函數(shù)應(yīng)用題解題策略的探討分析

☉江蘇省蘇州市蘇州工業(yè)園區(qū)星澄學(xué)校 呂 琴

應(yīng)用一次函數(shù)的相關(guān)知識(shí)解決實(shí)際問題是中考的考查要求，函數(shù)應(yīng)用題也成為近幾年中考的熱點(diǎn)問題.該類問題的求解需要明確考題立意，結(jié)合相應(yīng)的基礎(chǔ)知識(shí)，從聯(lián)系性角度加以解決.本文將以一道一次函數(shù)應(yīng)用題為例探討解題策略，并進(jìn)行考題拓展，與讀者交流學(xué)習(xí).

一、試題呈現(xiàn)

（2018年江蘇省蘇州市中考數(shù)學(xué)第28題）如圖1，直線l表示一條東西走向的筆直公路，四邊形ABCD是一塊邊長為100米的正方形草地，點(diǎn)A、D在直線l上，小明從點(diǎn)A出發(fā)，沿公路l向西走了若干米后到達(dá)點(diǎn)E處，然后轉(zhuǎn)身沿射線EB方向走到點(diǎn)F處，接著又改變方向沿射線FC方向走到公路l上的點(diǎn)G處，最后沿公路l回到點(diǎn)A處.設(shè)AE=x米（其中x＞0），GA=y米，已知y與x之間的函數(shù)關(guān)系如圖2所示.

（1）求圖2中線段MN所在直線的函數(shù)表達(dá)式.

（2）試問：小明從起點(diǎn)A出發(fā)直至最后回到點(diǎn)A處，所走過的路徑（即△EFG）是否可以是一個(gè)等腰三角形？如果可以，求出相應(yīng)x的值；如果不可以，請(qǐng)說明理由.

圖1

圖2

二、策略探析

函數(shù)應(yīng)用題與常規(guī)函數(shù)題相比最為突出的特點(diǎn)是重在應(yīng)用，與生活實(shí)際結(jié)合緊密，該類問題的求解需要采用相應(yīng)的解題策略，可分以下三步進(jìn)行：

第一步：明確考題的考查立意

明確考題立意是求解函數(shù)應(yīng)用題的前提條件，即通過讀題反復(fù)推敲考題的問題條件，從中提取出關(guān)鍵信息，理解命題的立意.只有理解了立意，才能把握問題求解的方向，進(jìn)而采用相應(yīng)的解題思路，提高解題效率.另外，在讀題時(shí)需要把握考題的性質(zhì)，如確定涉及的圖形、函數(shù)類型，以及問題的基本形式.

如上述考題涉及了兩幅圖，圖1是基本的幾何圖形，表示小明的運(yùn)動(dòng)軌跡，圖2是一次函數(shù)圖像，表示公路l上相關(guān)距離的對(duì)應(yīng)值，即AE與GA的關(guān)系，用以確定點(diǎn)A的具體位置，對(duì)應(yīng)的兩個(gè)問題分別考查函數(shù)和幾何相關(guān)知識(shí).

（1）本小題求函數(shù)的解析式，實(shí)際上考查的是函數(shù)圖像上點(diǎn)的讀取，以及圖像與函數(shù)的解析式的關(guān)系，需要我們掌握?qǐng)D像上點(diǎn)的坐標(biāo)到解析式的求解過程，即利用點(diǎn)的坐標(biāo)求解析式的特征參數(shù).

（2）本小題分析小明所走路線是否可以構(gòu)成等腰三角形，從等腰三角形的判定條件出發(fā)，可以獲得兩種思路：一是存在等角，二是存在等邊.考慮到問題中只出現(xiàn)了路徑、長度條件，因此需要研究邊長來完成求解，實(shí)際上就是考查等腰三角形的特性.

第二步：重視考題的基礎(chǔ)知識(shí)

函數(shù)應(yīng)用題一般是相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)的綜合，如幾何圖形、函數(shù)圖像、代數(shù)方程、基本不等式等，其中最關(guān)鍵的還是函數(shù)知識(shí)，理解函數(shù)的基本性質(zhì)和應(yīng)用條件是求解函數(shù)應(yīng)用題的基礎(chǔ).需要注意的是，函數(shù)應(yīng)用題是在基礎(chǔ)知識(shí)上的整合、拓展，因此只有充分掌握相應(yīng)的基礎(chǔ)知識(shí)，才能實(shí)現(xiàn)函數(shù)應(yīng)用題的快速求解，其中包括函數(shù)性質(zhì)、數(shù)學(xué)模型、研究方法.

對(duì)于上述考題，需要基于考題立意，根據(jù)問題條件思考、調(diào)用基礎(chǔ)知識(shí)，如第（1）問求解的是一次函數(shù)的解析式，需確定函數(shù)解析式中的k和b，已知函數(shù)上的關(guān)鍵點(diǎn)，由函數(shù)圖像性質(zhì)可知圖像上的點(diǎn)滿足函數(shù)的解析式，故只需要將點(diǎn)的坐標(biāo)代入解析式即可，使用的方法是待定系數(shù)法，具體過程如下：

由圖像可知點(diǎn)M和N的坐標(biāo)分別為（30，230）、（100，300），設(shè)線段MN所在直線的解析式為y=kx+b，將點(diǎn)M和N的坐標(biāo)分別代入，得所以MN所在直線的函數(shù)表達(dá)式為y=x+200.

而對(duì)于問題（2），求x為何值時(shí)△EFG為等腰三角形，需要分析三角形內(nèi)存在的等邊關(guān)系，然后確定x的值，考慮到題干信息沒有對(duì)△EFG的等邊進(jìn)行約束，因此需要采用分類討論的方式，分別討論FE=FG、FG=EG、EG=FE時(shí)的情形，分析其合理性，其中涉及的基礎(chǔ)知識(shí)有幾何性質(zhì)、解方程等.

第三步：加強(qiáng)考題的知識(shí)關(guān)聯(lián)

函數(shù)應(yīng)用題實(shí)際上也是綜合問題的代表，涵蓋了多領(lǐng)域的知識(shí)，如上述考題涉及了幾何與函數(shù)知識(shí)，而兩者之間存在著緊密的聯(lián)系，求解時(shí)需要準(zhǔn)確把握知識(shí)的聯(lián)系性，構(gòu)建相應(yīng)的解題思路.另外，對(duì)知識(shí)的整合過程，也有利于知識(shí)的進(jìn)一步內(nèi)化和吸收，有利于形成系統(tǒng)的知識(shí)體系.

如上述考題的第（2）問，求解△EFG為等腰三角形時(shí)x的取值，結(jié)合之前的分類情形加以討論：

圖3

①分析FE=FG成立的可能性.結(jié)合一次函數(shù)的解析式y(tǒng)=x+200，AE=x，GA=x+200，連接CE，如圖3所示，由于AD=100，可得ED=GD=x+100.又因CD⊥EG，則△CEG是以點(diǎn)C為頂點(diǎn)的等腰三角形，即CE=CG.根據(jù)等角對(duì)等邊的性質(zhì)，可得∠CEG=∠CGE，則∠FEG≠∠FGE，故FE=FG不可能成立.

②分析FG=EG成立的可能性.四邊形ABCD為正方形，則BC∥EG.根據(jù)平行線的性質(zhì)，可得∠FBC=∠FEG，∠FCB=∠FGE，則△FBC △FEG.首先假設(shè)FG=EG.由三角形相似的性質(zhì)，可推得FC=BC=100.因?yàn)锳E=x，結(jié)合一次函數(shù)的解析式，可得GA=x+200，則DG=GA-AD=x+100，F(xiàn)G=EG=EA+AG=2x+200，則CG=FG-CF=2x+100.在Rt△CDG中，根據(jù)勾股定理，得CD2+DG2=CG2，可構(gòu)建關(guān)于x的方程，即1002+（x+100）2=（2x+100）2，解得x1=-100（該值為負(fù)值，舍去），x=，所以當(dāng)x等于時(shí)，有2FG=EG，此時(shí)△EFG為等腰三角形.

③分析EG=FE成立的可能性.分析思路同②，根據(jù)正方形的性質(zhì)可以證明△FBC △FEG.假設(shè)EG=FE.同理可得BE=EF-FB=2x+100.在Rt△ABE中，根據(jù)勾股定理，得AB2+AE2=EB2，代入對(duì)應(yīng)邊長構(gòu)建方程，即1002+x2=（2x+100）2，解得x1=0（點(diǎn)A和點(diǎn)E不能重合，故舍去），x=-（該值為負(fù)值，舍去），即沒有滿足條件的x2值，故不存在EG=FE成立的可能性.

三、拓展考題

上述考題是與平面幾何相結(jié)合的一次函數(shù)應(yīng)用題，屬于運(yùn)動(dòng)問題，中考對(duì)于一次函數(shù)應(yīng)用的考查也常從方案設(shè)計(jì)的角度進(jìn)行，即給出相關(guān)一次函數(shù)的圖像，通過對(duì)圖像的分析確定問題解決的方案，求解時(shí)需要采用代數(shù)分析的方式，通過列方程、不等式轉(zhuǎn)化變形等方式求解.

考題：某果園為了更新樹種，準(zhǔn)備購買A和B兩個(gè)品種進(jìn)行育苗配栽，如果購買兩種樹苗的總數(shù)為45棵，A種樹苗為7元一棵，圖4為B種樹苗購買所需的費(fèi)用y（元）與數(shù)量x（棵）之間的函數(shù)關(guān)系圖.

（1）試求y與x的函數(shù)解析式.

（2）如果要求購買B種樹苗的數(shù)量不能超過25棵，且不少于A種樹苗，試設(shè)計(jì)購買方案，要求所用的費(fèi)用最低，并求出最低費(fèi)用.

圖4

分析：本題同樣為一次函數(shù)應(yīng)用題，與第一道考題的區(qū)別在于該題目為方案設(shè)計(jì)類，需要根據(jù)一次函數(shù)的解析式設(shè)計(jì)出最優(yōu)方案，考查內(nèi)容涉及一次函數(shù)的性質(zhì)和不等式等知識(shí).第（1）問為常規(guī)的函數(shù)表達(dá)式求解，采用待定系數(shù)法即可.對(duì)于第（2）問，則需要根據(jù)題干條件構(gòu)建不等式組，然后構(gòu)建研究總費(fèi)用的函數(shù)模型，最后結(jié)合一次函數(shù)的性質(zhì)求解.

解：（1）設(shè)y與x的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b，取圖像上的兩個(gè)點(diǎn)（20，160）、（40，288），將其代入解析式，可得

（2）根據(jù)條件“購買B種樹苗的數(shù)量不能超過25棵，且不少于A種樹苗”，可得不等式組22.5≤x≤25.設(shè)購買樹苗的總費(fèi)用為F，則F=6.4x+32+7（45-x）=-0.6x+347.F是關(guān)于x的函數(shù)，其斜率為負(fù)數(shù)，則F的值隨著x的增大而減小，故x在取值范圍內(nèi)取得最大值時(shí)，F(xiàn)獲得最小值，即購買樹苗的費(fèi)用最低.當(dāng)x=25時(shí)，F(xiàn)取得最小值332，即最低費(fèi)用為332元.

四、歸納與總結(jié)

一次函數(shù)應(yīng)用題涉及眾多的知識(shí)點(diǎn)，如一元一次方程、二元一次方程組、一元一次不等式及平面幾何知識(shí)等，但問題求解的基礎(chǔ)依然是對(duì)一次函數(shù)相關(guān)內(nèi)容的理解，包括定義、解析式、性質(zhì)、圖像等，對(duì)其進(jìn)行總結(jié)歸納，對(duì)于解題策略的形成有著重要的意義.

1.特征參數(shù)

一次函數(shù)的表達(dá)式含有兩個(gè)特征參數(shù)：k和b，因此對(duì)于某一未知的一次函數(shù)，取兩個(gè)滿足該函數(shù)解析式的點(diǎn)的坐標(biāo)，采用待定系數(shù)法構(gòu)建二元一次方程組即可確定其解析式.其中特征參數(shù)k表示的是函數(shù)的斜率，而參數(shù)b表示函數(shù)在x軸上的截距.

2.圖像與性質(zhì)

對(duì)于一次函數(shù)函數(shù)y=kx+b，其特征參數(shù)k決定了函數(shù)的增減性，而參數(shù)k和b則直接控制函數(shù)在平面坐標(biāo)系中的分布，因此在分析函數(shù)性質(zhì)及象限分布時(shí)，只需確定特征參數(shù)的符號(hào).另外，對(duì)于斜率k，其絕對(duì)值越大，表示y隨x的變化越快，則圖像的斜度越大.

一次函數(shù)應(yīng)用題作為衡量學(xué)生知識(shí)應(yīng)用能力的一項(xiàng)指標(biāo)，是對(duì)“知識(shí)源于生活，又服務(wù)于生活”理念的體現(xiàn)，考題中涉及眾多的知識(shí)點(diǎn)，對(duì)于學(xué)生鞏固基礎(chǔ)知識(shí)，加強(qiáng)知識(shí)聯(lián)系，有著極大的幫助.另外，一次函數(shù)應(yīng)用題的解題過程是“實(shí)際問題”向“數(shù)學(xué)模型”抽象的過程，滲透于考題中的數(shù)學(xué)思想可以在潛移默化中提升學(xué)生的解題思維，促進(jìn)學(xué)生解題策略的形成，學(xué)習(xí)和掌握該類問題對(duì)于學(xué)生綜合素養(yǎng)的提升有著重要意義.