加強數(shù)學閱讀能力考查 展現(xiàn)邏輯思維功底①

任子朝 陳 昂 趙 軒

(教育部考試中心 100084)

1 問題的提出

實行課程標準后，數(shù)學科高考加強了統(tǒng)計內(nèi)容的考查，對于數(shù)學應(yīng)用能力的考查多是以統(tǒng)計素材為依托，體現(xiàn)了考查的綜合性，使試題富有時代氣息，展現(xiàn)“互聯(lián)網(wǎng)+”大數(shù)據(jù)時代特色.近年試題的題目背景更加貼近實際，更能體現(xiàn)數(shù)學工具解決實際問題的作用.但隨之產(chǎn)生的一個結(jié)果是，考生對新穎的試題形式不適應(yīng)，得分率明顯偏低.下面以近三年全國I卷的數(shù)學建模應(yīng)用試題為例進行分析.[1][2]

表1 2015年至2017年統(tǒng)計與概率試題統(tǒng)計表

這些題文理科的得分率都不高，特別是文科，連續(xù)三年沒有超過0.2.2017年理科第19題的得分率比后面的解析幾何題還低16個百分點.

圖1 2017年I卷理科第19題難度分布圖

圖1中橫軸是考生的總分，縱軸是考生在第19題的得分率.從中可以看出，總分在60分以下的考生幾乎沒有得分，總分在110分以上的考生得分率才能達到50%.

圖2中，橫軸將考生按分數(shù)劃分為5組，縱軸是考生的得分率.圖中曲線依次為得分為1分至12分的得分率.從圖中可以看出，最低一組只得1分的人數(shù)只有17%，有80%以上的人得0分.4組以下的考生沒有人得滿分，最高一組得滿分的考生不超過3%.

圖2 2017年I卷理科第19題考生分段得分圖

文理科試題得分率不高的原因可以總結(jié)為試題聯(lián)系實際，并不是以考生熟悉的形式呈現(xiàn)，運算量比較大等，但最重要的原因是學生讀不懂試題，不能理解題意，所以沒有解題的基礎(chǔ).因此從本題看，數(shù)學閱讀能力是解決問題的關(guān)鍵.提高數(shù)學閱讀能力對提高考生的抽象概括素養(yǎng)、數(shù)學建模素養(yǎng)以及今后更好地在本職工作中應(yīng)用數(shù)學至關(guān)重要.

2 高考中對數(shù)學閱讀能力的考查

2.1 數(shù)學閱讀的本質(zhì)

數(shù)學閱讀是從背景、數(shù)據(jù)等材料中獲取信息的心理活動過程，不僅包括對數(shù)學文字語言、符號語言、圖表語言的理解、記憶、認知等過程，還包括對材料的邏輯結(jié)構(gòu)進行分析、綜合、歸納、推理、猜想等一系列思維過程，是區(qū)別于一般閱讀的較為復(fù)雜的智力活動.

數(shù)學閱讀是學生從數(shù)學書面語言代碼中獨立地提取意義的心理過程.數(shù)學閱讀能力是在學生閱讀技能的基礎(chǔ)上，在閱讀過程中逐步形成和發(fā)展起來的，并且從閱讀的效果和速度中表現(xiàn)出來的一種獨立獲取數(shù)學知識、信息、問題的能力.

正因為數(shù)學閱讀不同于一般的閱讀，其中包括對邏輯結(jié)構(gòu)的分析和理解，所以數(shù)學閱讀是以邏輯思維能力為基礎(chǔ)的能力，要從提高邏輯思維能力的角度分析問題，提出解決問題的策略.

2.2 高考對數(shù)學閱讀能力的要求

高考數(shù)學試卷對數(shù)學閱讀能力的考查是全方位的，包括閱讀數(shù)學材料，理解其中的數(shù)學語言，還包括閱讀應(yīng)用問題的材料，理解生活語言，從中抽象數(shù)量關(guān)系，利用數(shù)學語言進行描述，進而應(yīng)用數(shù)學方法進行解決.高考對數(shù)學閱讀能力的要求包括讀懂、理清、弄通、會做.讀懂是指理解題目每一句話的意思，內(nèi)化局部信息.高考試題一般一句話表達一個獨立的含義，包括對題目引入概念的解釋、題目中各個數(shù)量的關(guān)系、題目的要求等.理清是指能夠找出題目中重點、難點等關(guān)鍵信息，必要時可以進行標注，以便引起重視.弄通是指通覽全題，尋找各信息之間的聯(lián)系，整體加工信息，是從局部到整體的過程，從總體上把握全題，了解試題已知條件和要求的結(jié)論間的關(guān)系.最后會做就是知道解題所要求的基本知識、原理，掌握分析方法、解題思路和步驟以及需要注意的問題.而后具體的解題過程就是運用學過的概念和知識進行思考辨析并用正確的語言表述出來，能對問題展開較為深入的探討.

2.3 高考應(yīng)用試題的閱讀特點

首先因為數(shù)學重在分析、推理和抽象概括的特點，數(shù)學語言通常比較抽象，試題雖然是基于生產(chǎn)、生活、科研背景，但重點是研究其中的數(shù)量關(guān)系，而這種關(guān)系是蘊含在題目的敘述中，比較抽象.理解這些關(guān)系需要有一定的相關(guān)理論知識的儲備和基礎(chǔ)，一定的抽象和概括能力.其次是數(shù)學語言形式的多樣性：文字語言、符號語言、圖像語言三種語言形式并存.[3]在對題目的閱讀中，需要將三種語言相互轉(zhuǎn)化，這就給數(shù)學閱讀帶來了較大的困難.第三，由于考試的時間要求，數(shù)學閱讀材料呈現(xiàn)出嚴謹性及精簡性，題目的敘述幾乎達到了一個字不多也不能少的地步.不像一般的科普文章通俗易懂.最后由于應(yīng)用問題牽涉的面比較廣，必須把方方面面的關(guān)系、限制條件都說清楚，防止一切歧義的產(chǎn)生，保證題目的科學、嚴謹，所以數(shù)學應(yīng)用問題一般都比較長.

2.4 考查數(shù)學閱讀能力的試題類型

試題考查的數(shù)學內(nèi)容涉及各個方面，形式主要有圖表類型、生活語言文字類型和復(fù)雜數(shù)學關(guān)系類型.

(1)圖表類型的應(yīng)用問題的特點就是包含一定數(shù)量的圖表，強調(diào)對圖表的直觀感受和理解，從圖表中識別和提取信息、數(shù)量關(guān)系等.

例1(2016年理科Ⅲ卷第4題)

某旅游城市為向游客介紹本地的氣溫情況，繪制了一年中各月平均最高氣溫和平均最低氣溫的雷達圖. 圖中A點表示十月的平均最高氣溫約為15℃，B點表示四月的平均最低氣溫約為5℃. 下面敘述不正確的是

(A)各月的平均最低氣溫都在0℃以上

(B)七月的平均溫差比一月的平均溫差大

(C)三月和十一月的平均最高氣溫基本相同

(D)平均最高氣溫高于20℃的月份有5個

分析本題選取考生熟知的源于生活的實際問題，繪制了一個新穎的統(tǒng)計圖，要求考生讀懂該統(tǒng)計圖并回答問題，考查考生對圖表的辨識、理解能力，對新知識的學習能力.

例2(2017年理科Ⅱ卷第18題)

海水養(yǎng)殖場進行某水產(chǎn)品的新、舊網(wǎng)箱養(yǎng)殖方法的產(chǎn)量對比，收獲時各隨機抽取了100個網(wǎng)箱，測量各箱水產(chǎn)品的產(chǎn)量(單位：kg)，其頻率分布直方圖如下：

①設(shè)兩種養(yǎng)殖方法的箱產(chǎn)量相互獨立，記A表示事件“舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50kg，新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量不低于50kg”，估計A的概率；

②填寫下面列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有99%的把握認為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān)；

箱產(chǎn)量<50kg箱產(chǎn)量≥50kg舊養(yǎng)殖法新養(yǎng)殖法

③根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖，求新養(yǎng)殖法箱產(chǎn)量的中位數(shù)的估計值(精確到0.01).

分析試題以現(xiàn)實社會生產(chǎn)實踐中，水產(chǎn)品養(yǎng)殖方法的創(chuàng)新問題為背景，試題的第一問設(shè)計為根據(jù)所給直方圖，估計某事件的概率，考查考生對直方圖的概念、用頻率分布估計總體分布的理解與應(yīng)用；第二問設(shè)計為根據(jù)直方圖對數(shù)據(jù)進行整理，然后根據(jù)整理的數(shù)據(jù)進行隨機變量間獨立性的檢驗，考查考生的數(shù)據(jù)處理與分析、應(yīng)用能力；第三問設(shè)計為，根據(jù)直方圖，估計總體中位數(shù)，考查考生對樣本中位數(shù)的計算方法的掌握程度. 本題的基礎(chǔ)和解題的關(guān)鍵就是對直方圖的正確識別和理解，對讀圖和識圖能力都提出了較高的要求.

(2)生活語言文字類型的應(yīng)用問題就是包括比較長的用生活語言敘述的關(guān)系，重點是理解生活語言，從中抽象數(shù)量關(guān)系.

例3(2016年理科I卷第16題)

某高科技企業(yè)生產(chǎn)產(chǎn)品A和產(chǎn)品B需要甲、乙兩種新型材料. 生產(chǎn)一件產(chǎn)品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5個工時；生產(chǎn)一件產(chǎn)品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3個工時. 生產(chǎn)一件產(chǎn)品A的利潤為2 100元，生產(chǎn)一件產(chǎn)品B的利潤為900元. 該企業(yè)現(xiàn)有甲材料150kg，乙材料90kg，則在不超過600個工時的條件下，生產(chǎn)產(chǎn)品A、產(chǎn)品B的利潤之和的最大值為________元.

分析本題的背景是企業(yè)的生產(chǎn)安排問題，企業(yè)的利潤受到材料數(shù)量和工時的限制, 所以本題的本質(zhì)是帶有約束條件的線性規(guī)劃問題.本題涉及生產(chǎn)、生活的語言，如產(chǎn)品、材料、利潤、重量單位、貨幣單位等，而且數(shù)量眾多，考查考生對實際問題的理解和應(yīng)用數(shù)學手段解決實際問題的能力，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想.

(3)復(fù)雜數(shù)學關(guān)系類型的試題特點是用比較抽象、嚴謹、規(guī)范的數(shù)學語言敘述問題，解題的重點是對數(shù)學語言的理解，厘清各元素之間的關(guān)系.嚴謹性和抽象性是數(shù)學語言的特征之一，理解數(shù)學語言是數(shù)學閱讀的核心問題.

例4(2017年理科I卷第12題)

幾位大學生響應(yīng)國家的創(chuàng)業(yè)號召，開發(fā)了一款應(yīng)用軟件．為激發(fā)大家學習數(shù)學的興趣，他們推出了“解數(shù)學題獲取軟件激活碼”的活動．這款軟件的激活碼為下面數(shù)學問題的答案：已知數(shù)列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一項是20，接下來的兩項是20，21，再接下來的三項是20，21，22，依此類推．求滿足如下條件的最小整數(shù)N：N>100且該數(shù)列的前N項和為2的整數(shù)冪．那么該款軟件的激活碼是

A．440 B．330 C．220 D．110

分析本題考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的前n項和與通項公式，考查邏輯思維能力、運算求解能力、創(chuàng)新應(yīng)用能力.

本題以考生熟知的源于生活的“軟件激活碼”為切入點，以等差數(shù)列、等比數(shù)列為素材，著重考查考生的運算求解能力和創(chuàng)新應(yīng)用能力以及化歸與轉(zhuǎn)化的思想.本題數(shù)量關(guān)系復(fù)雜、層次疊加，要正確作答，考生需要知道求什么，怎么求．考生在讀懂題、審準題的基礎(chǔ)上，破題的關(guān)鍵就在于將問題的求解轉(zhuǎn)化為有關(guān)的數(shù)列求和問題．這要求考生對于等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義和公式能夠熟練掌握，同時也要求考生有較強的分析問題、解決問題的能力．

3 考查數(shù)學閱讀能力新舉措

針對考生在數(shù)學閱讀問題的表現(xiàn)，解決考生所遇到的難題，2018年高考對考查思路進行了調(diào)整，采取了全新的模式，通過不同層次、不同類型的試題，多種形式、多個角度考查數(shù)學閱讀能力和建模應(yīng)用能力.2018年高考試卷采取了兩項新舉措.

3.1 降低數(shù)據(jù)整理要求，增加開放要求

一是考查數(shù)學閱讀能力更基礎(chǔ)、更本質(zhì)的要求，試題位置前移，將試題難度調(diào)整到與考生水平相適應(yīng)的程度.在題目中，將數(shù)據(jù)準備階段的步驟減少，提前把數(shù)據(jù)整理好，給考生呈現(xiàn)比較規(guī)范的格式或給出數(shù)據(jù)的回歸方程.采取“重心后移”的策略，把考查的重點后移到對數(shù)據(jù)的分析、理解、找規(guī)律.對數(shù)據(jù)的解釋開放性增加，給出多種解釋，考生只要給出一種解釋，或者其他合理的解釋都可以得分，鼓勵考生創(chuàng)造性地解答問題.

例5(2018年理科Ⅱ卷第18題)

下圖是某地區(qū)2000年至2016年環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額y(單位：億元)的折線圖.

(1)分別利用這兩個模型，求該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測值；

(2)你認為用哪個模型得到的預(yù)測值更可靠？并說明理由.

分析本題設(shè)計之初是先給出折線圖，標明各年的數(shù)據(jù)，然后提出問題：求該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測值.要求考生自己建立回歸模型，進行預(yù)測.這不但要求考生判斷是選擇全部數(shù)據(jù)還是選擇部分數(shù)據(jù)，而且在建立回歸模型時要進行大量的數(shù)值計算，相對來說，數(shù)值計算的工作量比較大.在研磨過程中，調(diào)整了思路，給考生建立了兩個回歸模型，要求考生根據(jù)要求做出判斷，這就大幅度地削減了計算的工作量，把考查的重點轉(zhuǎn)移了對模型的比較和判斷.體現(xiàn)了統(tǒng)計方式的應(yīng)用價值，同時說明應(yīng)該根據(jù)具體情境的要求選擇合適的數(shù)據(jù).與之配套的是試題位置前移至解析幾何和立體幾何之前，到達第二大題的位置.(解析幾何試題也前移至立體幾何試題之前，這是今年的又一改革舉措.)

例6(2018年理科Ⅲ卷第18題)

某工廠為提高生產(chǎn)效率，開展技術(shù)創(chuàng)新活動，提出了完成某項生產(chǎn)任務(wù)的兩種新的生產(chǎn)方式. 為比較兩種生產(chǎn)方式的效率，選取40名工人，將他們隨機分成兩組，每組20人.第一組工人用第一種生產(chǎn)方式，第二組工人用第二種生產(chǎn)方式. 根據(jù)工人完成生產(chǎn)任務(wù)的工作時間(單位：min)繪制了如下莖葉圖：

第一種生產(chǎn)方式第二種生產(chǎn)方式865 5 6 8 99 7 6 270 1 2 2 3 4 5 6 6 89 8 7 7 6 5 4 3 3 281 4 4 52 1 1 0 090

(1)根據(jù)莖葉圖判斷哪種生產(chǎn)方式的效率更高？并說明理由；

(2)求40名工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間的中位數(shù)m，并將完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間超過m和不超過m的工人數(shù)填入下面的列聯(lián)表；

超過m不超過m第一種生產(chǎn)方式第二種生產(chǎn)方式

(3)根據(jù)(2)中的列聯(lián)表，能否有99%的把握認為兩種生產(chǎn)方式的效率有差異？

分析本題的原型是逐個給出了兩種生產(chǎn)方式完成各種任務(wù)的時間，如

第一種生產(chǎn)方式：68,72,76，….

第二種生產(chǎn)方式：65,65,66，….

給出了空白的莖葉圖，要求考生自己填寫莖葉圖.雖然填寫莖葉圖的難度不大，但需要仔細閱讀、記憶每個數(shù)據(jù)，需要一定的時間.研磨過程中，刪除了兩組數(shù)據(jù)，并且把莖葉圖填好，直接呈現(xiàn)給考生.這樣一方面是減少了題目的篇幅和閱讀量，另一方面節(jié)省了填寫莖葉圖的時間.把考查的重點后移到了對于兩種生產(chǎn)方式效率的比較和判斷，題目更加開放，考查的重點更加突出、明確.答案給出了四種理由，而且其他合理的理由同樣給分，給了考生更多的發(fā)揮和思考的空間.同樣試題位置前移至第二個解答題的位置.

3.2 試題位置后移，閱讀要求提高.

通過設(shè)置更加復(fù)雜類型的情境，考查更加深入，發(fā)揮應(yīng)用問題的區(qū)分功能.試題后置，將應(yīng)用問題調(diào)整到較后的問題，避免考生中間卡殼，先把前面的試題做好，最后集中精力解決應(yīng)用問題.

例6(2018年理科Ⅰ卷第20題)

某工廠的某種產(chǎn)品成箱包裝，每箱200件，每一箱產(chǎn)品在交付用戶之前要對產(chǎn)品作檢驗，如檢驗出不合格品，則更換為合格品. 檢驗時，先從這箱產(chǎn)品中任取20件作檢驗，再根據(jù)檢驗結(jié)果決定是否對余下的所有產(chǎn)品作檢驗. 設(shè)每件產(chǎn)品為不合格品的概率都為p(0

(1)記20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為f(p)，求f(p)的最大值點p0.

(2)現(xiàn)對一箱產(chǎn)品檢驗了20件，結(jié)果恰有2件不合格品，以(1)中確定的p0作為p的值. 已知每件產(chǎn)品的檢驗費用為2元，若有不合格品進入用戶手中，則工廠要對每件不合格品支付25元的賠償費用.

(ⅰ)若不對該箱余下的產(chǎn)品作檢驗，這一箱產(chǎn)品的檢驗費用與賠償費用的和記為X，求EX；

(ⅱ)以檢驗費用與賠償費用和的期望值為決策依據(jù)，是否該對這箱余下的所有產(chǎn)品作檢驗？

分析本題以企業(yè)在銷售過程中的成本控制問題為背景，著眼于“最小化檢驗成本”的決策問題設(shè)計與設(shè)問，所設(shè)計的問題有現(xiàn)實意義，與統(tǒng)計與概率的思想和方法之間的聯(lián)系也很自然，也是學生能夠運用所學知識解決的問題.

試題考查的統(tǒng)計與概率知識比較豐富，包括獨立重復(fù)試驗概率模型、二項分布的知識和應(yīng)用、概率的計算、參數(shù)的估計、隨機變量期望的計算與應(yīng)用，同時考查了考生綜合運用所學知識解決實際問題的能力，試題具有很好的選拔功能，達到了考查閱讀、應(yīng)用、建模能力的目的．

以往的數(shù)學建模應(yīng)用問題都是設(shè)置在第19題，即在函數(shù)與導(dǎo)數(shù)和解析幾何題之前，今年將試題后移到解析幾何之后，僅在函數(shù)與導(dǎo)數(shù)題之前.凸顯了考查要求的提高和對應(yīng)用問題的重視.

4 加強數(shù)學閱讀能力的培養(yǎng)

數(shù)學閱讀是有別于其他閱讀的閱讀方式，培養(yǎng)學生閱讀能力是培養(yǎng)學生綜合能力、提高學生素質(zhì)的方法之一.[4]培養(yǎng)數(shù)學閱讀能力，豐富數(shù)學語言系統(tǒng)，提高數(shù)學語言水平有著重要的現(xiàn)實意義，其獨特作用甚至是其它教學方式所不可替代的.面對考生在高考應(yīng)用問題解題中的表現(xiàn)和出現(xiàn)的問題，在教學中要針對性地加強對考生數(shù)學閱讀能力的培養(yǎng).

(1)克服浮躁心態(tài)，踏實閱讀

應(yīng)用問題牽涉的現(xiàn)實生活背景比較復(fù)雜，不可能一下子就能讀懂試題.要堅定自己的信心，相信通過逐字逐句的閱讀，是能夠讀懂全題的.同樣的，閱讀能力培養(yǎng)是一個長期的工作，見效較慢，不像邏輯思維能力，空間想象能力，運算能力，數(shù)據(jù)的收集與處理能力等，這些能力的培養(yǎng)和鍛煉比較顯性化，通過一段時間的培養(yǎng)會卓有成效.然而數(shù)學閱讀能力的培養(yǎng)是滲透在平常學習的點點滴滴之中的， 往往需要很長時間的訓練才能逐漸見到成效.

(2)掌握閱讀策略

數(shù)學是一門嚴謹?shù)膶W科，有自己的語言，在閱讀中對不同的素材內(nèi)容，采用不同的策略方法.因此教會學生掌握閱讀策略是數(shù)學閱讀教學的重要任務(wù).要針對圖表試題、生活語言試題和數(shù)學語言試題采取不同的策略.同時數(shù)學是一種“數(shù)形結(jié)合”的語言，所以閱讀試題通常也需要學生在三種語言之間的頻繁的轉(zhuǎn)換，相互補充，弄清楚試題所表達的意思.

(3)運用閱讀技巧

在閱讀試題時，學生需要充分理解試題中的每一個數(shù)學術(shù)語、每一個關(guān)系，對數(shù)學的文字符號、圖形符號都弄清楚，才能更好地明白試題的含義.同時要注意分散難點，分段閱讀，分段理解.高考數(shù)學試題語言簡練、敘述嚴謹,鑒于數(shù)學文本的嚴密性，在對其進行閱讀的時候，不能“跳躍性”的閱讀，而應(yīng)當手腦并用，對閱讀材料中的每一個字每一個公式都注意到，并且對重點的地方進行記錄，這樣才能清楚地理解題目中每一個重要信息.

(4)加強邏輯思維能力培養(yǎng)

高考試題雖然語言簡潔，但是所包含的內(nèi)容卻十分豐富，要理解這些語言需要有較高的思維能力與閱讀能力.要提高分析能力，理解、抽象試題中的數(shù)學關(guān)系.采取治本的策略，從根本上解決問題.閱讀中不能滿足于認識漢字和數(shù)學符號，要把重點放在對知識的消化、對試題數(shù)量關(guān)系的分析、理解和抽象之上.

數(shù)學閱讀的價值和終極目標是構(gòu)建數(shù)學結(jié)構(gòu).數(shù)學在本質(zhì)上屬于嚴格的形式演繹體系，數(shù)學學科的發(fā)展是演繹體系的發(fā)展，數(shù)學知識內(nèi)容是形式化運動的產(chǎn)物.閱讀過程是數(shù)學建構(gòu)的過程，在閱讀過程中，運用元認知理論，通過對數(shù)學材料進行部分與整體的交替感知去構(gòu)建數(shù)學結(jié)構(gòu)，去領(lǐng)悟形式化運動，去監(jiān)控認知過程，逐步使學生由能讀、讀懂到會讀、讀透，在提高學生的數(shù)學閱讀能力過程中，培養(yǎng)學生的素養(yǎng)，提高學生的綜合能力.

未來高考改革的方向是不再分文理科，所有考生使用同一張試卷.同時在新高考數(shù)學科的考試目標中，數(shù)學建模能力是一項重要的關(guān)鍵能力.在今后的數(shù)學教學中，應(yīng)進一步加強數(shù)學閱讀能力、建模創(chuàng)新能力的培養(yǎng)，特別是要提高包括文科專業(yè)考生在內(nèi)的全體考生的能力，這是課程和高考改革中中學數(shù)學教學的當務(wù)之急.