靜電場測繪實(shí)驗(yàn)法與計(jì)算機(jī)模擬法比較分析

王 寶 元

(呂梁學(xué)院汾陽師范分校 數(shù)學(xué)與科學(xué)系，山西 汾陽 032200)

通常情況下，電荷之間的超距作用和場的作用在電荷處于靜止時(shí)并沒有差別，不同的電荷分布導(dǎo)致電場具體性狀存在很大差異.因此，對靜電場線的性狀分布進(jìn)行科學(xué)描述，能夠更加直觀而又全面地展現(xiàn)電場圖像.本文基于實(shí)驗(yàn)測繪法和計(jì)算機(jī)模擬法，結(jié)合穩(wěn)恒電流場和靜電場能夠滿足相同數(shù)學(xué)方程的條件，獲得靜電場分布情況，并對其進(jìn)行測繪.

1 靜電場測繪實(shí)驗(yàn)原理

測繪靜電場場強(qiáng)分布情況有兩種方法：實(shí)驗(yàn)法和計(jì)算機(jī)模擬法.如果僅采用實(shí)驗(yàn)測量方法進(jìn)行測繪，會因?qū)嶒?yàn)操作過程或儀器設(shè)備不當(dāng)而造成各種誤差；同時(shí)，在實(shí)驗(yàn)過程中很難保證穩(wěn)恒電流場與靜電場邊界條件一致，導(dǎo)致理想靜電場分布與實(shí)測數(shù)值之間存在很大出入.采用實(shí)驗(yàn)測量與計(jì)算機(jī)模擬計(jì)算兩種方法，基于靜電場和穩(wěn)恒電流場邊界條件唯一性原理，分別采用兩同軸圓電極和兩平行直電極模型，對真空狀態(tài)下帶等量異號電荷的長平行輸電線和長同軸電纜在任一與導(dǎo)線垂直平面內(nèi)的電場分布情況進(jìn)行模擬[1].

在模擬實(shí)驗(yàn)中，根據(jù)靜電場電荷守恒定律與方程，可知電流場和靜電場電勢u均滿足泊松方程，對于靜電場有：

(1)

其中，ρ為電荷體密度；ε為介電常數(shù)；u為電流場和靜電場電勢.

對于電流場有：

Δ2u=-f.

(2)

其中，f為電流源強(qiáng)度分布.

在式(1)和式(2)中，當(dāng)f=0且ρ=0時(shí)，在該區(qū)域內(nèi)無靜電荷存在.此時(shí)，結(jié)合式(1)和式(2)可得如下調(diào)和方程(也稱拉普拉斯方程)：

Δ2u=0.

(3)

式(3)表示穩(wěn)恒電流場和靜電場二者同時(shí)能夠滿足的數(shù)學(xué)方程式.為了使運(yùn)算結(jié)果簡單化，得到精確的模擬數(shù)值，本文只考慮二維場的存在，則式(3)以二維調(diào)和方程表示為：

(4)

2 靜電場測繪實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ?/h2>

通常對靜電場進(jìn)行測繪時(shí)，采用的主要模型為兩平行直電極和兩同軸圓電極.在兩平行直電極模型(見圖1)中，A與B分別表示連接于均勻?qū)щ姳又械膬蓚€(gè)直柱電極.當(dāng)電源接通后，在導(dǎo)電薄層平面內(nèi)會產(chǎn)生穩(wěn)恒電流場.此時(shí)，穩(wěn)恒電流場邊界條件包括導(dǎo)電媒質(zhì)層與空氣接觸邊緣和兩個(gè)導(dǎo)電極兩部分[2].

圖1中的A和B兩直柱電極均為等勢體，電極條件為第一類邊界條件.在兩種導(dǎo)電媒質(zhì)分界面中，穩(wěn)恒電流場第一類邊界條件與靜電場邊界條件相似，其符合靜電場中電位移法向量和電勢連續(xù)邊界條件，即滿足如下條件：

J1n=J2n.

(5)

其中,j為穩(wěn)恒電流密度；n為電位移法向量.

u1=u2.

(6)

圖1 穩(wěn)恒電流場測繪時(shí)的兩平行直電極模型

結(jié)合歐姆定律可知，在第二類邊界條件中，穩(wěn)恒電場中電場強(qiáng)度和電流密度的法向量為0，即穩(wěn)恒電流電場線與其邊界區(qū)域平行.

圖2為兩同軸圓電極模型，圖中圓柱導(dǎo)體A的軸和半徑為R的圓筒導(dǎo)體B的軸重合.其中，圓柱導(dǎo)體A與圓筒導(dǎo)體B分別與直流穩(wěn)壓電源正負(fù)極相連.當(dāng)圓筒導(dǎo)體B與圓柱導(dǎo)體A接觸某一均勻?qū)щ娒劫|(zhì)薄層時(shí)，此時(shí)會有徑向電流在圓筒導(dǎo)體B與圓柱導(dǎo)體A柱面與筒面之間產(chǎn)生，從而構(gòu)建起一個(gè)穩(wěn)恒電流場.若電極導(dǎo)體和導(dǎo)電媒質(zhì)(如導(dǎo)電紙)分別為導(dǎo)體與絕緣體時(shí)，可將電極表面作為一等勢面.在此狀態(tài)下，導(dǎo)電介質(zhì)中帶有靜電的導(dǎo)體表面同樣為等勢面，即靜電場中電極電勢值屬于第一類邊界條件[3].

圖2 靜電場測繪時(shí)兩同軸圓電極模型

3 靜電場測繪實(shí)驗(yàn)與計(jì)算機(jī)模擬結(jié)果分析

在實(shí)驗(yàn)測繪分析時(shí)，基于有限差分法將電勢所能滿足的一類與二類邊界條件和拉普拉斯方程均轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的差分方程.在此基礎(chǔ)上，基于數(shù)學(xué)迭代方法，對模擬實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，以此求得二維平面內(nèi)靜電場各點(diǎn)電勢的數(shù)值解.最終，分別得到穩(wěn)恒電場兩平行直電極模型下的電勢分布圖(見圖3)與等勢線圖(見圖4)及兩同軸圓電極模型下的靜電場電勢分布圖(見圖5)與等勢線圖(見圖6).

在穩(wěn)恒電場兩平行直電極模型中，分別將半徑r0=0.5 cm的A和B兩電極對稱置于邊長為15 cm的正方形導(dǎo)電媒質(zhì)薄層(導(dǎo)電紙)中心，兩電極圓心相距4 cm，兩電極電源電勢V0=10 V，A和B兩電極電勢分別為5 V和-5 V.從圖3和圖4可以看出，在正方形導(dǎo)電媒質(zhì)薄層(導(dǎo)電紙)邊緣，穩(wěn)恒電場兩平行直電極模型下的等勢線同等勢邊界垂直，由此證實(shí)了模擬實(shí)驗(yàn)中提出的假設(shè)“穩(wěn)恒電流電場線與其邊界區(qū)域平行”.

圖3 穩(wěn)恒電場兩平行直電極模型下的電勢分布圖

圖4 穩(wěn)恒電場兩平行直電極模型下的等勢線

圖5 靜電場兩同軸圓電極模型下的電勢分布圖

圖6 靜電場兩同軸圓電極模型下的等勢線圖

在靜電場兩同軸圓電極模型中，采用同樣的方法分別將r0=0.5 cm的A和B兩電極對稱置于一邊長為15 cm的正方形導(dǎo)電媒質(zhì)薄層(導(dǎo)電紙)中心，兩電極圓心相距5 cm，兩電極電源電勢V0=10 V，A和B兩電極電勢分別為5 V和-5 V，從圖5和圖6中可以看出，電勢在A和B兩電極中心電極周邊變化十分快，離A和B兩電極的中心以及電極越遠(yuǎn)，電勢變化速度越慢.

為了進(jìn)一步凸顯導(dǎo)電媒質(zhì)薄層(導(dǎo)電紙)邊緣的靜電場效應(yīng)，在計(jì)算機(jī)模擬計(jì)算過程中，可使導(dǎo)電媒質(zhì)薄層(導(dǎo)電紙)足夠大，從而確保A和B兩電極均勻置于導(dǎo)電紙中心區(qū)域.在原來15 cm×15 cm的基礎(chǔ)上，適當(dāng)將導(dǎo)電紙放大至75 cm×75 cm，以同樣的電極圓心距離、電源電勢、電極電勢條件，在計(jì)算機(jī)中模擬繪制穩(wěn)恒電場兩平行直電極模型下的等勢線圖和靜電場兩同軸圓電極模型下的等勢線圖，最終得到大導(dǎo)電紙中心部分的等勢線圖(見圖7).

通過對比可以看出，圖4與圖7之間明顯存在差異：遠(yuǎn)離A和B兩電極邊緣等勢線(±3 V，±4 V)無明顯變化，但遠(yuǎn)離A和B兩電極邊緣的等勢線(±1 V，±2 V)發(fā)生了明顯變化；靠近A和B兩電極邊緣的等勢線(±3 V，±4 V)無明顯變化，但靠近A和B兩電極邊緣的等勢線(±1 V，±2 V)發(fā)生了明顯變化.由此表明，距離導(dǎo)電媒質(zhì)薄層(導(dǎo)電紙)邊緣越遠(yuǎn)，導(dǎo)電媒質(zhì)薄層(導(dǎo)電紙)的邊緣效應(yīng)越弱.從圖7可以看出，等勢線幾何形狀與偏心圓接近，與靜電場場強(qiáng)分布理論相符.由此說明，采用計(jì)算機(jī)模擬計(jì)算方法得到的等勢線圖與理想的靜電場場強(qiáng)分布圖更為接近.

圖7 穩(wěn)恒電場與靜電場在大導(dǎo)電紙中心部分的等勢線圖

4 結(jié)語

本研究采用實(shí)驗(yàn)測繪法與計(jì)算機(jī)模擬計(jì)算兩種方法，詳細(xì)對靜電場場強(qiáng)分布狀況進(jìn)行描述.通過定性描述與定量分析，得到了不同邊界條件下的靜電場場強(qiáng)分布等勢線圖.研究結(jié)果表明，基于計(jì)算機(jī)模擬方法模擬靜電場電勢分布狀態(tài)，結(jié)果較為準(zhǔn)確、客觀，能夠減少因?qū)嶒?yàn)操作過程或儀器設(shè)備不當(dāng)帶來的誤差，擬合結(jié)果接近理想的靜電場分布狀況.