模型歸一，玩轉(zhuǎn)概率

☉山東省聊城文軒中學 許 玲

2018年中考塵埃落定，各地中考試卷相繼出爐，作為一線教師，研究當?shù)亟鼛啄曛锌荚嚲淼拿}特點必為日后的教學與2019年的中考提供諸多有價值的幫助.概率作為各地中考中重要的一部分內(nèi)容，在中考中占分約8%.筆者對此類考題進行了深入研究，感悟頗深，認為通過“模型歸一”的理念可以將此類題的實質(zhì)凸顯出來、提煉出概率的本質(zhì)，通過一個模型可以解決日后中考中諸多概率考題.今年的南京中考試題中概率考題正好就是筆者一直推崇的“模型歸一”的模型，故撰文與同行交流.

一、試題類型

各地對“概率”的考查主要體現(xiàn)在兩個層面，一是通過大量重復(fù)試驗用頻率估計概率；二是從事件本身發(fā)生的可能性計算概率.

用頻率估計概率的考題通常以選擇題、填空題形式呈現(xiàn).試題呈現(xiàn)方式主要是在具體的問題情境中，利用大量反復(fù)實驗的頻率估計相應(yīng)的概率，這種考查方式檢測學生對概率的認識.

從事件本身發(fā)生的可能性計算概率的考題多以實際問題為背景，通常以解答題形式呈現(xiàn).題目在具體的問題中讓學生通過列表、畫樹狀圖等方法列出簡單隨機事件所有可能的結(jié)果，從而求得事件的概率.這樣的考題要求學生用數(shù)學的眼光看世界，并能用數(shù)學知識和方法解決周圍的實際問題，對學生理解概率的本質(zhì)有著促進作用.

二、“模型歸一”的實踐

1.模型歸一的意義

模型歸一，就是將概率問題中的眾多問題用一個容易理解的模型加以概括，將復(fù)雜的題目轉(zhuǎn)化成熟悉的、典型的模型，從而讓學生學一題會一類，使課堂高效.事實上，在概率考題中，各地中考常以“擲骰子”“摸球”“轉(zhuǎn)盤”等載體呈現(xiàn)，“摸球”對學生來說是最熟悉不過的載體，于是所有問題不妨都歸納為“摸球”，這就是模型歸一.

2.模型歸一的嘗試

筆者深入研究過南京市近幾年的中考概率試題，均以生活為背景進行考查，這也符合《義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2011年版）》特別強調(diào)數(shù)學背景的“現(xiàn)實化”，倡導學生用數(shù)學的眼光看世界，并能用數(shù)學知識和方法解決周圍的實際問題.現(xiàn)以南京市多年來“概率”考題為例，講述一下模型歸一的運用.

例1（2012年南京）甲、乙、丙、丁4名同學進行一次羽毛球單打比賽，要從中選2名同學打第一場比賽，求下列事件的概率：

（1）已確定甲打第一場，再從其余3名同學中隨機選取1名，恰好選中乙同學；

（2）隨機選取2名同學，其中有乙同學.

分析：本題的亮點是貼近生活實際，以羽毛球比賽為背景呈現(xiàn)試題，讓學生容易理解，能公平、公正地考查學生對概率本質(zhì)的理解.

該題可以借助模型歸一的思想加以改編：

一只不透明的盒子中裝有顏色分別為紅、黃、藍、白的球各1個，這些球除顏色外都相同.

（1）從盒子中隨機摸出2個球，已知1個球是紅球，則另1個求球恰好是黃球的概率是多少？

考慮實際噪聲情況，在仿真回波數(shù)據(jù)上疊加高斯白噪聲分別使其信噪比SNR=0，10 dB，目標運動速度從0 m/s線性遞增至300 m/s，F(xiàn)FT點數(shù)為512，采用互相關(guān)FFT法進行速度粗估計，Matlab仿真結(jié)果如圖1所示。信噪比為10 dB時，測速誤差基本維持在3 m/s以下，僅能滿足二次相位的速度補償誤差。但當信噪比降為0 dB，速度估計值出現(xiàn)較大不規(guī)則波動，單獨使用互相關(guān)FFT法已無法滿足精度要求。因此，通常仍需在所得速度粗估計基礎(chǔ)上進行速度精確補償。另外，速度估計誤差包絡(luò)大致呈三角狀，主要由FFT的柵欄效應(yīng)所導致，該問題可以用Rife相關(guān)算法來得到優(yōu)化[8]。

（2）從盒子中隨機摸出2個球，其中有黃球的概率是多少？

例2（2014年南京）從甲、乙、丙3名同學中隨機抽取環(huán)保志愿者.求下列事件的概率：

（1）抽取1名，恰好是甲；

（2）抽取2名，甲在其中.

分析：本題與2011年的考題類似，2011年的考題是選拔青奧會志愿者，此題是選拔環(huán)保志愿者，此題不僅考查學生運用概率知識，而且滲透筆者提倡的模型歸一的考法，異曲同工.

該題可以借助模型歸一的思想加以改編：

在一個不透明的盒子里共有3個球，1個紅球，1個黃球，1個白球，它們除顏色外均相同.

（1）從盒子中隨機摸出1個球，恰好是白球的概率是多少？

例3（2016年南京）某景區(qū)7月1日—7月7日一周天氣預(yù)報如下.小麗打算選擇這期間的1天或2天去該景區(qū)旅游.求下列事件的概率：

圖1

（1）隨機選擇1天，恰好天氣預(yù)報是晴；

（2）隨機選擇連續(xù)的2天，恰好天氣預(yù)報都是晴.

分析：本題的亮點就是新穎，與前幾年的考題有明顯的區(qū)別，此題的模型是連續(xù)的，若學生不能發(fā)現(xiàn)，則容易做錯.

該題可以借助模型歸一的思想加以改編：

在一個不透明的長形盒子里排列著7個球，它們除顏色外均相同，7個球的顏色分別為“紅紅黃綠紅紅綠”.

（1）從長形盒子中隨機取出1個球，該球是紅球的概率是多少？

（2）從長形盒子中隨機取出連續(xù)的2個球，均為紅球的概率是多少？

例4（2018年南京）甲口袋中有2個白球、1個紅球，乙口袋中有1個白球、1個紅球，這些球除顏色外無其他差別，分別從每個口袋中隨機摸出1個球.

（1）求摸出的2個球都是白球的概率.

（2）下列事件中，概率最大的是（ ）.

A.摸出的2個球顏色相同

B.摸出的2個球顏色不相同

C.摸出的2個球中至少有1個紅球

D.摸出的2個球中至少有1個白球

分析：本題正好就是模型歸一中的摸球模型，本題的亮點是第（2）問，與前幾年的考題有明顯的區(qū)別，看似簡單，但要算出每一種情況下的概率，要求很高.

三、模型歸一的思考

縱觀南京市近幾年中考概率試題，題目難度適中，聯(lián)系實際，穩(wěn)中有變，適度創(chuàng)新，主要考查學生的基礎(chǔ)知識和基本技能，因此在中考備考復(fù)習中，運用模型歸一的解題策略，能讓學生學起來事半功倍.

利用模型歸一的解題策略做題，可以將很多復(fù)雜、較難理解的問題轉(zhuǎn)化成簡單、易于理解的問題.主要可以歸納為4種常見模型：

（1）在一個不透明的盒子里共裝有m個球，除顏色外均相同，隨機摸1個球后記錄顏色將其放回，求再隨機摸1個球出現(xiàn)某顏色的概率.

（2）在一個不透明的盒子里共裝有m個球，除顏色外均相同，隨機摸2個球，求出現(xiàn)某顏色的概率.

（3）在多個不透明的盒子里共裝有m個球，除顏色外均相同，求在每一個盒子里各隨機摸1個球出現(xiàn)某顏色的概率.

（4）在一個不透明的盒子里依次排列著m個球，除顏色外均相同，求連續(xù)拿出幾個球，出現(xiàn)某顏色的概率.（此類模型常解決抽取連續(xù)的日子等連續(xù)概率的問題）

概率問題的解決，在注重基礎(chǔ)知識和基本技能的前提下，應(yīng)提倡模型歸一方法的運用，淡化對形式化記憶的考查，適當加強對具體情境的理解.

模型歸一解題法就如同一個鑰匙，通過它可以打開一道門戶，把學生引入一個完整的領(lǐng)域，這種解題法有利于學生快速理解題意，轉(zhuǎn)化為簡單的問題.其實不僅僅是南京，各省市近些年的中考題，都已經(jīng)趨向于對數(shù)學能力的考查，所以教學過程中更應(yīng)關(guān)注學生對解題方法、解題策略的掌握，敢于創(chuàng)新出好的教學方法，讓學生認識數(shù)學的特點，把握其規(guī)律，真正讓學生學得輕松，成績也能提升起來.W