面，拉長(zhǎng)思考過程，也為學(xué)生贏得充足的時(shí)間消化和理解.