線電荷的電力線和等勢(shì)線的MATLAB 作圖

易學(xué)華，郭俊廣，曹人平

（嘉應(yīng)學(xué)院 物理與電子工程學(xué)院，廣東 梅州 514015）

0 引言

在電磁學(xué)[1]和數(shù)學(xué)物理方法[2]的教學(xué)過程中，往往要畫電力線和等勢(shì)線.等量異號(hào)和等量同號(hào)的點(diǎn)電荷電力線[3-4]和直線電荷[5]以及帶電球體[6]的電力線和等勢(shì)線都比較好畫，不等量的直線電荷對(duì)的電力線和等勢(shì)線則比較麻煩，而用MATLAB[7]中函數(shù)則簡(jiǎn)單得多.將圖形制成文件，插在教案中，對(duì)電磁學(xué)和數(shù)學(xué)物理方法教學(xué)很有幫助.

1 無限長(zhǎng)直線電荷

1.1 直線電荷的電力線

真空中無限長(zhǎng)帶電直線的場(chǎng)強(qiáng)大小為

其中λ是線電荷密度，ε0是真空介電常數(shù)，r是場(chǎng)點(diǎn)P(x,y)到軸線的距離.電場(chǎng)呈軸對(duì)稱分布.取λ＞0，電力線是以軸線為起點(diǎn)的射線簇，各射線之間的夾角相同.

1.2 無限長(zhǎng)線電荷的等勢(shì)線

以某點(diǎn)為零勢(shì)點(diǎn)，該點(diǎn)與軸線的相距為a，則場(chǎng)點(diǎn)P的電勢(shì)為

等勢(shì)面是以軸線為中心的圓柱面.取一個(gè)垂直于軸線的垂面，等勢(shì)線就是一簇簇的同心圓.

設(shè)k=λ/(2πε0)，取r0為第一條等勢(shì)線的半徑，其電勢(shì)為

取ΔU為電勢(shì)的增量，則相鄰等勢(shì)線的電勢(shì)為U=U0+ΔU，該等勢(shì)線的半徑為

重復(fù)上述步驟，就能決定其他等勢(shì)線的半徑，相鄰兩條等勢(shì)線的電勢(shì)差都是相同的.圖 1 表示正的直線電荷的電力線和等勢(shì)線，電荷的線密度為λ=10-9C/m，a=1 m 處為電勢(shì)零點(diǎn)；越往中心，電勢(shì)越高，等勢(shì)線也越密.

圖1 帶正電的直線電荷的電力線和等勢(shì)線示意圖

2 等量異號(hào)無限長(zhǎng)直線電荷

2.1 電力線

C是由起角決定的常數(shù).由于電力線起始于正電荷，終止于負(fù)電荷，所以每條電力線都是一段圓弧，而上下兩條對(duì)應(yīng)的電力線形成一個(gè)圓.

圖2 等量異號(hào)無限長(zhǎng)線電荷的電力線示意圖

2.2 等勢(shì)線

還可以證明，等量異號(hào)無限長(zhǎng)線電荷的等勢(shì)線方程為[5]

這也是一個(gè)圓，圓心在(C,0)，其半徑為

C是由電勢(shì)或起始點(diǎn)決定的常數(shù).

如圖3 所示，第一條經(jīng)過點(diǎn)P0(x0,0)的等勢(shì)線的常數(shù)為

圖3 等量異號(hào)無限長(zhǎng)線電荷的等勢(shì)線的起點(diǎn)示意圖

由此可計(jì)算圓的半徑，畫出一條包圍右邊電荷的等勢(shì)線.根據(jù)對(duì)稱性，又能畫出包圍左邊電荷的等勢(shì)線.為了決定其他等勢(shì)線的位置，先要計(jì)算第一條等勢(shì)線的電勢(shì).取o點(diǎn)為零勢(shì)點(diǎn)，由(2)式可知，兩線電荷在場(chǎng)點(diǎn)P產(chǎn)生的電勢(shì)為

將x代入(10)式就能計(jì)算新的常數(shù)C，然后由(9)式計(jì)算圓的半徑R，從而畫出新的等勢(shì)線.其他等勢(shì)線經(jīng)過x軸的位置都能用這種步驟求出.等量異號(hào)無限長(zhǎng)帶電直線的電力線和等勢(shì)線如圖 4 所示，電荷的線密度為，兩線相距2a=0.04 m.這些曲線是關(guān)于x軸和y軸對(duì)稱的，中間的豎線是零勢(shì)線，圖例表示正電荷周圍等勢(shì)線的電勢(shì).

圖4 等量異號(hào)無限長(zhǎng)直線電荷電力線和等勢(shì)線

3 等量同號(hào)無限長(zhǎng)直線電荷

3.1 電力線

兩無限長(zhǎng)帶電直線，電荷線密度λ1=λ2=λ＞0，相距為2a.如圖5 所示坐標(biāo)系，可以證明，等量同號(hào)無限長(zhǎng)直線電荷的電力線方程為

圖5 等量同號(hào)線電荷的電力線起點(diǎn)示意圖

3.2 等勢(shì)線

等量同號(hào)無限長(zhǎng)帶電直線的電力線和等勢(shì)線如圖6 所示，這些曲線也是關(guān)于x軸和y軸對(duì)稱的，經(jīng)過原點(diǎn)的等勢(shì)線是零勢(shì)線.(x,0)就是新的等勢(shì)線的起點(diǎn)坐標(biāo)，用上述方法可以計(jì)算和畫出新的等勢(shì)線.

圖6 等量同號(hào)線電荷的電力線和等勢(shì)線

4 不等量無限長(zhǎng)直線電荷

4.1 電力線

如圖7 所示，兩線電荷的線密度λ1和λ2不一定相等，相距2a，它們?cè)趫?chǎng)點(diǎn)P產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)分別為

圖7 線電荷對(duì)的電場(chǎng)

4.2 等勢(shì)線

圖8 不等量同號(hào)線電荷的電力線和等勢(shì)線

圖9 不等量同號(hào)線電荷的電力線和等勢(shì)線

5 結(jié)語(yǔ)

如果電力線或者等勢(shì)線能用為x或y的顯式表示（包括圓），直接用表達(dá)式就能計(jì)算函數(shù)值法并畫曲線.如果電力線不能用顯式表示，用MATLAB 的ode 函數(shù)特別有效.當(dāng)電勢(shì)的變化規(guī)律比較復(fù)雜時(shí)，用等高線函數(shù)畫等勢(shì)線最簡(jiǎn)單.當(dāng)兩個(gè)線電荷等量時(shí)，用切線法和等高線法都能畫出如圖 4 和圖6 所示的電力線和等勢(shì)線.

用MATLAB 畫電力線和等勢(shì)線有很多優(yōu)點(diǎn)，圖形標(biāo)準(zhǔn)、精確、易于調(diào)整.將電力線和等勢(shì)線的圖片應(yīng)用于數(shù)學(xué)物理方法[8]以及其它物理課程教學(xué)中，很能說明問題,對(duì)學(xué)生理解電力線和等勢(shì)線的物理意義起到很重要的作用，能夠更好地幫助學(xué)生學(xué)習(xí)抽象的數(shù)學(xué)物理方程.