研讀中考試題·培養(yǎng)數(shù)學(xué)素養(yǎng)·提升解題能力
——2017年天津市中考第24題的解題研究與反思

（天津市濱海新區(qū)塘沽第六中學(xué)；天津市教育教學(xué)研究室；天津市濱海新區(qū)塘沽教育中心）

讓學(xué)生在實踐中反思，在反思中體驗，在體驗中感悟，在感悟中提升，這是數(shù)學(xué)教學(xué)的本真，也是筆者研讀2017年天津市中考試卷第24題的切身感受.

一、試題呈現(xiàn)

題目將一個直角三角形紙片ABO放置在平面直角坐標(biāo)系中，點點B(0，1)，點O(0，0).P是邊AB上的一點（點P不與點A，B重合），沿著OP折疊該紙片，得點A的對應(yīng)點A′.

（1）如圖1（1），當(dāng)點A′在第一象限，且滿足A′B⊥OB時，求點A′的坐標(biāo).

（2）如圖1（2），當(dāng)P為AB中點時，求A′B的長.

（3）當(dāng)∠BPA′=30°時，求點P的坐標(biāo)（直接寫出結(jié)果即可）.

圖1

二、試題特色

此題是坐標(biāo)系下的圖形翻折變換，運用圖形與坐標(biāo)、圖形與函數(shù)、圖形與變換等知識，體現(xiàn)知識與能力并用、思想與方法交融的命題特點，也符合“起點低，坡度緩，尾巴翹，寬進嚴出”的命題要求.此題重點考查了學(xué)生的幾何推理能力，思維層次逐步提升，“幾何味”逐步顯現(xiàn)，梯度合理，區(qū)分度較高.邏輯推理是學(xué)生發(fā)展所需要的重要核心素養(yǎng)之一，本著“核心內(nèi)容重點考查”的命題指導(dǎo)思想，命題者在這方面有所側(cè)重，突出對學(xué)生的數(shù)學(xué)思想方法、畫圖能力、計算能力、知識應(yīng)用能力等數(shù)學(xué)素養(yǎng)的考查.

三、解法探究

解析：（1）由翻折的性質(zhì)，得△OPA′≌△OPA.從而得

又由A′B⊥OB，根據(jù)勾股定理，可以求出BA′的長，從而得到點A′的坐標(biāo).

（2）（方法1）由已知，可得∠BAO=30°，∠OBA=60°，AB=2.

因為P為AB中點，∠AOB=90°，

所以O(shè)P=PB=AP=1.

所以△BOP為等邊三角形.

所以∠BOP=60°，且∠POA=∠PAO=30°.

由翻折的性質(zhì)，得△OPA′≌△OPA.

得∠OPA′=∠OPA=120°，且AP=A′P.

從而得∠BOP+∠OPA′=180°.

因此OB∥A′P.

因為OB=A′P=1.

所以四邊形OPA′B是平行四邊形，此時A′B=1.

或者由OB=OP，得四邊形OPA′B是菱形，從而得A′B=1.

閱卷中發(fā)現(xiàn)問題：在證明四邊形OPA′B是菱形時，學(xué)生誤認為對角線互相垂直的四邊形就是菱形，或者多次證明三角形全等.證明時的邏輯關(guān)系不清楚，說明學(xué)生對幾何定理掌握不準(zhǔn)，導(dǎo)致邏輯推理存在問題.

（方法2）由方法1可知 ∠OPA′=∠OPA=120°，且△BOP為等邊三角形，即∠OPB=60°.得 ∠BPA′=60°.又由PB=AP′=1，得到△A′PB為等邊三角形，此時A′B=1.

閱卷中發(fā)現(xiàn)問題：有些學(xué)生不會用，或者不知道直角三角形斜邊上的中線這一性質(zhì)；有些學(xué)生對∠BPA′=60°的證明說不清楚，誤認為是由翻折得到的.

（方法3）由方法1可知△BOP為等邊三角形，即∠OPB=60°.得 ∠POA=∠PAO=30°.由翻折的性質(zhì)，可以得到∠POA′=∠POA=∠BOA′=30°.因為OB=OP，所以O(shè)A′是線段PB的垂直平分線.從而得AB′=A′P=1.

或者如圖2，連接A′A.由方法3可知∠POA′=∠POA=30°.得∠A′OA=60°.從而得△A′OA為等邊三角形.由OP=A′P，得PA是線段A′O的垂直平分線，直接得到BA′=OB=1.

圖2

這就是對基礎(chǔ)知識、基本技能的升華，拋開現(xiàn)象，還原問題本真，也是教師追求的最高目標(biāo)，即教會學(xué)生學(xué)會求知.

閱卷中發(fā)現(xiàn)問題：部分學(xué)生不敢在圖中標(biāo)字母，導(dǎo)致對很簡單的問題表述不清楚.若設(shè)BP與A′O的交點坐標(biāo)為點E，再證垂直平分線就方便了.另外，有些學(xué)生不會運用等腰三角形三線合一的性質(zhì)，導(dǎo)致證明受阻.

（方法4）如圖3，過點A′作A′H⊥Oy于點H.

由方法3可知 ∠AOA′=60°.又由 ∠BOA=90°，得∠HOA′=30°.由已知可證△A′BP為等邊三角形.得∠HBA′=60°.

根據(jù)翻折的性質(zhì)，得

圖3

圖4

（方法5）如圖4，延長A′P交OA于點F，可證得A′P⊥OA.從而求出得到點A′的坐標(biāo)為代入兩點間距離公式，從而可求出A′B的長.

閱卷中發(fā)現(xiàn)問題：部分學(xué)生過點P作PF⊥OA于點F，就認為A′，P，F(xiàn)三點共線，直接得到點A′的坐標(biāo).這里實際上需要先證明三點共線，這一細節(jié)失分嚴重.

第（2）小題思考路徑：研究基本圖形，一種是面對“有形”的狀態(tài)，即圖形是真實存在的，需要在確定的圖形中討論各基本要素的關(guān)系.例如，方法1、方法2、方法3中要求A′B的長，需要找到與A′B相等的線段.由已知條件可知OB=OP=BP=PA=PA′=1.再聯(lián)想基本圖形（平行四邊形、菱形、等邊三角形、等腰三角形）解決問題.此小題命題指向明確，思路順暢，使解法自然生成.另一種則是面對“無形”的狀態(tài)，即圖形的呈現(xiàn)不完整，需要通過適當(dāng)添加輔助線構(gòu)造基本圖形；或者，將已有的知識經(jīng)驗，遷移至新的情境中，使問題得解.例如，方法4、方法5添加輔助線后，用兩點間距離公式求解.

（3）情況1：如圖5，裁一塊與△BOA全等的三角形，滑動折痕OP，使得∠BPA′=30°，找到點A′的位置，可以發(fā)現(xiàn)∠BPA′=∠BA′P=30°.

圖5

因為∠OBA=60°，

所以點A′在y軸上，且OP平分∠AOA′.

（方法1）如圖6，作PH⊥OA于點H，

設(shè)OH=PH=x，則

利用

求得點P的坐標(biāo)為

圖6

圖7

（方法2）如圖7，作PE⊥Oy于點E.

由翻折的性質(zhì)，得從而得再用cos∠BPE=30°可以求出從而求得點P的坐標(biāo)為

（方法3）如圖7，作PE⊥Oy于點E，得BP=A′B=利用△BPE∽△BAO，求出即點P的坐標(biāo)為

（方法4）由已知可得直線OP的解析式為y=x，直線AB的解析式為聯(lián)立方程組可求得點P的坐標(biāo).

情況2：（方法1）如圖8，將點P繼續(xù)向AB方向滑動，得∠BPA′=∠BAO=30°.可知A′P∥Ox.

由∠A=∠A′=30°，∠OBA=60°，得A′P⊥OB.

過點P作PH⊥OA，與OA交于點H.設(shè)OB與A′P的交點為點D，則

在Rt△PHA中，由∠OAB=30°，可得

從而得

因此點P的坐標(biāo)為

圖8

（方法2）由方法1，得在Rt△BDP中，∠BPD=30°，從而可求出點P的坐標(biāo).

（方法3）可先由已知求出直線BA的解析式y(tǒng)=再帶入點P的縱坐標(biāo)求出點P的橫坐標(biāo)即可.

（方法4）利用△BPD∽△BAO，可求出點P的坐標(biāo).

第（3）小題思考路徑：此問中，動點P由AB中點滑動到一般位置，又增加了∠BPA′=30°的條件.通過折紙確定點P的位置，生成新的條件，構(gòu)成新的要素之間的關(guān)系，再作輔助線，得到特殊三角形，還原到解直角三角形，從而求出點P的坐標(biāo).此問主旨是在圖形運動變化（改變位置關(guān)系）的過程中，研究圖形中的要素之間發(fā)生了怎樣的變化（位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系）.

四、反思與提升

第（2）小題的解題方法多，綜合性強，滲透了數(shù)學(xué)基本思想方法和基本技能，值得思考研究.此道小題挖掘題目內(nèi)在的內(nèi)容，合理運用基本圖形，做到了數(shù)形結(jié)合，轉(zhuǎn)化明確，使解法自然生成.在變化過程中，找不變的關(guān)系，并且合理地運用函數(shù)思想、數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化思想、分類討論思想.此題目的3道小題間層層遞進，到第（3）小題達到升華.

第（3）小題需要提升學(xué)生的動手能力，這種方法可以運用到課堂教學(xué)之中.特別在九年級綜合復(fù)習(xí)階段，教師要把手放開，大膽讓學(xué)生去嘗試，讓學(xué)生在做中學(xué)習(xí)，感悟?qū)W習(xí)過程，這也是讓學(xué)生學(xué)會學(xué)習(xí)、學(xué)會求知、學(xué)會建模的理念.提高學(xué)生的畫圖能力也是教師需要提升的理念.理念新了，方法自然就活了.

“真正的數(shù)學(xué)題”應(yīng)該滿足一些基本條件：與重要的數(shù)學(xué)概念和性質(zhì)相關(guān)，體現(xiàn)基礎(chǔ)知識的聯(lián)系性，解題方法自然、多樣，具有自我生長的能力等.2017年天津市中考試卷第24題的3道小題形成一個邏輯聯(lián)系緊密的整體，滲透從特殊到一般的研究方法，關(guān)注核心內(nèi)容，關(guān)注知識聯(lián)系，關(guān)注過程考查，關(guān)注思維層次，關(guān)注試題的思想性，是一道值得師生品味的好題.它可以作為課堂教學(xué)的資源，為教師的“教”和學(xué)生的“學(xué)”服務(wù)，也可提升教師的教學(xué)能力.

“圖形的性質(zhì)”部分的綜合題，出現(xiàn)的圖形比較多，幾何關(guān)系復(fù)雜，突出考查學(xué)生應(yīng)用基本思想方法、基本活動經(jīng)驗去分析和解決問題的能力.在日常教學(xué)中，教師要教會學(xué)生運用已有的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，在復(fù)雜的幾何圖形中，分解出簡單的、基本的圖形，或是通過添加輔助線構(gòu)造基本圖形，合理運用圖形基本性質(zhì)描述、分析和解決問題.

在解決坐標(biāo)系下翻折、旋轉(zhuǎn)、平移變換的問題中，教師可以指導(dǎo)學(xué)生動手折一折、做一做，在做中感悟?qū)W習(xí)過程，還原數(shù)學(xué)本真，感受數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的真諦，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，提升學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題的能力.

［1］劉家良.由形到質(zhì) 異中求同 積淀思想：2014年天津市中考第25題評析及教學(xué)導(dǎo)向［J］.中國數(shù)學(xué)教育（初中版），2015（4）：58-60.

［2］章建躍.發(fā)揮數(shù)學(xué)的內(nèi)在力量 為學(xué)生謀取長期利益［J］.數(shù)學(xué)通報，2013（2）：1-6，10.

［3］姜曉翔.孕育“思維過程” 反思“解題方法”：由一次教師說題比賽芻議“解題教學(xué)”［J］.中國數(shù)學(xué)教育（初中版），2014（7/8）：74-78.

［4］中華人民共和國教育部制定.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

［5］教育部基礎(chǔ)教育課程教材專家工作委員會.《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》解讀［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.