注重強化基本套路 發(fā)揮數(shù)學(xué)育人價值
——以一個特殊梯形性質(zhì)的探究與反思為例

（北京教育學(xué)院朝陽分院）

一、問題分析

眾所周知，平面幾何是研究平面圖形性質(zhì)的科學(xué).因此，平面幾何教學(xué)的重中之重，就是要引導(dǎo)學(xué)生理解平面幾何中一些基本圖形的重要性質(zhì)，掌握研究基本圖形性質(zhì)的路徑方法，獲得運用基本圖形性質(zhì)的探究方法去發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題的基本活動經(jīng)驗,以發(fā)展直觀想象和數(shù)學(xué)推理等關(guān)鍵能力.

事實上，現(xiàn)行中學(xué)平面幾何教材中的概念、定理、公理所對應(yīng)的圖形都能稱為基本圖形.因為，每個幾何概念，每條幾何公理、定理及定理的推論都對應(yīng)著一定的圖形.

可以說，掌握了這些基本圖形的性質(zhì)及其探究過程，不僅意味著學(xué)生理解了平面幾何的概念、定理、公理等重要知識，還學(xué)會了其中蘊含的研究幾何圖形性質(zhì)的基本套路，這才是培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題能力的落腳點.

這個“套路”應(yīng)該是：提出問題后，首先引導(dǎo)學(xué)生思考圖形有哪些基本要素，還有哪些相關(guān)要素，然后研究這些基本要素、相關(guān)要素之間的關(guān)系，包括定性關(guān)系和定量關(guān)系.研究過程要以知識的發(fā)生、發(fā)展過程為線索，按圖形基本要素之間、相關(guān)要素之間的關(guān)系依次展開，使學(xué)生經(jīng)歷“畫圖—觀察—分析—猜想—驗證—證明”的認知過程，為學(xué)生的思維由具體到抽象、由粗略到精細提供載體.

為此，教師可以通過引導(dǎo)學(xué)生研究一些特殊幾何圖形的性質(zhì)，強化學(xué)生對上述研究方法理解和應(yīng)用.本文以下面這道題目為例，進行深入挖掘，以期對讀者有一定的啟發(fā).

題目如圖1，四邊形ABCD中，AB∥DC，E為AD邊上一點，若AB=AE=a，CD=ED=b，且a＜b，過點E作AB的平行線交BC于點F，且EF=c.求證：

在上述問題中，AB∥DC，則四邊形ABCD為梯形.因為AB=AE，CD=ED，所以AB+CD=AE+ED=AD，即在梯形ABCD中，上下底之和等于一腰的長.

這是梯形的一個特例，正因為具有特殊的條件，所以它具有豐富而優(yōu)美的性質(zhì).通過證明性質(zhì)，滲透和強化將梯形問題轉(zhuǎn)化為平行線或三角形問題的轉(zhuǎn)化思想，深化理解添加對角線等特殊線段是將四邊形問題轉(zhuǎn)化為三角形問題的一種常用的轉(zhuǎn)化手段.在整個研究過程中，要先從梯形的組成要素邊和角入手進行分析，再對相關(guān)要素對角線、內(nèi)角平分線等重要線段進行分析.通過上述研究，期待進一步闡明證明思路“是如何想的”以及“如何想到的”.

二、性質(zhì)探究

性質(zhì)1：如圖2，在梯形ABCD中，AB∥DC，且AD=AB+DC，作∠ADC的平分線，交BC于點M，則M為BC的中點.

圖2

圖3

證明：如圖3，作DM與AB的延長線，交于點G，

因為DM為∠ADC的平分線，所以∠1=∠2.

又因為AG∥DC，所以∠G=∠1.

所以∠2=∠G.所以AG=AD.

所以AB+BG=AB+DC.

所以BG=DC.

又因為∠BMG=∠CMD，

所以△BMG≌△CMD.

所以BM=CM，即M為BC的中點.

性質(zhì)2：如圖4，在梯形ABCD中，AB∥DC，且AD=AB+DC，那么∠BAD的平分線與BC的交點M為BC的中點.

圖4

性質(zhì)2的證明與性質(zhì)1相同，進而可得下面的性質(zhì).

性質(zhì)3：如圖5，在梯形ABCD中，AB∥DC，且AD=AB+DC，設(shè)M為梯形ABCD一腰BC的中點，連接MA，MD，則MA，MD分別為∠BAD和∠ADC的平分線.

證明略.

圖5

性質(zhì)4：如圖5，在梯形ABCD中，AB∥DC，且AD=AB+DC，設(shè)M為∠BAD和∠ADC的平分線的交點，則∠AMD=90°.

證明：因為AB∥DC，

所以∠BAD+∠ADC=180°.

所以∠3+∠4+∠1+∠2=180°.

因為M為∠BAD和∠ADC的平分線的交點，

所以2（∠2+∠4）=180°.

所以∠2+∠4=90°.

所以∠AMD=90°.

性質(zhì)5：如圖6，在梯形ABCD中，AB∥DC，且AD=AB+DC，設(shè)M為梯形ABCD一腰BC的中點，在AD上取點E，使AE=AB，連接BE，CE，ME，則有△ABM≌△AEM；△DCM≌△DEM.

圖6

證明略.

性質(zhì)6：在性質(zhì)5的基礎(chǔ)上，可知∠BEC=90°.

證明：因為M為BC的中點，即MB=MC.

由△ABM≌△AEM，可得MB=ME.

所以MB=MC=ME.

所以以點M為圓心，以BC為直徑作圓，點E在圓周上.

所以∠BEC=90°.

性質(zhì)7：如圖7，在梯形ABCD中，AB∥DC，且AD=AB+DC，M為梯形ABCD一腰BC的中點，在AD上取點E，使AE=AB，連接AM，MD，那么梯形ABCD可拼成矩形.

圖7

圖8

證明：因為△AEM和△DEM可以構(gòu)成以AD為斜邊的Rt△AMD，且△ABM≌△AEM，△DCM≌△DEM.

所以，如圖8，△ABM和△DCM也能構(gòu)成以AD為斜邊的Rt△AM′D.

在DA上截取DB′=AB，則AB′=DC.

分別以DB′，AB′為邊，作△DB′M′≌ △ABM，△AB′M′≌ △DCM.

所以矩形AMDM′即為所求.

性質(zhì)8：如圖9，在梯形ABCD中，AB∥DC，且AD=AB+DC，AE=AB，過點E作EF∥AB，交BC于點F，連接BD，交EF于點G，則有FG=GE.

圖9

證明：因為AB∥EF∥DC，

所以

又因為

所以

又因為DC=DE，

所以FG=GE，

即G為EF的中點.

性質(zhì)9：如圖10，在梯形ABCD中，AB∥DC，且AD=AB+DC，AE=AB，過點E作EF∥AB，交BC于點F，連接BD，交EF于點G，連接AC，則EF，BD，AC三線共點.

圖10

證明：由性質(zhì)8可知，BD過EF的中點G.

同理，AC也過EF的中點G.

所以EF，BD，AC三線共點.

性質(zhì)10：如圖10，在梯形ABCD中，AB∥DC，且AD=AB+DC，AE=AB，過點E作EF∥AB，交BC于點F，連接BD，交EF于點G，連接AC，可得即原題目中的

證明：因為AB∥EF∥DC，

所以

且

由①+②，得

又由性質(zhì)8得，

所以

三、研究反思

回顧上述研究過程可以發(fā)現(xiàn)，根據(jù)對已知問題所對應(yīng)的特殊梯形性質(zhì)的探究，至少可以獲得10條性質(zhì)，這些性質(zhì)主要是通過研究梯形的相關(guān)要素，即梯形的一個內(nèi)角平分線、梯形的對角線等相關(guān)要素的關(guān)系而獲得的.這個特殊梯形性質(zhì)的證明過程主要運用了平行線的性質(zhì)、全等三角形、平行截割定理等平面幾何中的重要知識.

當(dāng)然，教師還可以適當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生將這個梯形進一步特殊化.例如，將其變?yōu)橹苯翘菪?，這樣的情形下就與高中解析幾何中學(xué)習(xí)的拋物線聯(lián)系起來了，即得到下面的結(jié)論.

如圖11，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠BCD=90°，且AD=AB+DC，則腰AD的兩個端點A和D在以點E為焦點、BC所在直線為準(zhǔn)線的拋物線上.

圖11

對大多數(shù)學(xué)生而言，上述研究并不十分困難，一般都應(yīng)該能夠完成.教師可以結(jié)合學(xué)生的實際情況，明確分層探究任務(wù)，適當(dāng)提示研究角度或研究思路，將學(xué)生分成若干研究小組，指導(dǎo)學(xué)生根據(jù)不同研究角度開展分組探究，并集中分享、交流研究成果.

利用新的特殊幾何圖形性質(zhì)的具體探究任務(wù)，驅(qū)動學(xué)生在數(shù)學(xué)化的活動中應(yīng)用數(shù)學(xué)的知識和方法，深化數(shù)學(xué)的思想和經(jīng)驗，促進學(xué)生理解研究對象的抽象過程和概念發(fā)生、發(fā)展的完整過程，把握數(shù)學(xué)命題，刻畫圖形運動變化過程中所表現(xiàn)的規(guī)律性.這才是數(shù)學(xué)的內(nèi)核，也是數(shù)學(xué)育人內(nèi)在力量的體現(xiàn).

學(xué)生通過親歷上述基本圖形和特殊圖形性質(zhì)的探究過程，習(xí)得的不僅是經(jīng)歷數(shù)學(xué)化活動的思維方式，獲得的也不僅是自身數(shù)學(xué)發(fā)展所必需的關(guān)鍵能力（如數(shù)學(xué)推理能力、直觀想象能力等），還包括學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)化活動而養(yǎng)成的數(shù)學(xué)品格及健全人格.

對教師而言，上述探究過程可以為學(xué)生創(chuàng)造自主學(xué)習(xí)環(huán)境，營造身心愉悅的教學(xué)氛圍，讓真實的數(shù)學(xué)研究滿足學(xué)生的好奇心與求知欲，享受隨之而來的成就感.同時，還可以創(chuàng)設(shè)以創(chuàng)新精神為指導(dǎo)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的情境，激活學(xué)生的創(chuàng)新思維，以更好地完成培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力的重要任務(wù).

［1］周春荔.平行截割定理（下）［J］.中學(xué)生數(shù)學(xué)（初中版），2017（9）：35-37.

［2］王用華.整體建構(gòu) 突出“套路”：“平行四邊形及其性質(zhì)”教學(xué)設(shè)計［J］.中國數(shù)學(xué)教育（初中版），2016（5）：53-56.

［3］章建躍.章建躍數(shù)學(xué)教育隨想錄［M］.杭州：浙江教育出版社，2017.