對(duì)三角形中一種綜合置換方式的幾何解釋

賀 斌 付相兵 孟凡海

(湖北省谷城縣第三中學(xué) 441700)

貴刊文[1]通過一個(gè)多版面的篇幅證明了如下命題

并在此基礎(chǔ)上建立了如下置換：

文[1]的證明條理清楚，邏輯嚴(yán)謹(jǐn)，但其缺點(diǎn)是不夠直觀．本文(仍沿用文[1]的相關(guān)記號(hào))將給出上述命題的一個(gè)幾何解釋，并在此基礎(chǔ)上建立一個(gè)可以將涉及三角形邊長、面積及相關(guān)半徑的齊次關(guān)系式轉(zhuǎn)化為僅含角的三角函數(shù)的關(guān)系式的置換．

圖1

所以面積為

設(shè)△ABC的內(nèi)切圓半徑為r，

則r=(p-a)tanα=(p-b)tanβ=(p-c)tanγ，

所以，r3=(p-a)(p-b)(p-c)·tanαtanβtanγ=r2ptanαtanβtanγ，

所以r=ptanαtanβtanγ，

這樣我們便得文[1]命題的幾何解釋.

(相關(guān)字母的意義如前所述)

利用此置換可以將涉及三角形邊長、面積及相關(guān)半徑的齊次關(guān)系式轉(zhuǎn)化為僅含角的三角函數(shù)的關(guān)系式．讀者不妨一試．