基于GeoGebra的數(shù)學(xué)探究學(xué)習(xí)的實(shí)踐與思考①
——以探究四邊形全等條件為例

伍春蘭 李紅云

(北京教育學(xué)院數(shù)學(xué)系 100120)

引言

GeoGebra動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)教學(xué)軟件是美國(guó)數(shù)學(xué)教授Markus Hohenwarter2002年創(chuàng)建的，它所占空間小，但將幾何、代數(shù)、表格、作圖、統(tǒng)計(jì)、微積分以直觀易用的方式動(dòng)態(tài)集于一體，特別是開(kāi)源共享互動(dòng)，贏得了世界各國(guó)數(shù)學(xué)教育者的青睞. 現(xiàn)在的中學(xué)生只需簡(jiǎn)單培訓(xùn)，就可基本掌握操作.

在中國(guó)知網(wǎng)(http://cnki.net)，截止到2018年1月以“GeoGebra”為“關(guān)鍵詞”檢索的成果有115份. 除去碩博論文外，公開(kāi)發(fā)表的只有96篇，最早一篇發(fā)表于2010年[1]. 發(fā)表的與中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)相關(guān)的論文共計(jì)72篇，可歸納為三類：GeoGebra功能在中小學(xué)教學(xué)應(yīng)用的介紹；基于GeoGebra的中小學(xué)教學(xué)的研究；借助GeoGebra探究某一具體題目(高考題或習(xí)題). 瀏覽論文，發(fā)現(xiàn)基于GeoGebra的探究或?qū)嶒?yàn)學(xué)習(xí)的研究屈指可數(shù).

為了有效落實(shí)教育部《教育信息化十年發(fā)展規(guī)劃(2011—2020年)》中提出的在基礎(chǔ)教育階段推進(jìn)信息技術(shù)與教學(xué)融合的目標(biāo)，我們選擇GeoGebra軟件，探求學(xué)生以此為平臺(tái)開(kāi)展探究學(xué)習(xí)的可行性及相應(yīng)的教學(xué)策略. 于是我們與北京市某普通城市初中校合作，開(kāi)發(fā)了“基于GeoGebra的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”的校本課程. 課程對(duì)象是該校27名八年級(jí)學(xué)生，其父母是周邊居民或租住在附近的外地打工者. 課程時(shí)間是2017年第一學(xué)期，共12次課程，每次課時(shí)長(zhǎng)達(dá)90分鐘. 課程的主要學(xué)習(xí)目標(biāo)是掌握GeoGebra軟件的基本功能；借助GeoGebra進(jìn)行數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，提升使用信息技術(shù)學(xué)習(xí)的意愿，培養(yǎng)信息化環(huán)境下的學(xué)習(xí)能力和思維品質(zhì).

本文以探究四邊形全等條件為例，說(shuō)明學(xué)生如何在GeoGebra環(huán)境下探究學(xué)習(xí)，并引發(fā)信息技術(shù)與數(shù)學(xué)學(xué)科融合的若干思考.

1 探究

探究四邊形全等條件是三角形全等條件探索的延拓，對(duì)學(xué)生而言有一定的挑戰(zhàn)性. 我們的研究假設(shè)是學(xué)生經(jīng)歷了三角形全等條件的探索后，借助GeoGebra是可以完成四邊形全等條件的探索. 為此我們?cè)O(shè)計(jì)并實(shí)施了三個(gè)階段活動(dòng)：探究準(zhǔn)備——GeoGebra學(xué)習(xí)；探究指導(dǎo)——三角形全等條件；自主探索——四邊形全等條件.

1.1 探究準(zhǔn)備——GeoGebra學(xué)習(xí)

以任務(wù)驅(qū)動(dòng)的方式學(xué)習(xí)GeoGebra，將其基本功能的學(xué)習(xí)融入其中. 比如通過(guò)三角形的三線(高線、中線和角平分線)的構(gòu)造，學(xué)習(xí)了構(gòu)造三角形、垂線、垂足、高、中點(diǎn)、中線、角平分線、度量角、給角加標(biāo)記、度量線段、動(dòng)態(tài)文本等方法. 同時(shí)在構(gòu)造數(shù)學(xué)對(duì)象前，啟發(fā)學(xué)生分析數(shù)學(xué)對(duì)象的結(jié)構(gòu)、構(gòu)造數(shù)學(xué)對(duì)象的要素，在分析和思考的基礎(chǔ)上再構(gòu)造數(shù)學(xué)對(duì)象. 這樣學(xué)習(xí)GeoGebra操作，不僅讓學(xué)生知其然知其所以然，而且還能達(dá)到舉一反三、快速掌握的目的.

1.2 探究指導(dǎo)——三角形全等條件

判定兩個(gè)三角形全等的定理(邊邊邊SSS、邊角邊SAS、角邊角ASA)，義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)是作為基本事實(shí)[2](無(wú)需證明)給出的. 不同版本教材基本上都是通過(guò)畫(huà)圖，讓學(xué)生確信分別滿足邊邊邊SSS、邊角邊SAS、角邊角ASA條件所畫(huà)出的三角形與已知三角形全等. 判定定理角角邊AAS是作為角邊角ASA的推論，直角三角形判定定理斜邊直角邊HL也是通過(guò)畫(huà)圖感受的. 調(diào)查顯示，兩個(gè)三角形全等的上述5個(gè)判定定理，多數(shù)教師會(huì)安排4-6課時(shí). 除了AAS，其余4個(gè)多數(shù)教師會(huì)讓學(xué)生利用尺規(guī)畫(huà)圖感知的，其目的是加深對(duì)定理的理解. 但很少讓學(xué)生借助信息技術(shù)整體設(shè)計(jì)，特別是缺少系統(tǒng)的思考：三個(gè)相等條件可以判斷三角形全等，多一個(gè)或少一個(gè)條件如何？為什么就5個(gè)判斷定理？它們的聯(lián)系是什么？

利用GeoGebra探究三角形全等條件前，我們對(duì)學(xué)完5個(gè)三角形全等判定定理后不久的27名學(xué)生調(diào)查：“你是如何學(xué)習(xí)三角形全等判定的”？學(xué)生只給出了三角形全等判定的結(jié)論，追問(wèn)學(xué)生“老師讓你們畫(huà)圖驗(yàn)證了嗎”？學(xué)生點(diǎn)頭，但說(shuō)不出是怎樣畫(huà)的. 進(jìn)一步訪談，印證了我們的猜想：學(xué)生雖然經(jīng)歷了尺規(guī)畫(huà)圖驗(yàn)證，但更多的是按教師規(guī)定的步驟操作，多數(shù)學(xué)生甚至不知道為什么畫(huà)圖.

GeoGebra為5個(gè)三角形全等的判定定理的整合設(shè)計(jì)和系統(tǒng)思考，帶來(lái)了便利. 指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行三角形全等判定探索時(shí)，我們引導(dǎo)學(xué)生思考的主要問(wèn)題有：(1)三角形構(gòu)成元素有哪些？(2)判定三角形全等需要哪些要素？需要幾個(gè)要素？(3)如何驗(yàn)證我們的猜想？特別是重點(diǎn)討論問(wèn)題(2)，引導(dǎo)學(xué)生思考可以逐一增加元素個(gè)數(shù)或逐一減少元素個(gè)數(shù)，并有序地將一個(gè)元素、兩個(gè)元素列舉出來(lái)并利用GeoGebra進(jìn)行驗(yàn)證，體會(huì)“當(dāng)畫(huà)出的三角形不能唯一確定時(shí)，相當(dāng)于否定了給出的判定條件”. 當(dāng)三個(gè)條件時(shí)，有序地列舉出所有三個(gè)條件的情況(見(jiàn)表1)，并依次對(duì)上述六種情況驗(yàn)證.

表1 三個(gè)條件對(duì)應(yīng)相等的三角形

在完成一般三角形探究之后，提出思考問(wèn)題：兩邊和其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等(邊邊角SSA)，會(huì)得到兩個(gè)滿足條件的三角形，即邊邊角SSA條件不能判定三角形全等. 如果將三角形特殊化，如等腰三角形、等邊三角形或直角三角形，邊邊角SSA條件是否成立？事實(shí)上，這也是進(jìn)行真正的數(shù)學(xué)研究的一種思路，即當(dāng)條件一般化受阻后，再增加條件或條件特殊化，探討結(jié)論是否成立.

1.3 自主探索-四邊形全等條件

以學(xué)生為主體進(jìn)行基于GeoGebra探究四邊形全等判定條件時(shí)，學(xué)生經(jīng)歷了以下過(guò)程：?jiǎn)栴}提出、合理猜想、驗(yàn)證猜想、與演繹證明初步聯(lián)系.

(1)問(wèn)題提出

發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題是思維的起點(diǎn)，因此我們沒(méi)有讓學(xué)生直接探究四邊形全等判定條件，而是創(chuàng)設(shè)學(xué)生提問(wèn)題的機(jī)會(huì)：“通過(guò)對(duì)一般三角形全等判定條件的探索，你覺(jué)得有哪些類似問(wèn)題可以探究”？我們預(yù)設(shè)的問(wèn)題來(lái)自以下兩個(gè)方向：特殊三角形全等的判定，如等腰三角形全等的判定條件(從一般三角形到特殊三角形)；多邊形全等的判定，如四邊形全等判定的條件(從三角形到多邊形).

學(xué)生并沒(méi)有如我們預(yù)想的方向提出研究問(wèn)題，而是空泛地提出如何應(yīng)用三角形全等判定定理解決問(wèn)題. 這恰是教師教學(xué)習(xí)慣的真實(shí)映照：學(xué)完定理，只關(guān)注到用定理解決問(wèn)題(考試的內(nèi)容)，而漠視對(duì)定理的延拓(非直接考試的內(nèi)容)，致使我們的學(xué)生只會(huì)解題而對(duì)問(wèn)題本身探索的意識(shí)和能力匱乏.

貴州9個(gè)地區(qū)土壤對(duì)Cd的吸附△Go<0，說(shuō)明吸附反應(yīng)可自發(fā)進(jìn)行。在相同pH條件下，土壤對(duì)重金屬的吸附量與初始濃度呈正相關(guān)；在不同pH條件下，土壤對(duì)重金屬Cd的吸附量隨pH升高而逐漸增大。

(2)合理猜想

合理猜想四邊形全等判定的條件時(shí)，有學(xué)生類比三角形全等的研究過(guò)程，提出可逐一增加對(duì)應(yīng)相等的元素(邊或角)個(gè)數(shù)(1、2、3、4……)或減少元素個(gè)數(shù)(7、6、5、4……)的探究路徑. 也有學(xué)生認(rèn)為四邊形判定的條件無(wú)需從頭開(kāi)始考察，可以借助三角形全等的已有判定條件，再添加條件的探究思路. 后者思路在教師的啟發(fā)下得到學(xué)生的認(rèn)同后，學(xué)生借助三角形SSS、SAS、ASA及AAS的判斷定理，增加一個(gè)條件，提出四邊形全等判定猜想命題.

在課程中，學(xué)生小組合作完成在三角形全等已有判定條件基礎(chǔ)上的所有四個(gè)條件的猜想并整理、查看是否有重復(fù)條件.

(3)驗(yàn)證猜想

以驗(yàn)證猜想1：四條邊對(duì)應(yīng)相等的四邊形是全等四邊形(SSSS)為例，說(shuō)明驗(yàn)證過(guò)程.

學(xué)生能將在GeoGebra探究三角形SSS的經(jīng)驗(yàn)遷移過(guò)來(lái)，知道這個(gè)問(wèn)題可以轉(zhuǎn)換為已知四邊形的4條邊長(zhǎng)，先求作這個(gè)四邊形，然后再探討. 畫(huà)出滿足猜想條件的四邊形如果唯一，相當(dāng)于猜想成立；如果四邊形不唯一，則猜想不成立. 為統(tǒng)一，我們先讓學(xué)生做一個(gè)具體的四邊形ABCD，其中AB=5，BC=3，CD=2，AD=4，然后再探究四邊形ABCD的唯一性問(wèn)題.

學(xué)生借助GeoGebra畫(huà)圖時(shí)，遇到一個(gè)難題：C點(diǎn)在以B為心半徑為3的圓上，D點(diǎn)在以A為心半徑為4的圓上，如何確定CD=2. 于是我們啟發(fā)學(xué)生，先將C點(diǎn)取定后，再確定D點(diǎn)(見(jiàn)圖1).

圖1

圖2

圖3

(4)與演繹推理初步聯(lián)系

學(xué)生經(jīng)過(guò)探究，發(fā)現(xiàn)四個(gè)條件的猜想都不成立. 于是引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步思考，在四個(gè)條件基礎(chǔ)上加一個(gè)什么條件能否判定全等？在五個(gè)條件的探究過(guò)程中，通過(guò)GeoGebra畫(huà)圖找到可以判定四邊形全等的條件后，如四個(gè)邊和其中一個(gè)內(nèi)角(SSSSA)，對(duì)于數(shù)學(xué)能力好的學(xué)生，我們嘗試讓其從演繹推理的角度證明判定條件成立. 事實(shí)上，在我們的課堂實(shí)踐中，有些數(shù)學(xué)能力好的學(xué)生在利用GeoGebra作圖驗(yàn)證的過(guò)程中，已經(jīng)開(kāi)始注意到其中用到了三角形全等條件，并嘗試進(jìn)行證明. 從學(xué)生的表現(xiàn)來(lái)看，我們相信在這樣的探究中能夠指導(dǎo)學(xué)生從初步的驗(yàn)證到演繹推理的進(jìn)階.

2 結(jié)論

通過(guò)“基于GeoGebra的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”的校本課程的實(shí)踐，我們得到的結(jié)論是：GeoGebra可以為數(shù)學(xué)教與學(xué)搭建高認(rèn)知的平臺(tái).

首先，它解決了“探究學(xué)習(xí)”的難點(diǎn)問(wèn)題：創(chuàng)設(shè)一個(gè)以“學(xué)”為中心的“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”情境，使學(xué)生愿意并真正有機(jī)會(huì)自主地探索，這樣的情境不借助信息技術(shù)是很難完成的. 上述探究四邊形全等條件的過(guò)程中，至少需要五個(gè)條件才能判定四邊形全等的結(jié)論是學(xué)生通過(guò)一系列探究活動(dòng)得出的，在此過(guò)程中學(xué)生的數(shù)學(xué)思考得到發(fā)展：通過(guò)類比推廣提出問(wèn)題；在已有研究基礎(chǔ)上做出合理的猜想；探究過(guò)程中，根據(jù)條件畫(huà)出圖形唯一，就相當(dāng)于給出了判定條件；探究全等判定條件的過(guò)程能夠給推理證明以啟發(fā). 需要警惕的是，以思維含量極低的問(wèn)題牽引的操作，被認(rèn)為是探究的誤區(qū).

其次，以課本內(nèi)容為基礎(chǔ)，在學(xué)生最近發(fā)展區(qū)內(nèi)適度擴(kuò)展學(xué)習(xí)的邊界，創(chuàng)設(shè)校本課程，不僅鞏固了課本內(nèi)容，也拓寬了學(xué)生的視野，提升了學(xué)習(xí)能力. 上述的四邊形全等條件的探索就是三角形全等條件的探索方法的遷移，學(xué)生探究的過(guò)程及結(jié)果證明了我們的研究假設(shè)：學(xué)生可以完成四邊形全等條件的探索. 在這個(gè)過(guò)程中，學(xué)生不僅加深了對(duì)三角形全等條件的整體理解，同時(shí)提升了學(xué)生探究的能力. 需要澄清的是，課程標(biāo)準(zhǔn)和考試大綱是針對(duì)國(guó)家課程的，地方課程和校本課程在學(xué)生學(xué)有余力及最近發(fā)展區(qū)內(nèi)，是可以適度突破的.

第三，為教學(xué)整體設(shè)計(jì)帶來(lái)了更多的可能，為學(xué)生系統(tǒng)思考提供了抓手. 前述的“三角形全等條件的探索”就是教材整體設(shè)計(jì)的示范，這樣的學(xué)習(xí)不僅可以使學(xué)生系統(tǒng)掌握相關(guān)的知識(shí)技能，而且可以讓學(xué)生親身體驗(yàn)一下數(shù)學(xué)創(chuàng)造與發(fā)現(xiàn)的過(guò)程，以提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力及創(chuàng)新意識(shí)，這對(duì)于深化教育改革，全面落實(shí)核心素養(yǎng)培養(yǎng)目標(biāo)，將具有重要的促進(jìn)作用和十分重要的現(xiàn)實(shí)意義. 需要指出的是，并列結(jié)構(gòu)的學(xué)習(xí)內(nèi)容，“線性”、“并聯(lián)”方式設(shè)計(jì)各有利弊，但從思維水平和學(xué)習(xí)能力的相應(yīng)提升，以及建立良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)而言，后者利大于前者.

3 建議

國(guó)務(wù)院2017年1月頒布了《國(guó)家教育事業(yè)發(fā)展“十三五”規(guī)劃》，明確提出將大力在全國(guó)推進(jìn)信息技術(shù)與教育教學(xué)深度融合. 作為數(shù)學(xué)學(xué)科，欲形成“課堂用、經(jīng)常用、普遍用”的信息化教學(xué)新常態(tài)，需要強(qiáng)化信息技術(shù)與數(shù)學(xué)教學(xué)融合的四個(gè)意識(shí)：

第一，工具意識(shí). 信息技術(shù)是教師教的工具，也是學(xué)生學(xué)的工具；是呈現(xiàn)、獲取數(shù)學(xué)知識(shí)的便捷手段，也是探究、解決問(wèn)題的有力工具.

第二，學(xué)習(xí)意識(shí). 信息技術(shù)頻繁迭代，共享、便捷、功能強(qiáng)大是方向，但作為教學(xué)手段也需要學(xué)習(xí)研磨和與時(shí)俱進(jìn). 選擇易得、易學(xué)，突出數(shù)學(xué)本質(zhì)的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)軟件作為日常教與學(xué)的手段，是有效且持久開(kāi)展信息技術(shù)與數(shù)學(xué)教學(xué)融合的基礎(chǔ).

第三，課程意識(shí). 信息技術(shù)不僅帶來(lái)的是教與學(xué)方式的改變，而且也帶來(lái)了學(xué)習(xí)內(nèi)容的改變，固守顯見(jiàn)的考試內(nèi)容而不顧學(xué)生核心素養(yǎng)培養(yǎng)的教學(xué)觀是不可取的. 在技術(shù)極速變化的時(shí)代，作為教師應(yīng)該借助信息技術(shù)，適度延拓已有的教學(xué)內(nèi)容，開(kāi)發(fā)校本課程.

第四，發(fā)展意識(shí). 信息技術(shù)除了可以讓學(xué)習(xí)知識(shí)技能變得更直觀簡(jiǎn)單，而且可以提供數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的平臺(tái)，促進(jìn)學(xué)生探究意識(shí)和能力的提升. 因此，基于信息技術(shù)的探究學(xué)習(xí)，更需要教師從學(xué)生發(fā)展的角度，不僅是牽引學(xué)生爬上教師精心設(shè)計(jì)的腳手架操作，還需要從創(chuàng)設(shè)發(fā)現(xiàn)、提出問(wèn)題的時(shí)機(jī)，以及體驗(yàn)分析問(wèn)題的角度，經(jīng)歷解決問(wèn)題的全過(guò)程.