代數(shù)幾何相轉(zhuǎn)化 相映成輝是一家
——對(duì)一道高考圓錐曲線問(wèn)題的變式探究

范方兵 王芝平

(1.北京市第二中學(xué) 100010 2.北京宏志中學(xué) 100013)

試題再現(xiàn)：已知拋物線C:y2=2px經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(1，2).過(guò)點(diǎn)Q(0，1)的直線l與拋物線C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A，B，且直線PA交y軸于M，直線PB交y軸于N.

(Ⅰ)求直線l的斜率的取值范圍；

這是2018年高考北京卷理科的第19題，在全卷中處于倒數(shù)第二題的位置，題目設(shè)計(jì)新穎，背景深刻，難度適中，以拋物線為載體考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，考查解析幾何的坐標(biāo)化思想、數(shù)形結(jié)合、化歸轉(zhuǎn)化思想以及數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等核心素養(yǎng)，是一道值得細(xì)細(xì)品味的好題.現(xiàn)將本題的解答及分析過(guò)程整理如下，希望得到同行的指教.

1 試題解法變式研究

解(Ⅰ)由題意，C:y2=2px經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(1，2)，所以22=2p×1，所以2p=4，拋物線C:y2=4x.

圖1

易知直線l的斜率存在，設(shè)其方程為y=kx+1(k≠0)，與拋物線C:y2=4x聯(lián)立得：

k2x2+(2k-4)x+1

=0，

由題意有，k≠0且Δ=16-16k>0，得k<1且k≠0.

如圖1，PB與y軸有交點(diǎn)，故點(diǎn)B不能是點(diǎn)P(1，2)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)(1，-2)，故k≠-3.

所以k的取值范圍為

(-∞，-3)∪( -3，0)∪(0，1).

整理得ky2-4y+4=0.

設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，

解法二設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),M(0,yM),N(0,yN)，

由Q,A,B三點(diǎn)共線知x1(y2-1)=x2(y1-1)，

整理得y1y2=y1+y2…(3)

由P,A,M三點(diǎn)共線知

(x1-1)(yM-2)=-(y1-2)，

整理得y1y2=y1+y2.

2 試題變式及探源

圖2

圖3

實(shí)際上，本文所探討的題目以及猜想，與2008年高考安徽卷理科數(shù)學(xué)第22題有著內(nèi)在聯(lián)系，其幾何背景涉及到高等幾何中的極點(diǎn)、極線以及調(diào)和點(diǎn)列的知識(shí)，現(xiàn)逐步來(lái)進(jìn)行說(shuō)明(關(guān)于極點(diǎn)、極線的知識(shí)，限于篇幅暫不做深入探討).

(Ⅰ)求橢圓C的方程；

一方面，本文第二作者在文[1]對(duì)這道題目作了一般化的證明，并在此基礎(chǔ)上進(jìn)行了變式推廣，使得結(jié)論更加豐富，內(nèi)容更加精彩.文中得到了如下的命題及推論：

特別地，當(dāng)直線l過(guò)直線AC與BD的交點(diǎn)，即P與Q重合時(shí)有如下的推論：

圖4

當(dāng)A與B、C與D分別重合于一點(diǎn)時(shí)，有：

圖5

另一方面，上述談到的調(diào)和點(diǎn)列，是研究圖形在射影變換下不變性的一個(gè)幾何學(xué)分支，簡(jiǎn)單地說(shuō)，經(jīng)過(guò)有限次兩平面間的中心投影(透視)得到的平面上的一一點(diǎn)變換，稱為平面上的射影變換.其產(chǎn)生的最初動(dòng)力，是為了幫助繪畫而對(duì)透視進(jìn)行的研究.在17世紀(jì)，G.德扎格和B.帕斯卡建立了射影幾何學(xué)中的著名定理，后來(lái)在19世紀(jì)，又經(jīng)過(guò)J.V.彭賽列、J.施泰納、A.F.麥比烏斯等幾何學(xué)家的工作，使射影幾何學(xué)得到蓬勃的發(fā)展，達(dá)到鼎盛時(shí)期.

定義一調(diào)和點(diǎn)列

圖6

性質(zhì)如果A,B,C,D是調(diào)和點(diǎn)列，則

事實(shí)上，由A,B,C,D是調(diào)和點(diǎn)列可知

定義二調(diào)和線束

過(guò)調(diào)和點(diǎn)列A,B,C,D所在直線外一點(diǎn)P，向A,B,C,D引四條線束(射線)，稱這四條線束為調(diào)和線束.

性質(zhì)如圖7，設(shè)與調(diào)和線束相交于四點(diǎn)的直線l′與其交于A′,B′,C′,D′，則點(diǎn)A′,B′,C′,D′也為調(diào)和點(diǎn)列.

圖7

事實(shí)上，由A,B,C,D是調(diào)和點(diǎn)列可知

有了上面的討論，如圖8，作出射線BR,BS，分別與直線OA交于M,N，如圖.

圖8

基于以上的分析，前面作出的猜想是正確的，這個(gè)結(jié)論非常精彩：一方面，這個(gè)結(jié)論滲透了運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)，并且揭示了運(yùn)動(dòng)變化中不變的規(guī)律；另一方面，這個(gè)結(jié)論也說(shuō)明2018北京高考解析幾何題的幾何背景非常深刻，有著廣泛的實(shí)際應(yīng)用，對(duì)“解析幾何其實(shí)質(zhì)是平面幾何”作了一個(gè)好的注解；進(jìn)而，通過(guò)對(duì)問(wèn)題的探討，讓我們認(rèn)識(shí)到，如果只是利用純粹的平面幾何知識(shí)去進(jìn)行推理、演算，有時(shí)顯得十分復(fù)雜，而在引進(jìn)平面直角坐標(biāo)系，將平面幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)代數(shù)問(wèn)題后，利用代數(shù)方法也可以解決平面幾何問(wèn)題，這不僅僅是多了一種方法，有時(shí)更能體現(xiàn)代數(shù)方法的優(yōu)越性，體現(xiàn)解析幾何的學(xué)科價(jià)值.

一個(gè)好的數(shù)學(xué)結(jié)果，除了問(wèn)題本身漂亮外，還應(yīng)該具有推廣的潛力，是許多相關(guān)結(jié)果中的交匯點(diǎn)．本試題就具有這樣的推廣潛力，它還有很多有趣的性質(zhì)等待人們?nèi)ヌ剿鳎?/p>

正所謂：代數(shù)幾何相轉(zhuǎn)化，相映成輝是一家．