一道中考壓軸題的來龍去脈

☉江蘇省南通市通州區(qū)平潮實(shí)驗(yàn)初中 叢遠(yuǎn)林

一、題目來源

題目：（2018年江蘇·南通卷第28題第（3）問）【定義】如圖1，A、B為直線l同側(cè)的兩點(diǎn)，過點(diǎn)A作點(diǎn)A關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)A′，連接A′B交直線l于點(diǎn)P，連接AP，則稱點(diǎn)P為點(diǎn)A、B關(guān)于直線l的“等角點(diǎn)”.

圖1

圖2

題目中的新定義來源于人教版八年級上冊“13.4課題學(xué)習(xí) 最短路徑問題”問題1的解答，由于∠APM=∠BPH，給出了“等角點(diǎn)”的新定義.

將等邊三角形外接圓中一個(gè)簡單結(jié)論放到新定義背景下.作等邊三角形ABC的外接圓O′（如圖3），點(diǎn)P在弧ACB上（不與點(diǎn)A、B重合）.當(dāng)點(diǎn)P不與點(diǎn)C重合時(shí)，作直線CP，發(fā)現(xiàn)始終有∠APC=∠BPD，所以在等角點(diǎn)新定義背景下，圖3中任何一條直線CP，點(diǎn)P就成了點(diǎn)A、B關(guān)于直線CP的等角點(diǎn)，也就是說任何一條直線CP，都成為定義中的直線l.當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí)，過點(diǎn)C作圓的切線，點(diǎn)C是點(diǎn)A、B關(guān)于這條切線的等角點(diǎn)，這條切線是定義中的直線l.圖3中定義中的直線l都過點(diǎn)C，圖3中直線l的臨界線是直線CA、CB.

圖3

將圖3放入平面直角坐標(biāo)系中，與一次函數(shù)結(jié)合，如圖4，直線y=ax+b都過點(diǎn)C，直線y=ax+b的臨界線是直線CA、CB.又a≠0，所以平行于x軸的直線CS不合題意，所以臨界線是直線CA、CB、CS.求出這三條直線解析式中的b，就知道了b的取值范圍.

圖4

圖5

圖6

二、題目再創(chuàng)造

1.類比

（1）當(dāng)∠APB=120°時(shí)，其他條件不變，求b的取值范圍.

分析：如圖6，作過點(diǎn)A、B的圓O′，O′在直線AB的左上方，使∠AO′B=120°，則點(diǎn)P在弧AB上（不與點(diǎn)A、B重合）.點(diǎn)C′為弧AB的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P不與點(diǎn)C′重合時(shí)，作直線C′P，則始終有∠APD=∠BPC′，點(diǎn)P都是點(diǎn)A、B關(guān)于直線C′P的等角點(diǎn).當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C′重合時(shí)，過點(diǎn)C′作圓的切線，點(diǎn)C′是點(diǎn)A、B關(guān)于這條切線的等角點(diǎn)，定義中的直線l都過點(diǎn)C′.直線y=ax+b的臨界線是直線C′A、C′B，求出這兩條直線解析式中的b，就知道了b的取值范圍.

在Rt△AOC′中，∠AOC′=90°，∠AC′O=60°，OA=.構(gòu)造Rt△C′RO Rt△OQB，求出求出直線C′A中，直線C′B中，所

∠APB換成鈍角，結(jié)論形式發(fā)生了變化.

（2）當(dāng)點(diǎn)P位于直線AB的左上方，∠APB=45°時(shí)，其他條件不變，求b的取值范圍.

分析：如圖7，作過點(diǎn)A、B的圓O′，O′在直線AB的左上方，使∠AO′B=90°，則點(diǎn)P在弧ACB上（不與點(diǎn)A、B重合）.點(diǎn)C為弧ACB的中點(diǎn)，直線y=ax+b的臨界線是直線CA、CB、CR，求出這三條直線的解析式中的b，就知道了b的取值范圍.

圖7

圖8

2.互換題設(shè)和結(jié)論

分析：作點(diǎn)A關(guān)于直線y=x-5的對稱點(diǎn)A′（如圖8）.由于AA′⊥PM，可求出直線AA′的解析式中的，從而求出直線AA′的解析式.聯(lián)立方程，求出點(diǎn)M（5，0），所以A（′8，-），求出直線A′B的解析式y(tǒng)=-，求出點(diǎn)P（4，-），用兩點(diǎn)之間距離公式求出AM、AP的長，

解Rt△AMP，求出∠APM=60°，所以∠APB=60°.

分析：α為定值，90°＜α＜180°，如圖6，直線y=ax+b的臨界線是直線C′A、C′B. 又所以直線C′A中的，直線C′B中的從而求出直線C′A、C′B的解析式.聯(lián)立方程，求出點(diǎn).解Rt△AOC′，求出∠AC′O=60°，從而α=120°.

3.拓展

等邊三角形外接圓中結(jié)論可拓展為一般情形.如圖9，點(diǎn)C是弦AB所對弧的中點(diǎn)，點(diǎn)P在弧ACB上（不與點(diǎn)A、B重合）.當(dāng)點(diǎn)P不與點(diǎn)C重合時(shí)，作直線CP，發(fā)現(xiàn)始終有∠APC=∠BPD.當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí)，過點(diǎn)C作圓的切線MN，有∠ACM=∠BCN.

圖9

圖10

分析：當(dāng)點(diǎn)P在直線AB的右下方時(shí).

如圖10，作過點(diǎn)A、B的圓O′，使∠AO′B=2α，點(diǎn)C為弦AB所對優(yōu)弧的中點(diǎn)，則點(diǎn)P在弧ACB上（不與點(diǎn)A、B重合）.當(dāng)點(diǎn)P不與點(diǎn)C重合時(shí)，作直線CP，則始終有∠APC=∠BPD，點(diǎn)P是點(diǎn)A、B關(guān)于直線CP的等角點(diǎn).當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí)，過點(diǎn)C作圓的切線，點(diǎn)C是點(diǎn)A、B關(guān)于這條切線的等角點(diǎn)，定義中的直線l都過點(diǎn)C.直線y=ax+b的臨界線是直線CA、CB、CS（如圖11），求出這三條直線的解析式中的b，就知道了b的取值范圍.

圖11

圖12

當(dāng)點(diǎn)P在直線AB的左上方時(shí).

分析：當(dāng)點(diǎn)P在直線AB的右下方時(shí).

如圖13，作過點(diǎn)A、B的圓O′，使∠AO′B=360°-2α，點(diǎn)C為弦AB所對劣弧的中點(diǎn)，則點(diǎn)P在弧ACB上（不與點(diǎn)A、B重合）.直線y=ax+b的臨界線是直線CA、CB，求出這兩條直線解析式中的b，就知道了b的取值范圍.

圖13

圖14

當(dāng)點(diǎn)P在直線AB的左上方時(shí).