利用“三線”破解帶電粒子在電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題

［摘 要］帶電粒子在電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題是高中物理的重要內(nèi)容和高考的考查重點(diǎn)，也是學(xué)生學(xué)習(xí)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，該類(lèi)問(wèn)題涉及知識(shí)點(diǎn)較多、綜合性較強(qiáng)，且命題形式多樣、情境新穎。利用電場(chǎng)線、等勢(shì)線、軌跡線分析相關(guān)物理量和運(yùn)動(dòng)過(guò)程，能輕松解決帶電粒子在電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題。文章具體闡述如何利用三線——電場(chǎng)線、等勢(shì)線、軌跡線破解帶電粒子在電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題，以期幫助學(xué)生突破解題難點(diǎn)。

［關(guān)鍵詞］帶電粒子；電場(chǎng)；電場(chǎng)線；等勢(shì)線；軌跡線

［中圖分類(lèi)號(hào)］" " G633.7" " " " ［文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼］" " A" " " " ［文章編號(hào)］" " 1674-6058（2024）17-0045-03

帶電粒子在電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題是高中物理的重要內(nèi)容和高考的考查重點(diǎn)，該類(lèi)問(wèn)題涉及知識(shí)點(diǎn)多、綜合性強(qiáng)，往往成為學(xué)生失分的“重災(zāi)區(qū)”。其實(shí)，這類(lèi)問(wèn)題考查的還是電場(chǎng)的性質(zhì)、力與運(yùn)動(dòng)的關(guān)系以及功能關(guān)系這些基礎(chǔ)知識(shí)，若能利用三線——電場(chǎng)線、等勢(shì)線、軌跡線分析相關(guān)物理量和運(yùn)動(dòng)過(guò)程，就能輕松解決問(wèn)題。本文探討如何利用“電場(chǎng)線、等勢(shì)線、軌跡線”三線來(lái)突破帶電粒子在電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題，并讓學(xué)生體會(huì)基礎(chǔ)知識(shí)的重要性。

首先由一道融合“三線”關(guān)系的例題入手進(jìn)行研究。

［例題1］如圖1所示，虛線表示一個(gè)電子在只有電場(chǎng)力作用下運(yùn)動(dòng)時(shí)從點(diǎn)a運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)b的軌跡，圖中實(shí)線為平行線，且相鄰線間距相等，代表的可能是電場(chǎng)線，也可能是等勢(shì)線。下列說(shuō)法中正確的是（ ）。

A.不管平行線代表的是等勢(shì)線還是電場(chǎng)線，在a、b處的電場(chǎng)強(qiáng)度總是b處大

B.不管平行線代表的是等勢(shì)線還是電場(chǎng)線，在a、b處的電勢(shì)總是a處高

C.不管平行線代表的是等勢(shì)線還是電場(chǎng)線，電子在a、b處的電勢(shì)能總是b處的大

D.如果平行線代表的是等勢(shì)線，則電子在a、b處的速率一定是在a處大

解析：題中的平行線間距相等、均勻分布，所以不論平行線是電場(chǎng)線還是等勢(shì)線，它所描述的電場(chǎng)均為勻強(qiáng)電場(chǎng)，所以a和b處的電場(chǎng)強(qiáng)度相等，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤。

當(dāng)平行線代表電場(chǎng)線時(shí)，根據(jù)圖中給出的電子運(yùn)動(dòng)軌跡可知電子所受的電場(chǎng)力的方向水平向右，因?yàn)殡娮訋ж?fù)電，所以可判斷出電場(chǎng)的方向水平向左。順著電場(chǎng)線方向電勢(shì)降低，所以a處的電勢(shì)低于b處。由電場(chǎng)力做功特性可知，在電子從點(diǎn)a運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)b的過(guò)程中，電場(chǎng)力做的是正功，由功能關(guān)系可知電子的電勢(shì)能減小，動(dòng)能增大，因此所有電子的電勢(shì)能a處大于b處，故選項(xiàng)B、C錯(cuò)誤。

當(dāng)平行線代表等勢(shì)線時(shí)，由圖中所給出的電子運(yùn)動(dòng)軌跡線（曲線）可知，電子受到的電場(chǎng)力的方向指向虛線的凹側(cè)。因?yàn)殡妶?chǎng)線始終垂直等勢(shì)線，所以電場(chǎng)的方向應(yīng)為豎直向上，由此可知a處的電勢(shì)比b處高。由于電子帶負(fù)電，因此當(dāng)其從a運(yùn)動(dòng)到b時(shí)，電場(chǎng)力對(duì)其做負(fù)功，由功能關(guān)系可知在這個(gè)過(guò)程中電子的電勢(shì)能不斷增大，動(dòng)能不斷減小，所有電子的速率在a處一定大于b處，故選項(xiàng)D正確。

由上述分析我們不難看出，掌握電場(chǎng)線、等勢(shì)線的基本知識(shí)是解題的關(guān)鍵。

一、電場(chǎng)線與帶電粒子運(yùn)動(dòng)軌跡

［例題2］如圖2所示是靜電紡紗工藝的原理示意圖，圖中虛線表示電場(chǎng)線，且電場(chǎng)線關(guān)于中間水平虛線的垂直平分線對(duì)稱。a、b、c均為電場(chǎng)中的點(diǎn)，其中點(diǎn)b是中間水平虛線的中點(diǎn)，點(diǎn)a、c在中間水平虛線上的等勢(shì)點(diǎn)與點(diǎn)b的距離相等。現(xiàn)有一電子從點(diǎn)a出發(fā)經(jīng)過(guò)了點(diǎn)b后運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)c，下列說(shuō)法正確的是（ ）。

A. a、b、c處電勢(shì)能依次升高

B. a、b、c處電場(chǎng)強(qiáng)度大小依次變小

C.電場(chǎng)力對(duì)電子在兩個(gè)階段所做的功Wab=Wbc

D.電子可以在僅受電場(chǎng)力作用下從點(diǎn)a過(guò)點(diǎn)b運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)c

解析：本題的考點(diǎn)包括電勢(shì)能、電場(chǎng)線、電勢(shì)、電場(chǎng)強(qiáng)度、電場(chǎng)力做功等，對(duì)學(xué)生的思維能力、推理能力有一定要求。觀察圖中電場(chǎng)線的分布和方向可判斷電場(chǎng)強(qiáng)度和電勢(shì)情況。由[W=qU]可求出電場(chǎng)力做功的大小。電子僅受電場(chǎng)力作用的條件下，可描繪出電子的運(yùn)動(dòng)軌跡，根據(jù)軌跡的彎曲情況來(lái)判斷受力方向。

由圖2中電源信息可知，電場(chǎng)線方向由右向左，因?yàn)殡妱?shì)沿著電場(chǎng)線的方向逐漸降低，等勢(shì)線與電場(chǎng)線垂直，根據(jù)圖中a、b、c三點(diǎn)的位置分布，可判斷a、b、c三處電勢(shì)逐漸升高，電子在電勢(shì)低處電勢(shì)能大，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤。

電場(chǎng)線密集表示電場(chǎng)強(qiáng)度大，反之表示電場(chǎng)強(qiáng)度小，圖2中a處的電場(chǎng)線最密集，b處最稀疏，所以a處電場(chǎng)強(qiáng)度最大，b處電場(chǎng)強(qiáng)度最小，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤。

由于“點(diǎn)a、c在中間水平虛線上的等勢(shì)點(diǎn)與點(diǎn)b的距離相等”，根據(jù)電場(chǎng)線的對(duì)稱性，可知水平虛線上關(guān)于點(diǎn)b對(duì)稱的兩點(diǎn)處的電場(chǎng)強(qiáng)度大小相等，則可知[Uab=Ubc]，由[W=qU]可求得[Wab=Wbc]，故選項(xiàng)C正確。

在電子只受電場(chǎng)力作用的情況下，因?yàn)殡妶?chǎng)線是曲線，所以電子所受電場(chǎng)力的大小、方向在不斷變化，根據(jù)選項(xiàng)D的設(shè)定，“電子可以在僅受電場(chǎng)力作用下從點(diǎn)a過(guò)點(diǎn)b運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)c”，其運(yùn)動(dòng)軌跡應(yīng)如圖3的曲線所示，如果該運(yùn)動(dòng)軌跡正確，那么在ab和bc段運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，其所受電場(chǎng)力方向應(yīng)如圖3的箭頭所示，這顯然不滿足電子在僅受電場(chǎng)力作用下做曲線運(yùn)動(dòng)的條件，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤。

【總結(jié)】對(duì)于涉及電場(chǎng)線與帶電粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡的問(wèn)題，需要明確以下幾點(diǎn)（括號(hào)中為“會(huì)用到知識(shí)”）：①確定帶電粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡彎曲方向（觀察圖中已給軌跡圖，或像例題2選項(xiàng)D解析過(guò)程那樣合理繪制需要的軌跡圖）；②判定帶電粒子所受力的方向（在僅受電場(chǎng)力作用下帶電粒子做曲線運(yùn)動(dòng)時(shí)，其所受電場(chǎng)力的方向必定指向運(yùn)動(dòng)軌跡的凹側(cè)）；③判定電場(chǎng)方向（利用帶電粒子的電性、受力方向可判定，遵循以下原則：負(fù)電荷所受電場(chǎng)力的方向與電場(chǎng)方向相反，正電荷所受電場(chǎng)力的方向與電場(chǎng)方向一致）；④確定帶電粒子受力大小和運(yùn)動(dòng)速度大小（由電場(chǎng)強(qiáng)度大小確定，應(yīng)用功能關(guān)系、能量守恒定律、電勢(shì)能及電場(chǎng)電勢(shì)變化情況等知識(shí)）。

二、電場(chǎng)線、等勢(shì)線與帶電粒子運(yùn)動(dòng)軌跡

［例題3］如圖4所示，虛線a、b、c、d、e是某電場(chǎng)的等勢(shì)面，這五個(gè)等勢(shì)面相鄰等勢(shì)面間的電勢(shì)差相等，且[φc=0]。有一個(gè)帶正電的質(zhì)點(diǎn)進(jìn)入電場(chǎng)，且在僅受電場(chǎng)力的作用下通過(guò)這個(gè)電場(chǎng)，其運(yùn)動(dòng)軌跡如圖中實(shí)線所示，點(diǎn)P、R、Q在軌跡線上，且點(diǎn)R正好在等勢(shì)面c上。下列說(shuō)法正確的是（ ）。

A.等勢(shì)面a的電勢(shì)最高

B.帶電質(zhì)點(diǎn)在點(diǎn)P、R、Q處的電勢(shì)能最小的是點(diǎn)R處

C.帶電質(zhì)點(diǎn)在P處的加速度小于Q處

D.帶電質(zhì)點(diǎn)在R處所受力的方向豎直向下

解析：該題的考點(diǎn)包括等勢(shì)面、電場(chǎng)線、電勢(shì)、電勢(shì)能與電場(chǎng)力做功的關(guān)系、電勢(shì)能計(jì)算等。根據(jù)運(yùn)動(dòng)軌跡的彎曲方向可以確定帶正電的質(zhì)點(diǎn)所受電場(chǎng)力的方向，根據(jù)正電荷所受電場(chǎng)力的方向與電場(chǎng)強(qiáng)度方向相同，結(jié)合電場(chǎng)線總與等勢(shì)面垂直可以畫(huà)出電場(chǎng)線，這樣就可以判斷出各點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度方向、電勢(shì)高低、電勢(shì)能大小，而加速度的大小可以根據(jù)等勢(shì)線的疏密確定。

觀察運(yùn)動(dòng)軌跡可知，帶電質(zhì)點(diǎn)所受的電場(chǎng)力方向指向運(yùn)動(dòng)軌跡的凹側(cè)，根據(jù)電場(chǎng)線總與等勢(shì)面垂直，選擇點(diǎn)R繪制受力方向水平向左，如圖5所示。因?yàn)橘|(zhì)點(diǎn)帶正電，正電荷所受電場(chǎng)力的方向與電場(chǎng)強(qiáng)度方向相同，沿電場(chǎng)線方向電勢(shì)降低，所以等勢(shì)面a的電勢(shì)最低，故選項(xiàng)A、D錯(cuò)誤。

在P、R、Q處，P處電勢(shì)最低，由正電荷在電勢(shì)低處電勢(shì)能小可知，質(zhì)點(diǎn)在P處電勢(shì)能最小，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤。

根據(jù)題意知“相鄰等勢(shì)面間存在相等的電勢(shì)差”，所以等勢(shì)面密集的地方電場(chǎng)線也密集，電場(chǎng)強(qiáng)度也就大，所以可知P處的電場(chǎng)強(qiáng)度小于Q處，根據(jù)[F=qE]可知，質(zhì)點(diǎn)所受電場(chǎng)力P處小于Q處，根據(jù)[F=ma]可知，該電荷的加速度P處小于Q處，故選項(xiàng)C正確。

［例題4］電子顯微鏡利用電子比可見(jiàn)光波動(dòng)性弱的特性，獲得了比光學(xué)顯微鏡更高的分辨率。在電子顯微鏡中，電子通過(guò)“靜電透鏡”實(shí)現(xiàn)會(huì)聚或發(fā)散。如圖6所示，虛線為某靜電透鏡區(qū)域的等勢(shì)面，M、N兩點(diǎn)的電勢(shì)[φMgt;φN]，現(xiàn)有一束經(jīng)過(guò)電壓U加速后的正電子從點(diǎn)M處沿垂直虛線的方向進(jìn)入“透鏡”電場(chǎng)。假設(shè)正電子在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中僅受電場(chǎng)力作用，最終穿過(guò)小孔。下列說(shuō)法正確的是（ ）。

A.點(diǎn)M處的電場(chǎng)強(qiáng)度小于點(diǎn)N處的電場(chǎng)強(qiáng)度

B.從點(diǎn)M垂直進(jìn)入“透鏡”電場(chǎng)的正電子可能經(jīng)過(guò)點(diǎn)N

C.在正電子進(jìn)入“透鏡”電場(chǎng)到穿過(guò)小孔的整個(gè)過(guò)程中，電場(chǎng)力對(duì)其做正功

D.正對(duì)小孔中心射入“透鏡”電場(chǎng)的正電子會(huì)沿直線穿出小孔

解析：本題對(duì)電勢(shì)能與電場(chǎng)力做功、帶電粒子運(yùn)動(dòng)情況的分析進(jìn)行綜合考查，需要學(xué)生有較強(qiáng)的推理能力。

由受力分析判斷正電子能否通過(guò)點(diǎn)N；由運(yùn)動(dòng)軌跡及電勢(shì)、電性判斷做功情況；對(duì)于透鏡是起會(huì)聚作用還是發(fā)散作用，可利用等勢(shì)面畫(huà)出電場(chǎng)線進(jìn)行判斷。

觀察圖中等勢(shì)面的分布可知，點(diǎn)M處比點(diǎn)N處密集，因此點(diǎn)M處的電場(chǎng)線也比點(diǎn)N處密集，所以點(diǎn)M處的電場(chǎng)強(qiáng)度大于點(diǎn)N處的電場(chǎng)強(qiáng)度，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤。

從點(diǎn)M垂直進(jìn)入“透鏡”電場(chǎng)的正電子只受電場(chǎng)力作用，受力方向與電場(chǎng)方向相同，由等勢(shì)面的疏密程度可以判斷，正電子向上偏轉(zhuǎn)穿出小孔，對(duì)正電子起發(fā)散作用，因此不可能經(jīng)過(guò)點(diǎn)N，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤。

在正電子進(jìn)入“透鏡”電場(chǎng)到穿過(guò)小孔的整個(gè)過(guò)程中，其從電勢(shì)高的位置運(yùn)動(dòng)到電勢(shì)低的位置，正電子的電性為正電，所有電場(chǎng)力對(duì)其做正功，故選項(xiàng)C正確。

電場(chǎng)線與等勢(shì)面垂直，根據(jù)對(duì)稱性及力的合成法則可推出，正對(duì)小孔中心射入“透鏡”電場(chǎng)的正電子受到的電場(chǎng)力方向與速度方向相同，會(huì)沿著直線穿出小孔，故選項(xiàng)D正確。

【總結(jié)】對(duì)于涉及“三線”的綜合性問(wèn)題，以下解題技巧可以幫助我們解題。

①善于使用假設(shè)法。在這類(lèi)問(wèn)題中，電場(chǎng)強(qiáng)度方向、等勢(shì)面高低、運(yùn)動(dòng)粒子的電性、粒子的運(yùn)動(dòng)方向等都是影響物理過(guò)程的因素，且它們之間有著密切的制約關(guān)系。若這些因素都屬于未知，做題時(shí)一定要大膽使用假設(shè)法，通過(guò)對(duì)某一個(gè)因素的各種可能的假設(shè)以及利用幾個(gè)因素的相互關(guān)系得出相應(yīng)假設(shè)之后的結(jié)果，再進(jìn)行完整的分類(lèi)討論，就能得到需要的結(jié)果。

②善于使用作圖法?？僧?huà)出運(yùn)動(dòng)軌跡在初始位置的切線與電場(chǎng)線在初始位置的切線，前者與速度相關(guān)，后者與受力相關(guān)，結(jié)合力與運(yùn)動(dòng)的關(guān)系分析兩者，從而判斷帶電粒子做曲線運(yùn)動(dòng)的具體情況。當(dāng)然，也可以利用曲線運(yùn)動(dòng)的軌跡反過(guò)來(lái)判斷帶電粒子的受力情況。

另外，更為基礎(chǔ)的是能夠正確做出以下幾個(gè)判斷：

①正確判斷帶電粒子的運(yùn)動(dòng)方向：根據(jù)軌跡線上某一點(diǎn)的切線來(lái)判斷。

②正確判斷電場(chǎng)力的方向：僅受電場(chǎng)力作用的帶電粒子，所受電場(chǎng)力的方向指向運(yùn)動(dòng)軌跡的凹側(cè)。

③正確判斷電場(chǎng)強(qiáng)度的方向：正電荷所受電場(chǎng)力的方向與電場(chǎng)強(qiáng)度方向相同，負(fù)電荷所受電場(chǎng)力的方向與電場(chǎng)強(qiáng)度方向相反。

④正確判斷電勢(shì)的高低：沿電場(chǎng)線方向電勢(shì)逐漸降低，電勢(shì)降低最快的方向?yàn)殡妶?chǎng)強(qiáng)度方向。

⑤正確判斷電勢(shì)能的大?。焊鶕?jù)公式[Ep=qφ]可判斷電勢(shì)能的大小。

⑥正確判斷電場(chǎng)力做功的正負(fù)及電勢(shì)能的增減：在初始位置畫(huà)出電場(chǎng)力和速度的方向，根據(jù)兩者的夾角可以判斷電場(chǎng)力做功的正負(fù)及電勢(shì)能的增減。

⑦正確判斷加速度的大?。弘妶?chǎng)線越密集的地方，電場(chǎng)強(qiáng)度越大，帶電粒子的加速度越大，反之則越小。

以上是對(duì)利用“三線”破解帶電粒子在電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題所需的相關(guān)知識(shí)進(jìn)行的總結(jié)，對(duì)于其他板塊的學(xué)習(xí)，我們同樣可以舉一反三。

［" "參" "考" "文" "獻(xiàn)" "］

［1］" 鄭金.帶電粒子流在勻強(qiáng)電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)問(wèn)題歸類(lèi)解析［J］.高中數(shù)理化，2021（19）：33-36.

［2］" 周棟梁.運(yùn)用分類(lèi)方法" " 突破高考難點(diǎn)：關(guān)于帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)問(wèn)題的求解策略研究［J］.物理通報(bào)， 2010（7）：22-27.

［3］" 鄒韓仕.巧借邊界“相切”" " 突破高考難點(diǎn)：例析帶電粒子在磁場(chǎng)中的軌跡圓或磁區(qū)極值問(wèn)題［J］.數(shù)理化解題研究， 2019（22）：76-79.

［4］" 羅仕維.如何構(gòu)建高效物理課堂培育學(xué)生物理核心素養(yǎng)：以“帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的多解性問(wèn)題”一節(jié)為例［J］.物理通報(bào)， 2018（11）：45-47，52.

［5］" 李桂旺.基于培養(yǎng)學(xué)生物理核心素養(yǎng)的教學(xué)設(shè)計(jì)：以“帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)”為例［J］.物理教學(xué)探討，2017（8）：64-66，70.

（責(zé)任編輯 黃春香）