一道數(shù)學(xué)綜合題的思考之路

（江蘇省淮陰中學(xué)開(kāi)明校區(qū)）

近日，筆者所在的江蘇省淮陰中學(xué)教育集團(tuán)進(jìn)行了一場(chǎng)九年級(jí)階段性測(cè)試，作為數(shù)學(xué)閱卷負(fù)責(zé)人，筆者對(duì)試卷的最后一道壓軸題思考頗多，現(xiàn)將思考過(guò)程與各位同仁交流如下.

一、題目再現(xiàn)

題目如圖1，在△ABC中，AB=5，AC=9，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿射線AB方向以每秒5個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，以相同的速度在線段AC上由C向A運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，點(diǎn)P，Q同時(shí)停止運(yùn)動(dòng).以PQ為邊作正方形PQEF（點(diǎn)P，Q，E，F(xiàn)按逆時(shí)針排序），以CQ為邊在AC上方作正方形QCGH，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t．

（1）求tanA的值；

（2）當(dāng)△APQ為等腰三角形時(shí)，求t的值；

（3）當(dāng)t為何值時(shí)，正方形PQEF的頂點(diǎn)F落在正方形QCGH的邊上，直接寫(xiě)出t的值.

圖1

題目提供的參考答案非常簡(jiǎn)潔，第（1）（2）小題自然無(wú)需研究，關(guān)鍵是第（3）小題，答案是怎么得到的？

二、解決問(wèn)題

憑借幾何畫(huà)板軟件的演示效果，以及空間想象，我們確定點(diǎn)F落在正方形QCGH的邊上只有兩種情況.

情況1：如圖2，當(dāng)點(diǎn)F落在邊HG上時(shí)，

圖2

作PM⊥AC于點(diǎn)M，交GH的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N.

因?yàn)锳P=CQ=5t，

所以PM=3t，AM=4t.

則MQ=9-9t.

由△PMQ≌△FNP，

得PN=9-9t.

因?yàn)镸N=HQ=QC，

所以9-9t+3t=5t.

解得

情況2：如圖3，當(dāng)點(diǎn)F落在邊GC上時(shí)，

作PM⊥AC于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)P作TN⊥GC于點(diǎn)N.

因?yàn)锳P=CQ=5t，

所以PM=3t，AM=4t.

則QM=9t-9.

由△QTP≌△PNF，

得PN=PM=3t.

因?yàn)門(mén)N=QC，

所以9t-9+3t=5t.

解得

因?yàn)?/p>

所以

上述問(wèn)題似乎得到圓滿解決，可是仔細(xì)想想，問(wèn)題很多.

圖3

三、思考之路

1.如何分類

因?yàn)檎叫蜵CGH有4條邊，所以點(diǎn)F落在正方形QCGH的邊上應(yīng)該分為四類：點(diǎn)F落在邊QH上；點(diǎn)F落在邊HG上；點(diǎn)F落在邊GC上；點(diǎn)F落在邊CQ上.另外兩類為什么不考慮？學(xué)生在考試中不能利用幾何畫(huà)板軟件，空間想象力又達(dá)不到，該怎么辦？當(dāng)然，計(jì)算是最有說(shuō)服力的方法.

情況3：如圖4，當(dāng)點(diǎn)F落在邊QH上時(shí)，作PM⊥AC于點(diǎn)M.

圖4

因?yàn)锳P=CQ=5t，

所以PM=3t，AM=4t.

則QM=9-9t.

由△PMQ是等腰直角三角形，得

PM=MQ.

所以9-9t=3t.

解得

情況4：如圖5，當(dāng)點(diǎn)F落在邊AC上時(shí)，作PM⊥AC于點(diǎn)M.

圖5

因?yàn)锳P=CQ=5t，

所以PM=3t，AM=4t.

則QM=9t-9.

由△PMQ是等腰直角三角形，

得PM=MQ.

所以9t-9=3t.

2.如何畫(huà)圖

事實(shí)上，上述圖形比較難畫(huà)，這也是學(xué)生解題時(shí)遇到的最大困難.若先在∠A的兩邊上取AP=CQ，確定點(diǎn)P，Q的位置，再畫(huà)出正方形PQEF，此時(shí)的點(diǎn)F很難恰巧就在正方形QHGC的邊上，要么將就，要么就通過(guò)不斷調(diào)整點(diǎn)P，Q的位置來(lái)達(dá)到要求.可是即便如此，點(diǎn)F落在邊QH上和邊CQ上還是畫(huà)不好，因?yàn)楦静豢赡?

怎樣才能既快又好地畫(huà)出體現(xiàn)題意的圖形呢？分析發(fā)現(xiàn)：此題畫(huà)圖的關(guān)鍵是畫(huà)出兩個(gè)正方形的相對(duì)位置，而AP與CQ雖然相等，但是不畫(huà)相等不影響解題.于是可以采用逆向畫(huà)圖的方法：（1）先畫(huà)出正方形QHGC；（2）在正方形的一條邊上取一點(diǎn)F；（3）以FQ為對(duì)角線畫(huà)正方形QPFE；（4）最后畫(huà)∠CAP.

下面以圖4為例分步畫(huà)圖，如圖6所示.

圖6

這樣的圖形基本上準(zhǔn)確地表達(dá)了題意（除了AP，CQ不相等外），更方便了計(jì)算.

3.如何取舍

研究不存在的兩解如何舍去，也就自然涉及到另外兩解為什么合理.

圖2中，當(dāng)時(shí)，所以NH＜NF＜NG，即點(diǎn)F在邊HG上.

圖4中，當(dāng)時(shí)，F(xiàn)Q=6t，HQ=5t.因?yàn)?t＞5t，所以FQ＞HQ，即點(diǎn)F不在邊HQ上.

圖5中，當(dāng)時(shí)，F(xiàn)Q=6t，QC=5t.因?yàn)?t＞5t，所以QF＞QC，即點(diǎn)F不在邊QC上.

綜上可得，是不符合題意的.同時(shí)這一過(guò)程也讓我們進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)，情況1和情況2必須通過(guò)計(jì)算、比較，才能判斷點(diǎn)F一定在邊HG，GC上.情況3和情況4無(wú)需計(jì)算t的值，只要通過(guò)比較，就可以判斷點(diǎn)F不可能在邊HQ，QC上.

4.還可以如何計(jì)算

考慮到此題4種情況畫(huà)圖難度大，且需要進(jìn)行比較、取舍，聯(lián)想到平面直角坐標(biāo)系，此題可以通過(guò)建立平面直角坐標(biāo)系來(lái)解決問(wèn)題.

以點(diǎn)A為原點(diǎn)，AC所在直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系.

當(dāng)點(diǎn)P，Q所在直線垂直于x軸時(shí)，因?yàn)锳M+CQ=9，所以4t+5t=9.解得t=1.

① 當(dāng)0＜t≤1時(shí)，如圖7，作PM⊥AC于點(diǎn)M，作FN⊥MP交MP的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N.

圖7

因?yàn)锳P=CQ=5t，

所以PM=3t，AM=4t.

則MQ=9-9t.

由△PMQ≌△FNP，

得NP=9-9t，NM=9-9t+3t=9-6t.

此時(shí)N(4t，9-6t)，F(xiàn)(7t，9-6t).

若點(diǎn)F落在QH上，

則點(diǎn)F，H的橫坐標(biāo)相等，

所以7t=9-5t.

解得

此時(shí)，點(diǎn)F的縱坐標(biāo)為點(diǎn)H的縱坐標(biāo)為

因?yàn)?/p>

所以點(diǎn)F不在邊QH上.

若點(diǎn)F落在HG上，

因?yàn)辄c(diǎn)F，H的縱坐標(biāo)相等，

所以5t=9-6t.解得

此時(shí)，點(diǎn)F的橫坐標(biāo)為點(diǎn)H的橫坐標(biāo)為點(diǎn)G的橫坐標(biāo)為9.

因?yàn)?/p>

所以點(diǎn)F在邊HG上.

②當(dāng)時(shí)，如圖8，作PM⊥AC于點(diǎn)M，作PN⊥PM交PM的平行線GC于點(diǎn)N.

圖8

因?yàn)锳P=CQ=5t，所以PM=3t，AM=4t.

則MQ=9t-9.

由△PMQ≌△PNF，

得PN=3t，NF=9t-9.

此時(shí)N(7t，3t)，F(xiàn)(7t，9-6t).（這時(shí)發(fā)現(xiàn)點(diǎn)F的坐標(biāo)表達(dá)式不變.）

若點(diǎn)F落在GC上，

因?yàn)辄c(diǎn)F，C的橫坐標(biāo)相等，

所以

此時(shí)，點(diǎn)F的縱坐標(biāo)為點(diǎn)G的縱坐標(biāo)為

因?yàn)?/p>

所以點(diǎn)F在邊GC上.

若點(diǎn)F落在CQ上，因?yàn)辄c(diǎn)F，C的縱坐標(biāo)相等，

所以

此時(shí)，點(diǎn)F的橫坐標(biāo)為點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為9.

因?yàn)?/p>

所以點(diǎn)F不在邊CQ上.

綜上可得

四、解題感悟

1.分類是方向

關(guān)于分類，《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中指出，分類是一種重要的數(shù)學(xué)思想，在研究數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程中，常常需要通過(guò)分類討論解決問(wèn)題，分類的過(guò)程就是對(duì)事物共性的抽象過(guò)程.教學(xué)活動(dòng)中，要使學(xué)生逐步體會(huì)為什么要分類，如何分類，如何確定分類的標(biāo)準(zhǔn)……

此題是由點(diǎn)P，Q的運(yùn)動(dòng)而產(chǎn)生不同的情況，因此，必須考慮動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的全過(guò)程，即以點(diǎn)F落在正方形QCGH的哪一條邊上作為分類標(biāo)準(zhǔn)，分成四類，這是解題的大方向.至于幾何畫(huà)板軟件的演示，它雖然能夠幫助我們直觀地看到動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程（即符合條件的點(diǎn)只有兩類），但是也只能在教師講解時(shí)幫助學(xué)生理解，在實(shí)際解題中學(xué)生是無(wú)法想象出來(lái)的.

2.畫(huà)圖是關(guān)鍵

數(shù)與形是數(shù)學(xué)中兩個(gè)最古老也是最基本的研究對(duì)象，數(shù)形結(jié)合思想包括以數(shù)解形、以形助數(shù)兩個(gè)方面.此題如果沒(méi)有圖形，求點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間（數(shù)）將無(wú)法進(jìn)行，快速畫(huà)出能夠恰當(dāng)表達(dá)題意的圖形是解題的關(guān)鍵.此題的四個(gè)圖形中有兩個(gè)符合題意，畫(huà)起來(lái)較容易，而另外兩種原本就不存在，如果按照?qǐng)D形的形成順序畫(huà)，就很難畫(huà)出頂點(diǎn)F落在正方形QCGH相關(guān)邊上的正方形，即使勉強(qiáng)畫(huà)出也會(huì)因圖形變形而使計(jì)算陷入困境.逆向畫(huà)圖的方法成功解決了這一困難，至于圖中AP，CQ長(zhǎng)度不等對(duì)解題幾乎沒(méi)有影響.

3.計(jì)算是核心

這里說(shuō)的計(jì)算不僅僅是一般意義上根據(jù)法則和運(yùn)算律的運(yùn)算，而是結(jié)合圖形，構(gòu)造模型、思路可行的綜合思維過(guò)程，準(zhǔn)確的計(jì)算結(jié)果是數(shù)學(xué)綜合能力的展現(xiàn)，也是題目的核心.此題圖2、圖3兩種情況的計(jì)算過(guò)程中緊扣正方形的特征構(gòu)造基本圖形“一線三等角”，列方程解決問(wèn)題，而圖7、圖8通過(guò)建系，不追求形的到位，通過(guò)不同位置的坐標(biāo)特征來(lái)解決問(wèn)題，這也正是數(shù)形結(jié)合的另一方面“以數(shù)解形”的具體體現(xiàn).

4.取舍是點(diǎn)睛

準(zhǔn)確的計(jì)算是核心，答案的取舍可謂點(diǎn)睛之筆，是完美解題的收官動(dòng)作.此題答案的取舍，可以通過(guò)符合題意的畫(huà)圖進(jìn)行，但心中難免忐忑.一般綜合題的答案取舍往往由動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間范圍來(lái)確定，但是此題例外，所有答案均在時(shí)間范圍內(nèi).通過(guò)對(duì)計(jì)算過(guò)程的進(jìn)一步分析發(fā)現(xiàn)，得出答案的過(guò)程都抓住了點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的一個(gè)維度（橫或豎），因此必須檢驗(yàn)另一個(gè)維度是否滿足，建系方法的靈感也就來(lái)源于這一檢驗(yàn)要求，點(diǎn)睛之筆使結(jié)果更加完美，也使解題過(guò)程更加豐富.

［1］中華人民共和國(guó)教育部制定.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

［2］教育部基礎(chǔ)教育課程教材專家工作委員會(huì).《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》解讀［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.