“變量與函數(shù)”教學(xué)設(shè)計(jì)與反思

（北京市朝陽(yáng)區(qū)教育研究中心；北京市日壇中學(xué)）

一、內(nèi)容和內(nèi)容解析

1.內(nèi)容

函數(shù)的概念及三種表示方法.

2.內(nèi)容解析

函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)中最重要的概念之一，它是描述現(xiàn)實(shí)世界運(yùn)動(dòng)變化規(guī)律的重要數(shù)學(xué)模型.理解函數(shù)概念，學(xué)會(huì)用函數(shù)的觀點(diǎn)解決數(shù)學(xué)問題和現(xiàn)實(shí)問題，是中學(xué)階段最重要的學(xué)習(xí)任務(wù)之一.

初中階段強(qiáng)調(diào)用函數(shù)描述一個(gè)變化過程.例如，在勻速運(yùn)動(dòng)中，路程隨時(shí)間的變化而變化，路程是時(shí)間的函數(shù)；商品單價(jià)為a，總價(jià)S隨商品數(shù)量n的變化而變化，S是n的函數(shù)；等等.其本質(zhì)是：函數(shù)是兩個(gè)變量之間的一種特殊的對(duì)應(yīng)關(guān)系.函數(shù)概念所反映的基本思想是變化與對(duì)應(yīng)的思想.

函數(shù)的概念和表示方法是后續(xù)學(xué)習(xí)正比例函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等具體函數(shù)的基礎(chǔ).本節(jié)課在結(jié)合具體實(shí)例歸納概括函數(shù)概念的過程中，經(jīng)歷從具體到抽象的認(rèn)知過程，發(fā)展學(xué)生的抽象概括能力.

基于以上分析，確定本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)為：了解函數(shù)概念的內(nèi)涵.

二、目標(biāo)和目標(biāo)解析

1.目標(biāo)

（1）進(jìn)一步了解常量、變量的意義.

（2）在簡(jiǎn)單實(shí)際問題情境中，從常量、變量之間的數(shù)量關(guān)系中抽象出函數(shù)概念，初步感受變化與對(duì)應(yīng)的函數(shù)思想.

（3）結(jié)合實(shí)例，了解函數(shù)的三種表示方法.

2.目標(biāo)解析

達(dá)成目標(biāo)（1）的標(biāo)志：會(huì)指出簡(jiǎn)單實(shí)際問題中的常量和變量，會(huì)說明它們的意義，以及相互關(guān)系.

達(dá)成目標(biāo)（2）的標(biāo)志：能分析簡(jiǎn)單實(shí)際問題中的常量、變量之間的關(guān)系，從具體事例的共同特征中歸納出函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，并抽象出函數(shù)概念.會(huì)運(yùn)用函數(shù)的定義判斷具體事例中兩個(gè)變量間的關(guān)系是否為函數(shù)關(guān)系，能舉出函數(shù)的實(shí)例.

達(dá)成目標(biāo)（3）的標(biāo)志：能說出函數(shù)的三種表示方法（列表法、解析式法和圖象法），能結(jié)合實(shí)例說明三種表示方法各自的特點(diǎn).

三、教學(xué)問題診斷分析

學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了常量和變量的概念，能夠在簡(jiǎn)單實(shí)際問題中找出常量和變量，能夠憑借生活經(jīng)驗(yàn)，分析一些典型實(shí)際問題中的數(shù)量關(guān)系，并能列關(guān)系式表示變量之間的關(guān)系.

學(xué)生對(duì)函數(shù)概念中的“唯一確定”的理解有困難.教學(xué)中應(yīng)突出函數(shù)概念的本質(zhì)和建構(gòu)過程，選擇典型、豐富的實(shí)例，使學(xué)生在分析、歸納、概括實(shí)例共同本質(zhì)屬性的基礎(chǔ)上，感悟函數(shù)概念及其蘊(yùn)涵的思想方法.

用于抽象函數(shù)概念的實(shí)例，應(yīng)注重典型性、豐富性，要注意選擇以解析式、圖象、表格的方式呈現(xiàn)函數(shù)關(guān)系，以利于學(xué)生透過表現(xiàn)形式發(fā)現(xiàn)函數(shù)的共同本質(zhì)特征，從而準(zhǔn)確抽象出函數(shù)概念.

基于以上分析，本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)是：函數(shù)概念的抽象與語(yǔ)言描述.

四、教學(xué)支持條件分析

用解析式、圖象和表格呈現(xiàn)函數(shù)的實(shí)例，可以利用信息技術(shù)使學(xué)生更直觀地“看到”對(duì)應(yīng)關(guān)系.

運(yùn)用平板電腦推送課前檢測(cè)和目標(biāo)檢測(cè)，辨析常量與變量、函數(shù)概念的檢測(cè)題（選擇題），實(shí)時(shí)反饋學(xué)生的完成情況（即正確率，錯(cuò)選情況），組織學(xué)生對(duì)錯(cuò)誤解答進(jìn)行討論交流，再次辨析.運(yùn)用常用工具（如計(jì)算器）、白板課件、投屏展示等功能增強(qiáng)生生交流、師生交流.

五、教學(xué)過程設(shè)計(jì)

1.課前檢測(cè)

（1）北京到杭州的“復(fù)興號(hào)”高鐵列車在軌道上勻速行駛，行駛路程為skm，行駛時(shí)間為th，且滿足關(guān)系式s=350t，則下列說法正確的是（ ）.

（A）行駛路程、速度、時(shí)間三個(gè)量都是變量

（B）路程與速度是變量，時(shí)間是常量

（C）速度與時(shí)間是變量，路程是常量

（D）路程與時(shí)間是變量，速度是常量

（2）向一個(gè)水池中注水，如圖1是注水量變化圖，其中圖上點(diǎn)的橫坐標(biāo)x表示注水時(shí)間（單位：min），縱坐標(biāo)y表示注水量（單位：m3），則下列說法正確的是（ ）.

圖1

（A）時(shí)間、注水量、注水速度三個(gè)量都是變量

（B）時(shí)間與注水量是變量，注水速度是常量

（C）時(shí)間與注水速度是變量，注水量是常量

（D）注水量與注水速度是變量，時(shí)間是常量

【設(shè)計(jì)意圖】課前學(xué)生結(jié)合實(shí)例自主學(xué)習(xí)了常量、變量的概念，檢測(cè)學(xué)生掌握的情況，對(duì)存在的問題及時(shí)辨析反饋，為后面的學(xué)習(xí)打好基礎(chǔ).

2.新課學(xué)習(xí)

例1北京到杭州的“復(fù)興號(hào)”高鐵列車在軌道上勻速行駛，行駛路程為skm，行駛時(shí)間為th，且滿足關(guān)系式s=350t.

問題1：這個(gè)問題中有哪些量？路程、速度、時(shí)間有什么關(guān)系？誰是變量？這兩個(gè)變量之間是什么關(guān)系？

追問1：當(dāng)t=1時(shí)，s的值是多少？當(dāng)t=2時(shí)，s的值呢？當(dāng)t=3時(shí)，s的值呢？當(dāng)t=6.5時(shí)，你能求出s的值嗎？能求出幾個(gè)？當(dāng)t=7.6，8.7，9.8時(shí)，都能求出s的值嗎？都是只能求出一個(gè)嗎？

追問2：t取定任意一個(gè)值時(shí)，s的取值都有這樣一種對(duì)應(yīng)關(guān)系，你能用自己的語(yǔ)言描述一下這樣的關(guān)系嗎？

師生活動(dòng)：學(xué)生回答問題，預(yù)設(shè)回答會(huì)從“s隨t的變化而變化”“當(dāng)t取任意一個(gè)值時(shí)，s的值唯一確定”兩個(gè)方面描述兩個(gè)變量之間的關(guān)系.

【設(shè)計(jì)意圖】從學(xué)生熟悉的行程問題入手，初步分析研究同一變化過程中兩個(gè)變量間對(duì)應(yīng)關(guān)系的思考方向.這兩種描述都可以作為兩個(gè)變量之間的關(guān)系，換一個(gè)情境看看兩者是不是還成立.

例2商場(chǎng)銷售某種商品，已知該商品進(jìn)價(jià)為40元/件，商場(chǎng)工作人員記錄了該商品按不同售價(jià)出售時(shí)每天所獲得的利潤(rùn)，具體數(shù)值如表1所示.

表1

問題2：這是一個(gè)變化的過程嗎？在這個(gè)變化過程中包含哪些量？哪些是變量？

追問：這個(gè)問題沒有給出兩個(gè)變量之間的關(guān)系式，你能看出兩個(gè)變量之間的關(guān)系嗎？剛才描述的兩條結(jié)論還成立嗎？

師生活動(dòng)：教師提出問題，學(xué)生思考并回答.教師要關(guān)注學(xué)生是否能發(fā)現(xiàn)表格中存在“不同的x值，對(duì)應(yīng)的y值相等”的情況.因此，從唯一確定的角度描述兩個(gè)變量之間的關(guān)系更加準(zhǔn)確.

【設(shè)計(jì)意圖】再次經(jīng)歷一次研究函數(shù)關(guān)系的過程，明確研究變化過程中變量問題的思路，能夠模仿描述兩個(gè)變量的關(guān)系.

活動(dòng)1：結(jié)合下列三個(gè)實(shí)際問題，分組討論：這是一個(gè)變化的過程嗎？在這個(gè)變化過程中包含哪些量？哪些是變量？每個(gè)問題中的變量之間是否具有相同的關(guān)系？如果有，這個(gè)相同的關(guān)系是什么？

（1）某登山隊(duì)大本營(yíng)所在地的氣溫為5℃，海拔每升高1 km，氣溫下降6℃，登山隊(duì)員由大本營(yíng)向上登高xkm時(shí)，他們所在位置的氣溫是y℃.

（2）向一個(gè)水池中注水，如圖2是注水量變化圖，其中圖上點(diǎn)的橫坐標(biāo)x表示注水時(shí)間（單位：min），縱坐標(biāo)y表示注水量（單位：m3）.

圖2

（3）如圖3是自動(dòng)測(cè)溫儀記錄的北京市某天24小時(shí)氣溫圖，時(shí)間t（單位：時(shí)），溫度T（單位：℃）.

圖3

師生活動(dòng)：學(xué)生分組合作學(xué)習(xí)，教師關(guān)注學(xué)生能否發(fā)現(xiàn)不同情境中變量間的關(guān)系是存在共性的，以及如何描述共性.

合作學(xué)習(xí)結(jié)束后，教師提問：每個(gè)問題中的變量之間是否具有相同的關(guān)系？學(xué)生回答是具有相同關(guān)系的.

追問：歸納上述這些具體問題的共性，就可以得到一個(gè)非常重要的數(shù)學(xué)概念——函數(shù).你能說說歸納的結(jié)果嗎？

學(xué)生代表匯報(bào)交流，教師展示函數(shù)概念.

【設(shè)計(jì)意圖】通過分析多個(gè)具體的實(shí)際問題，發(fā)現(xiàn)這類問題中兩個(gè)變量之間的關(guān)系是有共性的，從而歸納共性，獲得函數(shù)的概念.

問題3：結(jié)合例2說明什么是“唯一確定”？

追問1：如何判斷一個(gè)變量是否是另一個(gè)變量的函數(shù)？

追問2：兩個(gè)變量的關(guān)系如表2所示，y是x的函數(shù)嗎？

表2

【設(shè)計(jì)意圖】經(jīng)歷實(shí)際問題的分析過程，歸納出函數(shù)概念的本質(zhì)特征，明確根據(jù)概念判斷兩個(gè)變量是否是函數(shù)關(guān)系的幾個(gè)層次，結(jié)合反例辨析函數(shù)概念.

活動(dòng)2：兩人一組，一名學(xué)生列舉生活中變量之間是函數(shù)關(guān)系的例子，另一名學(xué)生判斷舉的例子是否正確.如果不是函數(shù)關(guān)系，說明理由；如果是函數(shù)關(guān)系，指明自變量和函數(shù).交換分工再執(zhí)行一次.

師生活動(dòng)：教師關(guān)注學(xué)生是否能從一個(gè)變化過程有兩個(gè)變量，以及當(dāng)一個(gè)變量的值確定，另一個(gè)變量有唯一確定的值與其對(duì)應(yīng)的角度進(jìn)行辨析.請(qǐng)1組或2組學(xué)生代表匯報(bào)交流.

【設(shè)計(jì)意圖】回歸實(shí)例，對(duì)函數(shù)概念進(jìn)行再認(rèn)識(shí)，滲透用數(shù)學(xué)的眼光看世界的意識(shí).

上述每個(gè)問題中的兩個(gè)變量都具有函數(shù)關(guān)系，有的能用關(guān)于自變量的式子表示函數(shù)與自變量之間的關(guān)系，這種式子叫做函數(shù)的解析式，這種描述函數(shù)的常用方法叫做解析式法.有的能列表格表示具體的函數(shù)，這種表示方法叫做列表法.還有的能畫函數(shù)圖象表示，這種表示具體函數(shù)的方法叫做圖象法.這就是函數(shù)的三種表示方法.雖然方法不同，但都可以表示具體的函數(shù).

問題4：結(jié)合實(shí)例，你能說說這三種表示方法各有什么特點(diǎn)嗎？

歸納：解析式法能準(zhǔn)確地表示對(duì)應(yīng)規(guī)律，列表法直接給出部分函數(shù)值，圖象法直觀地表示變化趨勢(shì).

3.課堂小結(jié)

（1）如何判斷變化過程中的量是常量，還是變量？

（2）如何判斷變量間是否是函數(shù)關(guān)系？

（3）你是如何得到函數(shù)的概念的？

（4）函數(shù)都有哪些表示方法，各有什么特點(diǎn)？

（5）說一說接下來你想繼續(xù)研究函數(shù)的哪些內(nèi)容？從什么角度進(jìn)行研究？

【設(shè)計(jì)意圖】梳理本節(jié)課的重點(diǎn)知識(shí)，加深學(xué)生對(duì)函數(shù)概念的理解，暢想函數(shù)的研究?jī)?nèi)容和角度，交流研究函數(shù)的預(yù)設(shè)思路.

六、目標(biāo)檢測(cè)設(shè)計(jì)

1.小陽(yáng)跟爸爸一起去加油站加油，如圖4是加油機(jī)上的數(shù)據(jù)顯示牌，其中變量是（ ）.

圖4

（A）金額和油量 （B）油量和單價(jià)

（C）金額和單價(jià) （D）單價(jià)、油量和金額

【設(shè)計(jì)意圖】考查學(xué)生對(duì)常量、變量概念的理解.

2.在如圖5所示的計(jì)算器上按下面的程序操作，將結(jié)果填寫在表3中.

圖5

表3

思考：顯示的計(jì)算結(jié)果y是輸入數(shù)值x的函數(shù)嗎？為什么？

【設(shè)計(jì)意圖】考查學(xué)生對(duì)函數(shù)概念的理解.

七、作業(yè)——小組合作課題學(xué)習(xí)

2018年3月，“兩會(huì)”在北京舉行，有一條熱點(diǎn)話題是關(guān)于個(gè)人所得稅的.納稅是每個(gè)公民應(yīng)盡的義務(wù)，繳納的稅款取之于民，用之于民，所以我們的公共交通越來越便利，義務(wù)教育階段免除的費(fèi)用越來越多，……同學(xué)們，你們了解現(xiàn)階段個(gè)人所得稅繳納方案是什么嗎？我們一起來看一看.

實(shí)施時(shí)間：2011年9月1日.

扣除標(biāo)準(zhǔn)：個(gè)稅按3 500元/月的起征標(biāo)準(zhǔn)算.

個(gè)人所得稅稅率表，如表4所示.

表4

個(gè)人所得稅=（工資-3 500）×稅率-速算扣除數(shù).例如，工資為6 000元時(shí)，個(gè)人所得稅=（6 000-3 500）×10%-105=145.

你希望自己第一個(gè)月的工資是多少元？應(yīng)繳稅多少？這個(gè)問題中有沒有變量？變量間是函數(shù)關(guān)系嗎？從函數(shù)角度研究這個(gè)問題，你能得到哪些結(jié)論？能提出什么問題？

【設(shè)計(jì)意圖】用數(shù)學(xué)的眼光看世界，感受函數(shù)是描述現(xiàn)實(shí)世界運(yùn)動(dòng)變化規(guī)律的重要數(shù)學(xué)模型.引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注時(shí)事，增強(qiáng)社會(huì)責(zé)任感.

八、教學(xué)反思

本節(jié)課是將人教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》八年級(jí)下冊(cè)第十九章第一節(jié)“函數(shù)”的內(nèi)容進(jìn)行了整合，主要內(nèi)容是函數(shù)的概念及三種表示方法.函數(shù)概念的本質(zhì)是：函數(shù)是兩個(gè)變量之間的一種特殊的對(duì)應(yīng)關(guān)系.函數(shù)概念所反映的基本思想是變化與對(duì)應(yīng)的思想.

函數(shù)概念具有高度的抽象性，學(xué)生能夠體會(huì)在一個(gè)變化過程中，一個(gè)變量隨另一個(gè)變量的變化而變化，但是對(duì)從“對(duì)于x的每一個(gè)確定的值，y都有唯一確定的值與其對(duì)應(yīng)”這個(gè)角度研究?jī)蓚€(gè)變量之間的關(guān)系有困難，這與數(shù)學(xué)史上人類逐步認(rèn)識(shí)函數(shù)概念的過程是一致的.

為了幫助學(xué)生突破認(rèn)知障礙，筆者對(duì)本節(jié)課進(jìn)行了如下設(shè)計(jì).

1.提供豐富、典型的實(shí)例作為抽象概念的基礎(chǔ)

本節(jié)課設(shè)置了五個(gè)實(shí)例，它們分別以解析式、表格、圖象的形式呈現(xiàn)兩個(gè)變量之間的關(guān)系，這樣做的目的是幫助學(xué)生透過表示形式發(fā)現(xiàn)變化過程中兩個(gè)變量之間的本質(zhì)關(guān)系.理解“唯一確定”是理解函數(shù)概念的難點(diǎn)，例1和例2是教師與學(xué)生共同完成的，并且通過精心設(shè)計(jì)的問題串引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)在變化過程中，存在描述兩個(gè)變量之間的關(guān)系的不同角度，其中從對(duì)應(yīng)的角度描述更準(zhǔn)確.活動(dòng)1的三個(gè)實(shí)例留給學(xué)生進(jìn)行小組合作學(xué)習(xí)，在分析過程中發(fā)現(xiàn)共性，為抽象函數(shù)的概念奠定基礎(chǔ).

2.多角度進(jìn)行概念辨析，加深對(duì)概念的理解

在抽象出函數(shù)概念后設(shè)計(jì)了三個(gè)環(huán)節(jié)來辨析概念，環(huán)節(jié)1是結(jié)合前五個(gè)實(shí)例中任意一個(gè)說明“唯一確定”，通過正例分析明確函數(shù)概念中的三個(gè)層次，即“變化過程”“兩個(gè)變量”“唯一確定”；環(huán)節(jié)2以反例幫助學(xué)生理解“唯一確定”；環(huán)節(jié)3是學(xué)生活動(dòng)，列舉生活中變量之間是函數(shù)關(guān)系的例子，進(jìn)一步加深對(duì)函數(shù)概念的理解.

3.概念應(yīng)用生活化

中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)指出，要通過數(shù)學(xué)學(xué)科的教學(xué)引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，用數(shù)學(xué)的思維理解世界，用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)世界.本節(jié)課設(shè)計(jì)的例子大多具有生活背景，幫助學(xué)生體會(huì)現(xiàn)實(shí)生活中存在大量的函數(shù)關(guān)系的問題.在作業(yè)環(huán)節(jié)，筆者設(shè)計(jì)了用函數(shù)知識(shí)研究生活中的一個(gè)實(shí)際問題——繳納個(gè)人所得稅這樣的課題學(xué)習(xí).

在實(shí)際授課過程中，還有一些需要調(diào)整的地方，問題設(shè)計(jì)還需要更精準(zhǔn).

在活動(dòng)1中，設(shè)計(jì)的問題是：結(jié)合下列三個(gè)實(shí)際問題，分組討論：這是一個(gè)變化的過程嗎？在這個(gè)變化過程中包含哪些量？哪些是變量？每個(gè)問題中的變量之間是否具有相同的關(guān)系？如果有，這個(gè)相同的關(guān)系是什么？

在授課時(shí)，此環(huán)節(jié)耗時(shí)較長(zhǎng)，分析原因是學(xué)生對(duì)于“關(guān)系”的理解還停留在相關(guān)關(guān)系的階段，還不具備函數(shù)關(guān)系的經(jīng)驗(yàn).因此，當(dāng)繼續(xù)問到相同的關(guān)系是什么時(shí)，難以聚焦在“唯一確定”上.要想提問精準(zhǔn)，要更好地理解數(shù)學(xué)，理解學(xué)生，理解技術(shù)，理解教學(xué).

［1］章建躍.函數(shù)概念的抽象與數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)［J］.中小學(xué)數(shù)學(xué)（高中版），2017（10）：66.

［2］章建躍.理解數(shù)學(xué)是教好數(shù)學(xué)的前提［J］.數(shù)學(xué)通報(bào)，2015（1）：61-63.

［3］章建躍.章建躍數(shù)學(xué)教育隨想錄［M］.杭州：浙江教育出版社，2017.

［4］冀偉民.中小學(xué)數(shù)學(xué)課程中函數(shù)內(nèi)容的發(fā)展主線研究［D］.上海：華東師范大學(xué)，2017.