追尋“動中折疊”的足跡

俞衛(wèi)勝+易良斌

【摘要】初中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課，如果教師能夠從一道題目（一般是課本例習(xí)題，中考試題）出發(fā)，開放性地設(shè)計問題，鼓勵學(xué)生從多角度解決問題，并嘗試讓學(xué)生自主編題，提出問題，同時關(guān)注學(xué)情，動態(tài)生成，讓課堂更加自然，流暢.在這樣一條復(fù)習(xí)主線下，提煉解題策略，挖掘數(shù)學(xué)本質(zhì)，注重數(shù)學(xué)思想方法的滲透.真正讓數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課成為學(xué)生的主陣地，走出“題海戰(zhàn)術(shù)”的陰影，追求簡約卻不簡單的課堂，還學(xué)生時空，體現(xiàn)“一題一課”的價值，真正凸顯“以生為本”的教學(xué)理念.

【關(guān)鍵詞】復(fù)習(xí)課；一題一課；以生為本

2016年5月13日，易良斌名師網(wǎng)絡(luò)工作室第十次線下研修活動在樂清市大荊鎮(zhèn)第一中學(xué)舉行，根據(jù)導(dǎo)師安排，筆者為全體與會教師演繹了一節(jié)“一題一課”復(fù)習(xí)課，以浙教版八下51矩形作業(yè)本的一道試題為素材，進行剖析，并拓展延伸.教學(xué)設(shè)計及教學(xué)組織得到了大家的一致好評.為此，筆者把本次課堂教學(xué)實錄整理成文，與廣大同仁分享，也歡迎批評指正.

學(xué)情分析：

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出：數(shù)學(xué)教學(xué)活動必須建立在學(xué)生認知發(fā)展水平和已有知識經(jīng)驗基礎(chǔ)之上.增強發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力，在教學(xué)過程中注重動態(tài)生成的資源，進而提高教學(xué)有效性.針對九年級學(xué)生，學(xué)生已經(jīng)具備了初中相關(guān)的知識，但對壓軸題是如何從一道簡單的題目演變的缺少一定的體驗過程，同時缺少主動提問的意識.

教學(xué)目標(biāo)：

1.通過觀察原圖的一個特殊三角形，兩個三角形的特殊關(guān)系，進一步理解折疊的本質(zhì)，并挖掘圖中折線與隱藏線的關(guān)系.

2.會利用勾股定理、相似、三角函數(shù)等知識解決相關(guān)線段（角，面積）問題.

3.在解決問題過程中，經(jīng)歷從特殊到一般，從靜到動的思維方法，體驗數(shù)形結(jié)合，方程，分類討論等數(shù)學(xué)思想方法，激發(fā)勇于探索的精神，并嘗試提出問題.

重點和難點：

教學(xué)重點：折疊的本質(zhì)以及動點問題中隱性的不變量.

教學(xué)難點：嘗試提出問題及最后動圓問題.

教學(xué)過程

一、原題呈現(xiàn)，深入挖掘

師：今天這節(jié)課，就從作業(yè)本中的一道習(xí)題進行剖析，挖掘題中隱含的信息，并在此基礎(chǔ)上拓展，延伸.

【原題】浙教版（八下數(shù)學(xué)作業(yè)本51矩形）

如圖1，將矩形紙片ABCD沿對角線BD對折，使點C落在C′處，BC′交AD于點E，已知∠DBC=30°.

（1）求∠ADC′的度數(shù).（2）求證AE=EC′.

問題：如圖1，將矩形紙片ABCD沿對角線BD對折，使點C落在點C′處，BC′交AD于點E.請問：圖中有哪些特殊的三角形？

生1：Rt△BCD，Rt△BC′D，Rt△ABD，Rt△ABE，Rt△DEC′.

師（追問）：△BC′D為什么是Rt△？

生1：因為∠C折過去與∠C′重合，所以∠C=∠C′=90°，即△BC′D是Rt△.

師：生1講得太好了，那還有其它特殊的三角形嗎？

生2：我發(fā)現(xiàn)△BDE為等腰三角形.

師（充滿期待的眼神）：說說你的理由？

生2：（為了敘述方便）用∠1，∠2，∠3標(biāo)記圖中的角.由折疊過去BC與BC′重合得∠1=∠2.由AD∥BC得∠1=∠3.所以∠2=∠3，即△BDE為等腰三角形.圖2

師：生2思路很清晰，其實在這里你挖掘了圖中隱含的一個基本圖形.

（師順手板書，并將這個基本圖形進一步延伸，如圖2）

問題：如圖1，剛才你們發(fā)現(xiàn)了一些特殊的三角形，那兩個三角形間又有怎樣的關(guān)系呢？

生3（興奮的）：小的兩個直角三角形全等，大的三個三角形都全等.

師：你觀察得很仔細，請問Rt△BCD與Rt△BC′D為什么全等？

生3：由折疊可知，△BCD與△BC′D重合，即兩個三角形全等.

（此時教師及時板書，提煉折疊的本質(zhì)）

師：在圖中，還能發(fā)現(xiàn)與折痕BD有關(guān)系的一些隱藏的線段嗎？

生4：AC′∥BD.

生5：AC與BD相等且互相平分.

生6：由C與C′關(guān)于BD對稱，可知BD垂直平分CC′.

師：（用欣賞的眼神看著剛才的三位同學(xué)）你們很聰明，擁有一雙慧眼，對于折疊問題，連接兩個對稱點是一種常見輔助線的添法.

師：大家很了不起，能挖掘這么多有用的東西.那如果∠CBD=30°，你能求出其它角的度數(shù)嗎？

生（眾）：能，這個簡單.

師：那邊能求呢？

生7：好像不能，但若給我邊的值就可以了，比如BC=4，CD=3.

師：生7很厲害，自己給出了條件，那根據(jù)生7給的條件，我們能求出哪些邊的長度.

生8（迫不及待）：BD=5，AC′=4.C′D=3，AD=4.

師：還有嗎？（此時學(xué)生無聲了）那BE等于多少？

（一分鐘后）

生9：設(shè)AE=x，則C′E=AE=x，DE=4-x，在Rt三角形DEC′中，由勾股定理得C′E2+C′D2=DE2，即x2+32=（4-x）2，得x=78.

師：生9通過勾股定理建立方程，求出了AE，也可得到BE=258.

（此時教師及時板書，并提煉基本圖形：（并強調(diào)有時無法直接計算時，不妨用方程思想解決）

點評從教材作業(yè)本的一道題出發(fā)，低起點，入口寬，高立意，能激發(fā)學(xué)生探究的興趣.引導(dǎo)學(xué)生從一個三角形，兩個三角形的關(guān)系角度揭示折疊的本質(zhì)，并挖掘隱藏在圖形中的數(shù)量和位置關(guān)系.通過求角，線段的長度，關(guān)注學(xué)生，動態(tài)生成，不僅為過渡自然，銜接緊湊，也為最后動圓問題的解決作鋪墊.

二、嘗試提問，培養(yǎng)意識

師：剛才折痕BD很特殊，現(xiàn)將其中一點動起來，出示題干.

問題：如圖3，在矩形ABCD中，BC=4，CD=3.點Q是CD上的一個

動點，現(xiàn)將△BCQ沿直線BQ折疊，使得C落在點C′處.）

此時，教師借助幾何畫板，將點Q在DC上動起來，然后請學(xué)生觀察.

師：當(dāng)點Q運動時，針對△BCQ和△BC′Q這兩個三角形，哪些變，哪些不變？

（此刻，學(xué)生們?nèi)褙炞?，都在觀察變與不變的量）

生10：我發(fā)現(xiàn)BC′，C′Q在變.

師（面對生10的回答，不慌不忙，而把話鋒轉(zhuǎn)向其他同學(xué)）：生10說BC′在變，你們有不同想法嗎？

（正當(dāng)其他同學(xué)想要回答時，此時生10突然意識到問題了）

生10（豁然開朗）：BC′是不變的，由折疊可知BC′=BC，而BC是不變的.

生11：我發(fā)現(xiàn)BQ在變，∠CBQ，∠C′BQ都在變.

生12：我發(fā)現(xiàn)∠CBQ=∠C′BQ，△CBQ≌△C′BQ一直成立.

師：同學(xué)們不僅發(fā)現(xiàn)了邊，角中變與不變的量，也發(fā)現(xiàn)了角與角，三角形與三角形的關(guān)系的不變量.

師：當(dāng)點Q運動時，請你提出幾個可探究的問題.

（給予學(xué)生2分鐘，讓學(xué)生講問題寫在紙上，教師巡視，不時與學(xué)生交流討論，并借用愛因斯坦的話：“提出問題比解決問題更重要.”鼓勵學(xué)生，增強自信）

生13：當(dāng)Q在運動過程中，△BC′Q的面積取值范圍.

生14：當(dāng)DQ為多少時，點C′恰好落在AD上.

生15：當(dāng)Q在運動過程中，點C′所經(jīng)過的軌跡，求這個軌跡的長度.

生16：當(dāng)DQ為多少時，點C′落在BD上.

師：相信大家還有很多問題，這里不一一呈現(xiàn)了.能否對剛才這4位同學(xué)提的問題分分類呢？

生17：我覺得生13，生15的問題分為一類，都是求面積、長度.生14和生16的問題分為一類，都是涉及點C′的位置.

師（欣賞的眼神）：你的分類從數(shù)、形兩方面進行了提煉，給我們提出問題提供了方向.（師及時板書）

師：現(xiàn)將我們班分4組，每組完成一個問題，第一組為生11提出的問題，第二組…

（教師巡視，不時與學(xué)生交流，同時生生之間也相互交流，產(chǎn)生思維的碰撞，過了3分鐘后）

生18（第一組代表）：由折疊可知，△BC′Q≌△BCQ，而S△BCQ=12·BC·CQ，BC=4不變，CQ從在0∽3之間.圖4所以S△BCQ在0∽6的范圍內(nèi).

生19（第二組代表）：如圖4，方法1：設(shè)DQ=x，則C′Q=3-x，而AC′=C′B2-AB2=42-32=7，所以C′D=4-7，在Rt△C′DQ中，由勾股定理得C′D2+DQ2=C′Q2，即（4-7）2+x2=（3-x）2得x=47-73.

正當(dāng)生19坐下時，突然有一生站了起來，

生20：對于這個問題，我聯(lián)想到圖中隱藏的位置關(guān)系，

可連接CC′得CC′⊥BQ，則Rt△BCQ∽Rt△CC′D，

得CQBC=C′DCD，即3-x4=4-73得x=47-73.

師：生20很善于思考，能挖掘題中有用的資源.

生21（第三組代表）：我們組發(fā)現(xiàn)點C′的軌跡是以B為圓心，BC為半徑的一段圓弧，但要求出這段圓弧的長度，有點難，因為∠CBC′不是一個特殊角，需要用計算器才能算出，只知思路，還沒算好.

生22（第四組代表）：如圖5，由折疊可得BC′=BC=4，

而BD=5，在Rt△DC′Q中，

C′D2+C′Q2=DQ2，即1+（3-x）2=x2，解得x=53.

追問：誰來說說解決此類問題都用到了哪些方法？

生23：勾股定理，方程，相似，三角函數(shù)等知識.（板書）

點評將點動起來，利用幾何畫板，給予學(xué)生充分時間觀察動態(tài)問題中變與不變的量，特別是挖掘動中不變的量.在動的過程中，嘗試讓學(xué)生提出問題，培養(yǎng)學(xué)生提出問題的能力，讓學(xué)生對提的問題進行分類，引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)、形（外，上，內(nèi)）兩方面進行提問，為以后更好地思考問題提供了方向.通過小組合作，師生交流，生生交流等方式，讓不同的思維進行激烈的碰撞，使得一題多解得以綻放.此環(huán)節(jié)，滲透了方程思想，數(shù)形結(jié)合思想，化動為靜等數(shù)學(xué)思想方法.

三、綜合動圓，探究相切

師：剛才一個點動，現(xiàn)動兩個點，且這兩個點是關(guān)聯(lián)的動點，出示問題：

問題：如圖6，在矩形ABCD中，BC=4，CD=3.Q是CD上的一個動點，過Q作PQ∥BD交BC于P，現(xiàn)將△PCD沿直線PQ折疊.使得C落在點C′處.

師：當(dāng)點Q運動時，針對針對△PCQ和△PC′Q這兩個

三角形，哪些變，哪些不變？

生24：變的有各條邊，三角形大小.

生25：不變的有△PCQ≌△PC′Q.

師：這兩個三角形的內(nèi)角都不變，由PQ∥BD得∠CPQ=∠CBD.

生25：受您的啟發(fā)，我發(fā)現(xiàn)∠CPC′=2∠CPQ也是不變的.

師：你們太厲害了，能發(fā)現(xiàn)這么多變與不變的量，剛才生24講邊變化，這里PC′不僅長度變化，而且位置也在改變，那現(xiàn)在以PC′為直徑作圓O，當(dāng)點D動時，圓的大小位置也在變.你們想探究什么？

生（眾）：圓與直線相切的問題.

師：看來我和大家的想法不謀而合.出示問題：

PC為何值時，圓O與矩形邊所在的直線相切？

師：針對這個問題，談?wù)勀愕淖畛跸敕ǎ?/p>

生26：我覺得要分類，因為矩形的邊，不知道是哪條邊.

師（追問）：那你覺得要分幾類呢？

生26：分4類.圓O與AB相切，圓O與BC相切，圓O與CD相切，圓O與AD相切.（板書）

師：你很了不起，不僅知道要分類，而且還能準(zhǔn)確地進行分類.

不妨先來看下圓O與AB相切的情況吧！對于圓與直線相切，你有什么經(jīng)驗？圖7

生27：圓心到直線的距離等于圓的半徑.

（教師順勢過O作AB的垂線段OH.如圖7）

（學(xué)生小組討論2分鐘后，然后紛紛展示自己的成果）

師：大家表現(xiàn)太精彩了，對于涉及分類討論的問題，

要先分類，若有些情況不符合的應(yīng)舍去.

點評此環(huán)節(jié)，動圓的圓心，半徑均在改變，綜合性比較強.既要有圓與直線相切的知識經(jīng)驗儲備，又要挖掘變中不變的量，并與開始的基本圖形進行比較，體會它們內(nèi)在的聯(lián)系，這對學(xué)生來說是一種挑戰(zhàn).課中，通過層層鋪墊，適時啟發(fā)，讓學(xué)生有種“跳一跳就能摘到果子”的樂趣，更好地激發(fā)學(xué)生進一步思考的欲望.學(xué)生的精神，思維，語言均參與其中，課堂達到了良好的教學(xué)效果.

四、課堂小結(jié)，反思提升

師：通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有哪些收獲或困惑？

生28：明白了折疊的本質(zhì).

生29：感覺動點問題不變的量有點難發(fā)現(xiàn).

生30：領(lǐng)悟了解決有關(guān)動點問題的策略，需化動為靜.

師：大家感悟都很深，我們學(xué)習(xí)的本質(zhì)，不在于記住多少知識，而在于它觸發(fā)了你的思考.對于兩個動點，除了平行關(guān)聯(lián)，也可垂直關(guān)聯(lián)，也可不關(guān)聯(lián).

問題：如圖8，在矩形ABCD中，BC=4，CD=3.且BE∶AE=1∶3，

點P是BC上的一個動點，連接PE，過P作PE⊥PQ交射線CD

于Q，現(xiàn)將△PCQ沿直線PQ折疊.使C′處.圖8

請問：是否存在點P，使得點C關(guān)于直線PQ的對稱點C′恰好落在邊AD上？若存在，求BP的值；若不存在，請說明理由.

話音剛落下，下課鈴聲響了……

點評以問題的形式出現(xiàn)，引導(dǎo)學(xué)生思考，交流，梳理所學(xué)的知識，感悟數(shù)學(xué)的思想方法，使學(xué)生建立起符合自身認識特點的知識結(jié)構(gòu)，養(yǎng)成及時歸納反思的學(xué)習(xí)習(xí)慣.同時有利于提高學(xué)生的口頭表達能力和知識水平，促進數(shù)學(xué)思維的形成與發(fā)展.課后配置主要兩個變式訓(xùn)練，學(xué)生會利用已掌握的解題方法解決似曾相似的題目，既增加了解決問題的信心，同時又培養(yǎng)學(xué)生遷移思維的能力.

五、板書設(shè)計，凸顯本質(zhì)

點評此板書是一個動態(tài)過程，具有節(jié)奏性，即時性，生成性.教師有意識地將板書分為四個板塊：知識框圖——基本圖形——思想方法——提問視角.貫穿了整個教學(xué)活動的始終.彰顯了上課老師對本節(jié)課內(nèi)涵的深入挖掘.

另附（章建躍專家的評語）：

本節(jié)課非常好地體現(xiàn)了“變式教學(xué)”的思想，從一個特殊問題背景出發(fā)，經(jīng)過各種變化，使問題層層深入，營造的教學(xué)情境引人入勝，緊緊抓住了學(xué)生的注意力，不僅使學(xué)生學(xué)會解題，而且使學(xué)生體會“題目是怎么命出來的”.教師具有先進的教學(xué)觀，盡管問題的難度不低，但仍然注重全體學(xué)生的參與.如果都像本課這樣開展教學(xué)，那么學(xué)生的數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)會比較完善，數(shù)學(xué)思想方法的掌握也會很牢固，特別是發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力會比較強.

作者簡介俞衛(wèi)勝（1985—），男，浙江省樂清市人，中學(xué)一級教師.曾榮獲樂清巿教壇新秀，溫州市解題競賽一等獎，樂清市命題競賽一等獎，樂清市優(yōu)質(zhì)課一等獎.近幾年，參與多項教師小課題研究，多篇文章發(fā)表.