也談函數(shù)的定義

保繼光 曹 絮

(北京師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 100875；北京師范大學(xué)附屬實(shí)驗(yàn)中學(xué) 100032)

1905年，哥廷根數(shù)學(xué)學(xué)派的創(chuàng)始人、現(xiàn)代國際數(shù)學(xué)教育的奠基人、德國數(shù)學(xué)家克萊因(Felix Klein)在為中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)起草的《數(shù)學(xué)教學(xué)要目(米蘭大綱)》中明確提出：“應(yīng)將養(yǎng)成函數(shù)思想和空間觀察能力作為數(shù)學(xué)教學(xué)的基礎(chǔ)”.1908年, 在巴黎的國際數(shù)學(xué)家大會上，他倡導(dǎo)函數(shù)的概念應(yīng)該成為數(shù)學(xué)思維的心臟和靈魂, 滲透到數(shù)學(xué)課程的每一個部分. 在名著《高觀點(diǎn)下的初等數(shù)學(xué)》中，他進(jìn)一步強(qiáng)調(diào)函數(shù)應(yīng)該成為中學(xué)數(shù)學(xué)的“基石”，應(yīng)該把算術(shù)、代數(shù)和幾何方面的內(nèi)容，通過幾何的形式用以函數(shù)為中心的觀念綜合起來.

20世紀(jì)初，在英國數(shù)學(xué)家貝利(John Perry)等人的大力倡導(dǎo)和推動下，函數(shù)進(jìn)入了中學(xué)數(shù)學(xué).我國基礎(chǔ)教育真正意義上的函數(shù)教學(xué)起始于1941年頒布的《修正初級中學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》，教學(xué)目標(biāo)明確地規(guī)定要“培養(yǎng)學(xué)生分析能力、歸納方法、函數(shù)觀念及探討精神".目前，函數(shù)已經(jīng)成為中學(xué)數(shù)學(xué)中最基本、最重要的內(nèi)容.

本文介紹函數(shù)概念的主要形成過程，并給出一個適合高中階段學(xué)習(xí)和教學(xué)的函數(shù)定義.

1 函數(shù)觀念的雛形

馬克思(Karl Marx)在《數(shù)學(xué)手稿》中認(rèn)為“函數(shù)一詞，原先是在處理方程個數(shù)少于其中出現(xiàn)的未知量個數(shù)的所謂不定方程時引進(jìn)代數(shù)中來的”.有“代數(shù)之父”之稱的丟番圖(Diophantus)在《算術(shù)》(Arithmetica)中對不定方程已有相當(dāng)?shù)难芯?因此可以說函數(shù)概念至少在古希臘時代已有萌芽.天文、地理、數(shù)學(xué)家托勒密(Claudius Ptolemy)在《天文學(xué)大成》(Almagest)中的正弦表被認(rèn)為是用表格來表示的函數(shù).

法國著名的自然哲學(xué)家奧萊斯姆(Nicole Oresme)在14世紀(jì)50年代的《論質(zhì)量與運(yùn)動的結(jié)構(gòu)》(Tractatus de configurationibus qualitatum et motuum)和《論圖線》(Tractatus de latitudinibus formarum)中開始研究運(yùn)動和變化的量，提出了一種圖線原理.但至多是一種圖表形式的函數(shù).

在17世紀(jì)早期，由于天文學(xué)和航海事業(yè)的發(fā)展，科學(xué)家以解釋地球和天體運(yùn)動作為研究課題，推動了函數(shù)概念的發(fā)展.1638年意大利科學(xué)家伽俐略(Galileo Galilei) 積數(shù)十年之力在《關(guān)于兩門新科學(xué)的對談》(The Discourses and Mathematical Demonstrations Relating to Two New Sciences)中以對話的體裁和樸素的文筆，總結(jié)了他在材料力學(xué)和動力學(xué)方面的研究成果，以及對力學(xué)原理的思考，用文字和比例的語言表達(dá)了函數(shù)的關(guān)系.例如：兩個等體積圓柱體的表面積(底面積除外)之比等于它們高度之比的平方根(The areas of cylinders of equal volumes, neglecting the bases, bear to each other a ratio which is the square root of the ratio of their lengths.).又如：操作中的主要問題是針對高仰角的發(fā)射編制一個射程表，來作為仰角的函數(shù)給出炮彈所能達(dá)到的距離(the main one of which is the preparation of a table of ranges for shots of high elevation, giving the distance attained by the ball as a function of the angle of elevation).因此，伽利略第一個提出了函數(shù)或稱為變量關(guān)系的這一概念.

自從微積分奠基人之一、英國物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家牛頓(Isaac Newton)于1665年開始微積分的工作之后，他一直用“流量”(fluent)一詞來表示變量間的關(guān)系.牛頓在《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》(Philosophiae Naturalis Principia Mathematica)中提出的“生成量”(genitum)也是函數(shù)概念的雛形.

“function(函數(shù))”這個詞作為數(shù)學(xué)術(shù)語，是微積分奠基人之一、德國哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家萊布尼茨(Gottfried Leibniz)在他1673年的手稿《切線的逆方法或函數(shù)方法》(Methodus tangentium inversa seu de functionibus)中首次使用的.萊布尼茲所指的函數(shù)是現(xiàn)在的可導(dǎo)函數(shù).他當(dāng)時用“函數(shù)”來表示任何一個隨曲線上的點(diǎn)的變動而變動的切線、法線等的長度.17世紀(jì)的絕大多數(shù)函數(shù)都是當(dāng)作曲線來研究的.1692年萊布尼茨發(fā)表在《教師學(xué)報(bào)》(Acta Eruditorum)的論文中正式使用函數(shù)來表示變量之間的依賴關(guān)系.

中文的“函數(shù)”一詞是1859年中國清代數(shù)學(xué)家李善蘭在翻譯《代數(shù)學(xué)(Elements of Algebra)》時由“function”創(chuàng)譯的.他給出的理由是“凡此變數(shù)中函彼變數(shù)者，則此為彼之函數(shù)”，即“函”為包含之意.

2 函數(shù)概念的明確

1718年，瑞士數(shù)學(xué)家伯努利(Johann Bernoulli)在關(guān)于等周問題的一篇論文中把函數(shù)定義為：一個變量的函數(shù)是指由這個變量和某些常量以任何一種方式組成的量(One calls here Function of a variable a quantity composed in any manner whatever of this variable and of constant).這是歷史上第一個正式發(fā)表的明確的函數(shù)定義.

瑞士數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家歐拉(Leonhard Euler)在1734年首次使用f(x)作為函數(shù)的符號，這種表述方法延續(xù)至今.1748年，歐拉在《無窮分析引論》(Introductio in analysin infinitorum)一書中說：“一個變量的函數(shù)是由該變量和一些數(shù)或常量以任何一種方式構(gòu)成的解析表達(dá)式(A function of a variable quantity is an analytical expression composed in any manner from that variable quantity and numbers or constant quantities)”.該書首次用函數(shù)概念作為中心和主線，把函數(shù)而不是曲線作為研究對象.同時，他明確指出“數(shù)學(xué)分析是關(guān)于函數(shù)的科學(xué)”，微積分被看成是建立在微分基礎(chǔ)上的函數(shù)理論.1755年，歐拉在《微分學(xué)原理》(Institutiones Calculi Differentialis)的序言中進(jìn)一步給出了函數(shù)的定義：

當(dāng)某變量以如下的方式依賴于另一些變量，即當(dāng)后面這些變量變化時，前者也隨之變化，則稱前面的變量是后面變量的函數(shù).(some quantities depend on others in such a way that if the latter are changed the former undergo changes themselves then the former quantities are called functions of the latter quantities.)

我國現(xiàn)行初中數(shù)學(xué)教科書大多采用了這種定義.比較萊布尼茨最早的定義，歐拉的定義發(fā)生了本質(zhì)的變化：在萊布尼茨那里，函數(shù)的定義借助幾何圖形，而現(xiàn)在函數(shù)的定義已經(jīng)擺脫了具體的幾何背景，涉及到函數(shù)本質(zhì)，這個本質(zhì)就是刻畫兩個變量之間的變化關(guān)系.正因?yàn)槿绱?，人們通常稱歐拉的定義為函數(shù)的“變量說”.

19世紀(jì)的數(shù)學(xué)家開始對數(shù)學(xué)的各個分支進(jìn)行形式化.德國數(shù)學(xué)家，被譽(yù)為“現(xiàn)代分析之父”的維爾斯特拉斯(Karl Weierstrass)倡議將微積分學(xué)建立在算術(shù)，而不是幾何的基礎(chǔ)上，這種主張比較趨向于歐拉的定義.

法國數(shù)學(xué)家柯西(Augustin-Louis Cauchy)在1823年所寫的《微積分學(xué)摘要》(Le Calcul infinitésimal)中定義了函數(shù)：在某些變量間存在著一定的關(guān)系，當(dāng)一經(jīng)給定其中某一變量之值，其他變量之值亦可隨之確定時，則將最初的變量稱之為自變量，其他各變量則稱為函數(shù).(If variable quantities are so joined between themselves that, the value of one of these being given, one can conclude the values of all the others, one ordinarily conceives these diverse quantities expressed by means of the one among them, which then takes the name independent variable; and the other quantities expressed by means of the independent variable are those which one calls functions of this variable)

1837年，德國數(shù)學(xué)家狄利克雷(Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet)給出了如下的函數(shù)定義: 如果對于每一個x，有唯一有限的y值與它對應(yīng)，使得當(dāng)x從a到b連續(xù)變化時，y=f(x)也逐漸變化，那么y就稱為該區(qū)間上x的一個連續(xù)函數(shù).(If now a unique finiteycorresponding to eachx, and moreover in such a way that whenxranges continuously over the interval fromatob,y=f(x) also varies continuously, thenyis called a continuous function ofxfor this interval.)

用變量的說法定義函數(shù)，多多少少透露出表達(dá)式的影子，無論這個表達(dá)式是幾何曲線還是代數(shù)式，因此這樣的定義多多少少依賴著物理背景，不能實(shí)現(xiàn)概念的一般性，正如英國數(shù)學(xué)家斯托克斯(George Gabriel Stokes)所說：我們認(rèn)為至關(guān)重要的是對函數(shù)的認(rèn)識應(yīng)當(dāng)撇開一切代數(shù)表達(dá)式.1851年，德國數(shù)學(xué)家黎曼(Bernhard Riemann)給出了函數(shù)新的定義：

假定z是一個變量，它可以逐次取所有可能的實(shí)數(shù)值.如果對它的每一個值，都有未知量w的唯一的一個值與之對應(yīng)，則w稱為z的函數(shù).(Let us suppose thatzis a variable quantity which can assume, gradually, all possible real values then, if to each of its values there corresponds a unique value of the indeterminate quantityw,wis called a function ofz.)

這樣，黎曼采用數(shù)值與數(shù)值對應(yīng)的方法定義了函數(shù)，擺脫了變量變化的物理背景，因?yàn)槎x中采納了“唯一的一個值與之對應(yīng)”的說法，通常稱這樣的定義為函數(shù)的“對應(yīng)說”.我國現(xiàn)行高中數(shù)學(xué)教科書大多采用了這樣的定義.

1939年，法國布爾巴基學(xué)派(Nicolas Bourbaki)在集合論的基礎(chǔ)上重構(gòu)了數(shù)學(xué)最基本的概念和法則，給出函數(shù)的定義：

設(shè)E和F是兩個集合，它們可以不同，也可以相同.E中的一個變元x和F中的變元y之間的一個關(guān)系稱為一個函數(shù)關(guān)系，如果對于每一個x∈E，都存在唯一的y∈F，它滿足與x給定的關(guān)系.稱這樣的運(yùn)算為函數(shù)，它以上述方式將與x有給定關(guān)系的變元y∈F與每一個變元x∈E相聯(lián)系.稱y是函數(shù)在變元x處的值，函數(shù)值由給定的關(guān)系所確定.(LetEandFbe two sets, which may or may not be distinct. A relation between a variable elementxofEand a variable elementyofFis called a functional relation inyif, for allx∈E, there exists a uniquey∈Fwhich is in the given relation withx. We give the name of function to the operation which in this way associates with every elementx∈Ethe elementy∈Fwhich is in the given relation withx, and the function is said to be determined by the given functional relation.)

人們通常稱這樣的定義為函數(shù)的“關(guān)系說”.由此可以看到，高中函數(shù)定義的表述是黎曼對應(yīng)說與布爾巴基學(xué)派關(guān)系說的融合，采納了“對應(yīng)”和“關(guān)系”的表述方式，但也引起了某些混亂.后來，布爾巴基學(xué)派將函數(shù)的定義完全符號化了：設(shè)F是定義在集合X和Y上的一個二元關(guān)系，稱這個關(guān)系為函數(shù)，如果對于每一個x∈X，都存在唯一的y∈Y，使得(x,y)∈F.在這個定義中，已經(jīng)很難找到變量、甚至對應(yīng)的影子了.雖然這種完全形式化的定義更為一般，卻是以喪失數(shù)學(xué)直觀為代價的，因此不適于高中階段的數(shù)學(xué)教育.

3 函數(shù)定義的討論

北京師范大學(xué)版現(xiàn)行的高中教材中給出函數(shù)定義如下：

給定兩個非空數(shù)集A和B，如果按照某個對應(yīng)關(guān)系f，對于集合A中的任何一個數(shù)x，在集合B中都存在唯一確定的數(shù)f(x)與之對應(yīng)，那么就把對應(yīng)關(guān)系f叫做定義在集合A上的函數(shù)，記作f:A→B，或y=f(x)，x∈A, 其中A叫做函數(shù)的定義域，集合{f(x)|x∈A}叫作函數(shù)的值域.

幾乎所有教材都是類似表述的，并借助例題、習(xí)題給予了對應(yīng)關(guān)系f和定義域A較多的關(guān)注，而集合B基本上被忽視了或者被誤解為值域了！《2018年全國高考統(tǒng)一考試大綱》明確要求“了解構(gòu)成函數(shù)的要素，會求一些簡單函數(shù)的定義域和值域”.但是，在教學(xué)實(shí)踐中對此認(rèn)識模糊.我認(rèn)為在這里函數(shù)的三要素是對應(yīng)關(guān)系f，定義域A和集合B.特別需要指出的是，集合B是事先給定的，與事后求得的值域f(A)有本質(zhì)的區(qū)別.嚴(yán)格地說，將函數(shù)寫為y=f(x)，x∈A也是有缺陷的.

例如：如果非空數(shù)集A=[-1,1]，B=[0,1]或[-1,2)，對應(yīng)關(guān)系f(x)=x2，那么它們構(gòu)成一個函數(shù).如果非空數(shù)集A=[-1,1]，B=(0,1]或(-1,1)，對應(yīng)關(guān)系f(x)=x2，那么它們不構(gòu)成一個函數(shù)，因?yàn)椴皇敲恳粋€A中的數(shù)都有B中的數(shù)與之對應(yīng).

再如：已知集合A={2,4},B={4,16},C={4,9,16}，函數(shù)f:A→B的對應(yīng)關(guān)系為f(x)=x2，函數(shù)g:A→C的對應(yīng)關(guān)系為g(x)=2x.按三要素的說法，這兩個函數(shù)是不相等的，因?yàn)锽和C不相同.

不少人認(rèn)為函數(shù)的三要素是對應(yīng)關(guān)系f，定義域A和值域f(A)是不對的.百度百科、搜狗百科給出的函數(shù)定義也是極其混亂和錯誤的：

給定一個數(shù)集A，假設(shè)其中的元素為x.現(xiàn)對A中的元素x施加對應(yīng)法則f，記作f(x)，得到另一數(shù)集B.假設(shè)B中的元素為y.則y與x之間的等量關(guān)系可以用y=f(x)表示.我們把這個關(guān)系式就叫函數(shù)關(guān)系式，簡稱函數(shù).函數(shù)概念含有三個要素：定義域A、值域C(作者注：應(yīng)為f(A))和對應(yīng)法則f.其中核心是對應(yīng)法則f，它是函數(shù)關(guān)系的本質(zhì)特征.

鑒于以上原因，我們推薦在高中階段將函數(shù)定義為：

設(shè)A是實(shí)數(shù)集的一個非空子集.如果存在一個對應(yīng)關(guān)系f，使得對A中的每一個數(shù)x, 根據(jù)對應(yīng)關(guān)系f, 都能得到一個唯一確定的實(shí)數(shù)y, 那么就稱這個對應(yīng)關(guān)系f是A上的一個函數(shù)，記作y=f(x),x∈A, 其中A叫做函數(shù)的定義域，集合{f(x)|x∈A}叫作函數(shù)的值域.

與傳統(tǒng)的函數(shù)定義相比，這里沒有特別地強(qiáng)調(diào)實(shí)數(shù)y所在的實(shí)數(shù)子集，或者認(rèn)為此處集合B為整個實(shí)數(shù)集.于是，函數(shù)在這個意義下就有兩個要素了：對應(yīng)關(guān)系f和定義域A.

函數(shù)定義中的對應(yīng)關(guān)系強(qiáng)調(diào)的是對應(yīng)的結(jié)果，而不是對應(yīng)的過程，相同的對應(yīng)關(guān)系完全可能有很多不同的解析式來表達(dá).例如，借助兩因素的高中函數(shù)定義，可以認(rèn)定函數(shù)y=cos2x+sin2x,x∈(-∞,+∞)和函數(shù)y=1,x∈(-∞,+∞)表示同一個函數(shù)，而不必指明集合B.更不會因?yàn)锽不同，而認(rèn)為函數(shù)不同！

事實(shí)上，我們推薦的定義與同濟(jì)大學(xué)的《高等數(shù)學(xué)》(第三版)中的函數(shù)定義類似：

設(shè)x和y是兩個變量，D是一個給定的數(shù)集.如果對于每個數(shù)x∈D，變量y按照一定法則總有(唯一)確定的數(shù)值和它對應(yīng)，則稱y是x的函數(shù)，記作y=f(x).數(shù)集D叫做這個函數(shù)的定義域.