數(shù)列是特殊的函數(shù)

摘?要：在高中數(shù)學教材中，《數(shù)列》一章蘊含的方程與函數(shù)、分類討論、化歸和轉化、數(shù)形結合等常用的數(shù)學思想方法，在教材中得到了充分的展現(xiàn)和應用，而《數(shù)列》的學習，尤其要重視函數(shù)思想的應用，因為數(shù)列是特殊的函數(shù)。

關鍵詞：數(shù)列;教材中的順序;函數(shù)的觀點;認識數(shù)列;特殊

一、??數(shù)列在教材中順序的幾番調整體現(xiàn)了編者的良苦用心

普通高中數(shù)學課程標準中，數(shù)列被調整到必修課程模塊5中，但“對數(shù)學有興趣，并且希望獲得較高數(shù)學素養(yǎng)，希望在理工等方面發(fā)展的學生”，在選修系列4-3中，安排了“數(shù)列與差分”。數(shù)列在教材中順序的反復調整體現(xiàn)了編者的良苦用心：①體現(xiàn)數(shù)列是一個特殊的函數(shù);②“將函數(shù)思想貫穿高中數(shù)學課程的始終”，加深對函數(shù)概念的認識與理解。

二、??用函數(shù)的觀點認識數(shù)列

（一）?強化數(shù)列定義中的函數(shù)觀點

教材中數(shù)列的概念，先給出一個描述性的定義，在此基礎上又給出一個在函數(shù)觀點下的定義：“從函數(shù)的觀點看，數(shù)列可看作是一個定義域為正整數(shù)集N*（或它的有限子集{1，2，…，n}）的函數(shù)當自變量從小到大依次取值時對應的一列函數(shù)值”，該定義指明數(shù)列與函數(shù)之間的關系：數(shù)列是特殊的函數(shù)。加點文字是傳統(tǒng)教材中所沒有的，起到了突出強調的作用。關于數(shù)列的通項公式，教材中明確地提出：“數(shù)列的通項公式也就是相應函數(shù)的解析式”。

通過教材在章節(jié)順序和內容體系上的調整，我們了解到，在數(shù)列的學習中，可以從函數(shù)的觀點來理解數(shù)列中的有關問題。

例1?當n∈N且n≥2時，求證：1n+3+1n+4+…+12n+2≥1130。

分析：數(shù)學歸納法證明，步驟煩瑣，還需證明12k+3+12k+4-1k+3>0?（k≥2且k∈N），對學生來說難度較大，如果利用數(shù)列的函數(shù)性證明，可以減少步驟的煩瑣，降低解題難度。

解析：設f（n）=1n+3+1n+4+…+12n+2，則f（n+1）-f（n）=5n+9（2n+3）（2n+4）（n+3）>0

即f（n+1）>f（n），故{f（n）}是遞增數(shù)列，所以當n∈N且n≥2時，有f（n）≥f（2）=1130。

例2?（2004年上海春季高考題）已知函數(shù)f（x）=|x-a|，g（x）=x2+2ax+1（a為正常數(shù)），且函數(shù)f（x）與g（x）圖象在y軸上截距相等。（1）求a;（2）求f（x）+g（x）的單調遞增區(qū)間;（3）若n為正整數(shù)，證明10f（n）·45g（n）<4。

解析：（1）a=1;（2）略

（3）法一：設Cn=10f（n）·45g（n）=10n-1·45n2+2n+1，不等式Cn+1-12lg0.8-32≈3.7，則n≥4，從而C1≤C2≤C3≤C4，而C4>C5>…，所以有

10f（n）·45g（n）≤10f（4）·45g（4）=103·4525≈3.78<4

法二：記h（x）=10x-1·45x2+2x+1（n≥1），則h′（x）=10x-1·

45x2+2x+1·ln10+2（x+1）ln45

令h′（x）>0，得x

（4.16，+∞）上遞減。對n∈N+，h（n）=10f（n）·45g（n）=

10n-1·45n2+2n+1又∵h（4）=3.78，h（5）=3.25

∴h（n）max=h（4）<4，結論得證。

評析：法二借助于函數(shù)的單調性的判斷結果，借力發(fā)功，巧妙地解決了數(shù)列的最大值，解題思路清晰簡單，數(shù)列與函數(shù)較好地統(tǒng)一于一體。

（二）?注意等差數(shù)列與一次、二次函數(shù)的聯(lián)系

由于等差數(shù)列的通項公式可以變形為an=dn+（a1-d），從變形式可以看出：當d≠0時，等差數(shù)列是關于n的一次函數(shù)，所以等差數(shù)列的通項an的圖象是均勻地分布在一條直線上的各點，根據(jù)兩點確定一條直線，也就容易理解為什么已知等差數(shù)列的任意兩項，可確定一個等差數(shù)列。

同樣道理，等差數(shù)列前n項和公式可以變形為Sn=d2n2+a1-d2n，當d≠0時，Sn是關于n的常數(shù)項為0的二次函數(shù)，可以利用二次函數(shù)的觀點和性質解決“求等差數(shù)列前n項的和”的有關問題，特別是求Sn的增減變化，最大（?。┲祮栴}時，更要聯(lián)想到Sn的二次函數(shù)性。

例3?一個首項為正數(shù)的等差數(shù)列，前5項之和與前13項之和相等，那么這個數(shù)列的前多少項之和最大？

解：法一：由S5=S13得d=-217a1<0，由

an≥0

an+1≤0得8.5≤n≤9.5，則S9最大。

法二：由S5=S13，得∑13i=6ai=0，從而4（a9+a10）=0，則a9<0，a10>0，即S9最大。

法三：由S5=S13，得d=-217a1，則Sn=na1+n（n-1）2d=81-（n-9）217a1，即S9最大。

法四：由Sn=d2n2+a1-d2n，則Sn是關于n的二次函數(shù)，且開口向下，由S5=S13知Sn的對稱軸是n=5+132=9，則S9最大。

評析：解法一雖然常規(guī)但運算量大，解法二技巧性強，解法三與解法四運用了函數(shù)的知識，思路清晰且運算量較少，尤其是解法四，展示了函數(shù)思想的巨大魅力。

（三）?注意等比數(shù)列與指數(shù)型函數(shù)的聯(lián)系

在等比數(shù)列中，通項公式an=a1qn-1=a1qqn（a1≠0，q≠0），其前n項和Sn=a1（qn-1）q-1=a1q-1qn-a1q-1（q≠1），當q>0且q≠1時，an是關于n的指數(shù)型函數(shù)，Sn是關于n的y=mqn-m型的函數(shù)，因此，在解決等比數(shù)列的有關問題時，應注意結合指數(shù)函數(shù)的有關性質。

例4?首項為正數(shù)的等比數(shù)列{an}的前n項和為80，前2n項和為6560，且在前n項中數(shù)值最大的項是54，求此數(shù)列的首項a1和公比q。

解析：∵2Sn≠S2n，∴q≠1，由S2n÷Sn=82，∴qn=81代入Sn=80可得a1=q-1>0，從而q>1，∴an=a1qqn關于n單調遞增，an=54，再結合Sn=80，便求項a1與q。

評析：這里確定an=54是關鍵，借助指數(shù)函數(shù)的單調性，難點輕而易舉得以突破。

三、?數(shù)列是特殊的函數(shù)

前面我們闡述了數(shù)列與函數(shù)的聯(lián)系，看到了二者高度的統(tǒng)一性，體驗了函數(shù)的思想在數(shù)列學習中的重要性與指導性。但數(shù)列畢竟是特殊的函數(shù)，不能把數(shù)列問題完全函數(shù)化，二者還是有區(qū)別的。為了清楚地說明數(shù)列與函數(shù)的區(qū)別，下面我們詳細分析一個例題：

例5?已知數(shù)列{an}的通項為an=n·an（0an+1對n∈N+均成立，求a的取值范圍。

錯解：記f（x）=x·ax（0an+1對n∈N+成立得，函數(shù)f（x）=x·ax在[1，+∞）上為減函數(shù)，則f′（x）=ax（1+xlna）≤0對n∈N+恒成立，即1+xlna≤0對n∈N+恒成立，從而lna≤-1x對n∈

N+恒成立，又-1xmin=-1則lna≤-1，得0

正解：an>an+1對n∈N+均成立即n·an>（n+1）·an+1對n∈N+恒成立，則a

評析：兩種解法的結果相距甚遠。但同樣的思路，例2卻殊途同歸，事實上，在例2中已出現(xiàn)了不和諧的“音符”，解法一中n>3.7，解法二中n<4.16，只是由于n∈N+，將二者統(tǒng)一于n=4，但解題過程并未能掩飾住其取具體值時兩者的差異。本例中，f（x）在[1，+∞）上為減函數(shù)只是an>an+1（n∈N+）恒成立的充分不必要條件，并不是等價條件，讓我們詳細分析：

先求f（x）的極大值點，令f′（x）=0得x=-1lna，當x∈-∞，-1lna時，f′（x）>0，

當x∈-1lna，+∞時，f′（x）<0，則x=-1lna是函數(shù)f（x）的極大值點，也是最大值點。

下面考查a∈1e，12時的情況：當a∈1e，12時，x=-1lna∈[1，2），則函數(shù)f（x）在區(qū)間1，-1lna上為增函數(shù)，在-1lna，+∞為減函數(shù)，沒有做到f（x）在

[1，+∞）上是減函數(shù)，但f（1）=a，f（2）=2a2，由a∈1e，12，仍有a1>a2。

數(shù)列的學習離不開函數(shù)思想方法的指導，因為數(shù)列是特殊的函數(shù);但也不能將自變量離散變化的數(shù)列完全等同于自變量連續(xù)變化的函數(shù)，數(shù)列畢竟是特殊的函數(shù)。

參考文獻：

[1]人民教育出版社中學數(shù)學室.全日制普通高級中學（必修）數(shù)學第一冊（上）.人民教育出版社，2005（6）.

[2]中華人民共和國教育部制訂.普通高中數(shù)學課程標準（實驗）.人民教育出版社，2003（4）.

作者簡介：姚素杰，江西省南昌市，江西省南昌市第五中學。