基于拋物線的一條性質(zhì)的類比推廣

張留杰

(北京市陳經(jīng)綸中學(xué) 100020)

眾所周知，橢圓、雙曲線、拋物線均是由一個(gè)平面截圓錐所得的平面圖形，所以這三種曲線具有許多共同的幾何性質(zhì)．在教學(xué)和研究中，我們應(yīng)該善于從一種圓錐曲線的特殊性質(zhì)入手，試圖將這種性質(zhì)類比推廣到另外兩種曲線上，進(jìn)而探究該性質(zhì)背后蘊(yùn)含的圓錐曲線的一般特征，揭示問題的本質(zhì)．下面以一道高考試題為例，談?wù)勌骄繗v程．

(Ⅰ)求拋物線C的方程，并求其焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；

(Ⅱ)求證：A為線段BM的中點(diǎn)．

1 試題的解答與反思

圖1

2ky2-2y+1=0，

又直線OP的方程為y=x，MA⊥x軸且交OP于點(diǎn)A，所以A(x1,x1)；

所以點(diǎn)A是線段BM的中點(diǎn)．

2 試題的縱向、橫向推廣

經(jīng)過探究，若點(diǎn)D是y軸上的動(dòng)點(diǎn)，可將試題做如下推廣．

結(jié)論1如圖2，過y軸上一點(diǎn)D(0,y0)作拋物線C：y2=2px的切線DP，切點(diǎn)為P，過點(diǎn)D引直線l與拋物線交于不同兩點(diǎn)M、N，過點(diǎn)M作x軸的垂線分別與直線OP、ON交于點(diǎn)A、B，則點(diǎn)A是線段BM的中點(diǎn)．

圖2

證明設(shè)切線DP：y=hx+y0，P(xP,yP)，

①

解得y=2y0，即yP=2y0，

設(shè)直線l：y=kx+y0，M(x1,y1)，N(x2,y2)，

所以點(diǎn)A是線段BM的中點(diǎn)．命題得證．

能否將此結(jié)論類比到有心圓錐曲線呢？如果將原點(diǎn)O看作拋物線的頂點(diǎn)，則可以類比到橢圓、雙曲線過頂點(diǎn)的切線，于是得出如下結(jié)論(以橢圓為例)：

圖3

設(shè)直線l：y-y0=k(x+a)，

M(x1,y1)，N(x2,y2)，

所以將x=x1分別代入方程①、②可得

要證點(diǎn)A是線段BM的中點(diǎn)，

根據(jù)它們的坐標(biāo)只需證yB+yM=2yA，

(x1+a)(x2+a)=x1x2+a(x1+x2)+a2

所以代入③式，只需證明

?2aky0+2a2k2-2aky0-2a2k2=0.

顯然成立．故點(diǎn)A是線段BM的中點(diǎn)．

類似地，對于雙曲線，該結(jié)論也成立．

3 試題蘊(yùn)含的一般規(guī)律

上述結(jié)論中的點(diǎn)D能否弱化為圓錐曲線外任一點(diǎn)呢？過點(diǎn)M的垂線又如何隨切線的變化而變化呢？經(jīng)過一番鏖戰(zhàn)，得出更具有一般性的結(jié)論如下：

結(jié)論3點(diǎn)D是圓錐曲線W外一點(diǎn)，過點(diǎn)D引曲線W的兩條切線DP、DQ，切點(diǎn)分別為P、Q．過點(diǎn)D引曲線W的割線l交曲線于兩個(gè)不同點(diǎn)M、N，過點(diǎn)M作切線DQ的平行線分別與直線QP、QN交于點(diǎn)A、B．則點(diǎn)A是線段BM的中點(diǎn)．

圖4

證明(以橢圓為例)如圖4，以點(diǎn)Q為坐標(biāo)原點(diǎn)，切線DQ所在直線為x軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系．設(shè)曲線W的方程為ax2+bxy+cy2+dx+ey=0，D(t,0)(t≠0)，根據(jù)極點(diǎn)與極線的關(guān)系，可得切點(diǎn)弦QP的直線方程為：(2at+d)x+(bt+e)y+dt=0，

因?yàn)镻Q過原點(diǎn)，則d=0，

所以QP的方程化為2atx+(bt+e)y=0．

設(shè)直線l：x=hy+t，M(x1,y1)，N(x2,y2)，

由直線MA平行于DQ可得

(ah2+bh+c)y2+(2aht+bt+e)y+at2=0，

依題意，要證點(diǎn)A是BM的中點(diǎn)，

只需證明xM+xB=2xA，即證

?(2aht+bt+e)y1y2+at2(y1+y2)=0

故點(diǎn)A是線段BM的中點(diǎn)．命題得證．

經(jīng)過層層探究，得出更一般的結(jié)論，凸顯了這道高考試題豐富的內(nèi)涵，彰顯了類比猜想的魅力，正如牛頓所說“沒有大膽的猜想，就做不出偉大的發(fā)現(xiàn)”，以此與大家共勉．