應(yīng)用網(wǎng)絡(luò)空間開展探究式學(xué)習(xí)的探索
——以“三角形全等的判定（1）”的教學(xué)為例

（安徽省淮北市西園中學(xué)）

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出，有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動不能單純地依賴模仿與記憶，動手實(shí)踐、自主探索與合作交流是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式.由于學(xué)生所處的文化環(huán)境、家庭背景和思維方式的不同，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動應(yīng)當(dāng)是一個(gè)生動活潑的、主動的和富有個(gè)性的過程.文章以滬科版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》八年級上冊第十四章第二節(jié)“三角形全等的判定（1）”的教學(xué)實(shí)踐為例進(jìn)行研究，現(xiàn)與大家分享.

一、利用班級空間平臺，前置研究問題

教學(xué)片斷1：憶全等，啟思維.

問題1：關(guān)于全等三角形，你知道些什么？

問題2：怎樣畫一個(gè)三角形和已知三角形全等？

已知如圖1所示的△ABC，畫△A′B′C′，使△A′B′C′≌ △ABC.

圖1

畫圖工具：直尺、量角器、圓規(guī)等.

【設(shè)計(jì)意圖】根據(jù)維果斯基的最近發(fā)展區(qū)理論，與學(xué)生已有認(rèn)知有效銜接.回顧全等三角形的相關(guān)概念，全面感知研究對象，摸清全等三角形的來龍去脈，為后續(xù)研究做好技能與方法的儲備，尤其為規(guī)范表達(dá)埋下伏筆.在畫圖的過程中，學(xué)生必然會主動地尋找需要的條件，在后續(xù)的學(xué)習(xí)活動中，感受到這些條件需要經(jīng)過優(yōu)化和提煉，逐漸形成判定三角形全等的方法．

思考感悟：數(shù)學(xué)家哈爾莫斯說過，問題是數(shù)學(xué)教學(xué)的心臟.有意識地將“疑”設(shè)在新知識的矛盾沖突中，使學(xué)生始終持有懷疑和探究的心理.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)就是對問題的探索與解決的全過程，數(shù)學(xué)教育就是一個(gè)提出、發(fā)現(xiàn)、分析和解決問題的全過程.問題驅(qū)動教學(xué)是提高課堂教學(xué)實(shí)效的有效途徑，更是發(fā)展學(xué)生創(chuàng)新能力的引擎.

教師利用智慧課堂班級空間平臺在課堂教學(xué)的前一天拋出這兩個(gè)問題，就能給學(xué)生留有充足的思考問題的時(shí)間和空間，學(xué)生就會有可能在第二天的課堂學(xué)習(xí)中生成多種大膽而獨(dú)特的想法，可以有效地激發(fā)學(xué)生探索新問題的興趣.同時(shí)，這樣還能優(yōu)化課堂教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生利用多種途徑解決問題的綜合能力，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

二、利用班級互動系統(tǒng)，合作探究問題

教學(xué)片斷2：啟思維，促生長.

師：對于前面的問題，說說你的畫法，還有什么方法？

生1提出了“邊角邊”的方法，同時(shí)明確了畫圖既是“確定”，“確定”既是“全等”．

生2提出了“角邊角”的方法，同時(shí)說明邊是兩角的夾邊.

生3提出了“邊邊邊”的方法，還介紹了三角形的穩(wěn)定性.

生4對生2的說法提出了不同的看法，認(rèn)為兩個(gè)角確定了，第三個(gè)角也就確定了，所以邊不一定是夾邊，也可以是一個(gè)角的對邊，生4認(rèn)為“角角邊”也可以作為判定方法.

教師肯定了生4的說法，表揚(yáng)了生4通過思考或者預(yù)習(xí)，對三角形全等有了一定的認(rèn)識，并適時(shí)追問：為什么判定三角形全等要滿足三個(gè)條件呢？

師生活動：學(xué)生先獨(dú)立思考，然后小組討論，并派代表發(fā)言.師生共同總結(jié)，達(dá)成共識.按照全等三角形的定義，三條邊分別相等、三個(gè)角分別相等是可以判斷兩個(gè)三角形全等的，在上述六個(gè)條件中有些條件是相關(guān)的.可以在這六個(gè)條件中選出部分條件，簡捷地判定兩個(gè)三角形全等.探究三角形全等條件的路徑是從滿足“一個(gè)條件”“兩個(gè)條件”“三個(gè)條件”的順序入手的.

師：滿足一個(gè)條件可以判定兩個(gè)三角形全等嗎？

生5：一個(gè)條件就是一條邊分別相等，或者一個(gè)角分別相等，利用手中的三角板就可以說明.當(dāng)滿足一個(gè)條件時(shí)可以畫無數(shù)個(gè)三角形，不能判定兩個(gè)三角形全等.

師：那么滿足兩個(gè)條件相等時(shí)，我們該如何思考呢？

生6認(rèn)為滿足兩個(gè)條件相等，分為兩邊、一邊一角或兩角分別相等三種情況，并逐一舉例說明不能判定三角形全等.

師：類似上述思考方法，滿足三個(gè)條件相等時(shí)，我們又該怎么思考呢？

生7：按照邊或角分類.

師：具體說說，可以分成幾類？

生8：分成邊邊邊、邊角邊、邊邊角、角邊角、角角邊、角角角共六類.

師：是不是可以說有六種判定方法？

生9：可以確定“角角角”不能判定兩個(gè)三角形全等.例如，三角板中間和外邊的兩個(gè)三角形的三個(gè)角分別相等，但是它們顯然不是全等的.

師：其他同學(xué)還有不同的想法嗎？老師對“邊邊角”能否判定兩個(gè)三角形全等存在疑惑，誰可以幫幫我？

生10：我認(rèn)為“邊邊角”不能判定兩個(gè)三角形全等.我剛才在我的平板電腦上畫出了一個(gè)不全等的反例，請老師給我同屏，讓大家看看.

師：生10的質(zhì)疑和探究精神值得我們學(xué)習(xí)，他說得很好.我們以后在學(xué)習(xí)直角三角形中全等的判定時(shí)，還有會學(xué)到一種方法，當(dāng)斜邊和一組直角邊分別相等時(shí)，兩個(gè)三角形全等，到時(shí)我們會對“邊邊角”做進(jìn)一步的說明.

【設(shè)計(jì)意圖】本節(jié)課的主要教學(xué)內(nèi)容是判定兩個(gè)三角形全等的第1種方法——邊角邊.教材從畫圖開始，先引導(dǎo)學(xué)生分析畫法，然后讓學(xué)生自己動手畫，畫完以后，再讓學(xué)生動手將所畫的三角形剪下來，觀察是否完全重合.在此基礎(chǔ)上，啟發(fā)學(xué)生自己思考：判定兩個(gè)三角形全等需要哪些條件？在實(shí)際的教學(xué)中，筆者讓學(xué)生從整體上認(rèn)識判定兩個(gè)三角形全等的方法，讓學(xué)生先見森林，后見樹木，讓學(xué)生知道知識的生長過程，把教學(xué)重點(diǎn)放在發(fā)展學(xué)生的學(xué)習(xí)能力上，促進(jìn)學(xué)生形成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣和思維品質(zhì)，體現(xiàn)“為學(xué)生的發(fā)展而設(shè)計(jì)”的教學(xué)理念．

思考感悟：心理學(xué)認(rèn)為，信息、知識、智慧是人們認(rèn)識世界的三種境界，完備、有序的知識體系是形成智慧的前提.學(xué)習(xí)并利用“邊角邊”判定兩個(gè)三角形全等的方法是本節(jié)課顯性的數(shù)學(xué)知識，而隱性的學(xué)習(xí)結(jié)果蘊(yùn)藏在教學(xué)過程中，即學(xué)生通過一節(jié)課的學(xué)習(xí)能得到什么.本節(jié)課先追問學(xué)生畫一個(gè)三角形和已知三角形全等為什么需要三個(gè)條件，進(jìn)而理清探究兩個(gè)三角形全等的路徑.除了在教學(xué)準(zhǔn)備階段安排了學(xué)生進(jìn)行操作與探究外，在提出只給定一個(gè)元素、兩個(gè)元素和三個(gè)元素時(shí)能否確定一個(gè)三角形的形狀和大小時(shí)，同樣也安排了學(xué)生參與動手操作和思考探索.允許學(xué)生采取各自解決問題的方案，利用智慧課堂班級互動系統(tǒng)在全班進(jìn)行交流.學(xué)生通過畫圖、觀察和交流，在條件由少到多的過程中逐步探索出最后的結(jié)論.在這個(gè)過程中蘊(yùn)涵轉(zhuǎn)化、分類等數(shù)學(xué)思想.學(xué)生不僅知道了判定兩個(gè)三角形全等的條件，也學(xué)會了一種分析問題的方法，獲得了數(shù)學(xué)活動的體驗(yàn)，使學(xué)生在今后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中受益匪淺．這對于發(fā)展學(xué)生的空間觀念、形成推理意識都具有重要價(jià)值.

三、利用拍照對比講評，架設(shè)展示平臺

教學(xué)片斷3：尋策略，累經(jīng)驗(yàn).

師：今天我們學(xué)習(xí)了判定三角形全等的方法之一——邊角邊.有個(gè)簡單的思路，當(dāng)三角形兩邊和其夾角確定以后，只能畫出一個(gè)三角形就可以說明兩個(gè)三角形全等.現(xiàn)在請同學(xué)們觀看老師制作的微課視頻.（時(shí)間約4.5分鐘，重點(diǎn)操作實(shí)驗(yàn)說明邊角邊和邊邊角能否確定三角形全等，讓學(xué)生對比直觀感受，加深對夾角的認(rèn)識.）

問題1：已知：如圖2，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AD=BC.求證:△ADC≌△CBA.

圖2

學(xué)生自主尋找判定全等條件的方法，完善證明全等的過程書寫.

問題2：如圖3，在湖泊的岸邊有A，B兩點(diǎn)，難以直接量出A，B兩點(diǎn)間的距離.你能設(shè)計(jì)一種測量出A，B兩點(diǎn)間的距離的方案嗎？

圖3

學(xué)生設(shè)計(jì)出如圖4所示的方案：在湖泊外找一點(diǎn)C，連接AC并延長，使AC=A′C，連接BC并延長，使BC=B′C，連接A′B′，則A′B′=AB.

圖4

讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)來源于生活，又服務(wù)于生活的思想.同時(shí)，使學(xué)生進(jìn)一步熟悉推理論證的模式，進(jìn)一步完善證明過程.

【設(shè)計(jì)意圖】例題教學(xué)是課堂教學(xué)的重要組成部分，其質(zhì)量的高低直接影響學(xué)生對知識的掌握情況，同時(shí)，也影響學(xué)生運(yùn)用知識解決實(shí)際問題的能力.例題教學(xué)不是告知，而是多視角的思辨活動.通過對例題的歸納、提煉，達(dá)到解一題、會一類的效果.因此，在設(shè)計(jì)本環(huán)節(jié)時(shí)，筆者先讓學(xué)生獨(dú)立嘗試書寫解題過程，然后利用平板電腦的拍照講解功能充分暴露學(xué)生的思維活動，營造親切、和諧、活躍的課堂氣氛，再通過適時(shí)點(diǎn)撥、引導(dǎo)，盡可能調(diào)動學(xué)生的積極性，讓學(xué)生主動參與到合作探討中來，使學(xué)生在與他人的合作交流中完善證明過程，獲得新知.同時(shí)，利用一個(gè)聯(lián)系實(shí)際生活的問題，對得到的知識加以運(yùn)用，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、分析問題和解決問題的能力.

思考感悟：建構(gòu)主義理論認(rèn)為，學(xué)生是知識意義的主動建構(gòu)者，而不是外界刺激的被動接受者.只有通過切身體驗(yàn)、合作和對話等方式，學(xué)生才能真正完成知識意義的建構(gòu).基于本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)，例題的設(shè)置由易到難，逐層遞進(jìn).讓學(xué)生不斷積累解題方法和經(jīng)驗(yàn)，突出格式化的幾何語言表述，這樣的教學(xué)發(fā)生于課內(nèi)，延伸至課外，一脈相承，對學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的形成有著很好的促進(jìn)作用．在問題1的教學(xué)中，筆者先讓學(xué)生獨(dú)立寫出證明過程，然后同伴之間合作交流，再利用平板電腦拍照對比講解功能收集多個(gè)小組的解答，最后利用同屏投放在“班班通”上供全體學(xué)生辨析.教師在學(xué)生的“幫助”下用畫筆做適當(dāng)?shù)男薷?，然后再給時(shí)間讓學(xué)生糾錯(cuò)，以期達(dá)到良好的學(xué)習(xí)效果.在問題2的教學(xué)中，為了提升學(xué)生運(yùn)用知識的能力，筆者適時(shí)追問：不能直接測量我們該怎么辦？怎么找一邊和已知邊相等？怎樣構(gòu)造全等來證明邊相等？如何用文字去描述？怎樣書寫解題過程？然后讓學(xué)生議一議，做一做，最后讓學(xué)生總結(jié)出解決這一類問題的通法.

課堂中利用網(wǎng)絡(luò)空間與信息技術(shù)的深度融合，拓寬了問題呈現(xiàn)的渠道，增加了上課的容量，也提升了學(xué)生的關(guān)注度.學(xué)生可以根據(jù)自己的實(shí)際情況，調(diào)整學(xué)習(xí)節(jié)奏，自主化學(xué)習(xí).網(wǎng)絡(luò)空間與信息技術(shù)深度融合的課堂，可以滿足學(xué)生個(gè)性化的學(xué)習(xí)訴求，實(shí)現(xiàn)思維的可視化和可聽化，進(jìn)而幫助思維薄弱的學(xué)生通過直觀開啟思維之門，發(fā)展和提升學(xué)生的邏輯思維能力.

［1］潘紅玉.推進(jìn)思辨活動 彰顯示范功能：關(guān)于例題教學(xué)的幾點(diǎn)思考［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（中旬），2015（7）：24-26.