利用COMSOL Multiphysics開發(fā)高中物理電場線教學素材

摘? 要：在中學物理教育中，電場和電場線是重要的抽象概念。然而，傳統(tǒng)教材中的示意圖往往過于簡化，缺乏實際物理情境的支撐，這不利于學生對這些概念的理解和思維建構(gòu)。為解決這一問題，筆者利用ＣＯＭＳＯＬ Ｍｕｌｔｉｐｈｙｓｉｃｓ開發(fā)了一系列電場線相關的教學素材，生動展現(xiàn)了孤立帶電體及其在復雜外界影響下的電場線分布。這些素材的開發(fā)有助于教師利用仿真技術有效地分析和可視化電場概念，同時提供了一系列更貼近真實生活的非理想環(huán)境案例，使學生能夠深入理解電場，并培養(yǎng)他們的探究精神和創(chuàng)新能力。

關鍵詞：ＣOMSOL仿真；電場線；等勢線

中圖分類號：G633.7 文獻標識碼：A ? ? 文章編號：1003-6148（2024）6-0083-4

電場線作為高中物理教學的關鍵內(nèi)容，能夠直觀地揭示電場的方向和強度，是學生理解電場特性的重要工具。此外，電場線的知識為學生進一步探索電場能量性質(zhì)奠定了基礎?，F(xiàn)行人教版高中物理教材雖然提供了孤立點電荷、等量電荷以及平行板電容器等電場線分布示意圖，但這些示例有限且簡化，不足以全面深化學生對電場的認識，也不利于創(chuàng)新能力的培養(yǎng)。因此，開發(fā)更多教學素材以增強學生對電場概念的理解變得尤為迫切。

鑒于電場線的抽象性和不可觸摸性，軟件仿真是構(gòu)建電場線教學素材的關鍵技術。目前，市場上存在多種用于模擬電場線的軟件，如Ｇｅｏｇｅｂｒａ［１］、ＮＯＢＯＯＫ［２］、ＰｈＥＴ交互仿真平臺［３］、ＭATLAB［４］和Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａ［５］等。這些軟件能夠以幾何方法繪制電場線，但多數(shù)僅限于簡單示意圖的展示，難以仿真不同表面電荷密度下、不同介電質(zhì)中的電場線和等勢線或等勢面，無法與真實物理情形關聯(lián)起來。此外，這些軟件也不擅長處理帶電體電場與其他物體之間的耦合問題，例如帶電體在金屬或介電材料附近的電場線扭曲現(xiàn)象。盡管ＭATLAB和Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａ具備解決這類問題的能力，但較高的編程技能要求限制了它們的廣泛應用?；诖?，本文利用ＣＯＭＳＯＬ Ｍｕｌｔｉｐｈｙｓｉｃｓ （以下簡稱“ＣＯＭＳＯＬ”）開發(fā)的教學素材，不僅展示了孤立帶電體的電場線，還模擬了帶電體在復雜環(huán)境中的電場線分布，從而提供了一種更接近現(xiàn)實情境的教學方法，有助于學生深入領悟電場的本質(zhì)。

１? ? ＣＯＭＳＯＬ簡介

ＣＯＭＳＯＬ 是一款基于有限元法的通用分析和仿真軟件［６］，能夠模擬單個物理場以及靈活地耦合多個物理場。該軟件便利地仿真單物理場和多物理場耦合問題，允許用戶通過幾何模塊構(gòu)建物理模型，并通過網(wǎng)格剖分實現(xiàn)有限元分析。用戶可以為模型對象匹配材料和物理場接口，每個物理場接口內(nèi)置了相應的物理公式，從而實現(xiàn)對電磁、結(jié)構(gòu)力學、聲學、流體流動、傳熱等專業(yè)問題的分析計算，并繪制可視化場景。ＣＯＭＳＯＬ的物理模型可視化功能不僅提升了中學物理課堂教學的趣味性，幫助學生構(gòu)建科學思維，還有利于培養(yǎng)學生的探究意識和創(chuàng)新素養(yǎng)。

２? ? 電場線教學素材開發(fā)

２．１? ? 孤立帶電體電場線和等勢面

為了便于對比ＣＯＭＳＯＬ與教材中的素材差異，首先仿真一個孤立帶電體的電場線和等勢面。在仿真過程中，需要建立物理模型，而ＣＯＭＳＯＬ提供了一個功能強大且簡單易用的模型開發(fā)器。全局定義可以設置一些全局參數(shù)，如帶電體的表面電荷密度。通過組件中的幾何組件來構(gòu)建帶電體及靜電場分布空間，并通過材料組件確定空間介質(zhì)的材料屬性。選擇三維模型，并選擇相應的物理場接口，如ＡＣ／ＤＣ—電場和電流—靜電（ｅｓ）。在幾何中，選擇生成球體，并在參數(shù)中帶電球體畫成半徑為０．１ m的球體１，球心位于坐標系原點，并在全局定義—參數(shù)１中定義好球體１的面電荷密度為１×１０－８ Ｃ/ｍ２。為了計算球體１在周圍空間產(chǎn)生的電場線，設置一個更大的、半徑為１ m的球體２，通過“差集”功能把球體１和球體２球面之間的區(qū)域作為物理場的域。然后，通過軟件的材料庫選擇空氣（Ａｉｒ）作為域內(nèi)的介質(zhì)。

由于研究的是靜電場，因此選擇了物理場—添加物理場—ＡＣ／ＤＣ—電場和電流—靜電（ｅｓ）。接著，在靜電選項中點擊右鍵添加表面—電荷密度，并在設置窗口中手動添加邊界，將球體１的外表面作為電荷密度的分布區(qū)域。由于系統(tǒng)把球體的表面切分為８個邊界，因此需要全部選定這８個邊界。在計算前，還需設置靜電場的接地端，即選擇球體２的球面作為接地。由于ＣＯＭＳＯＬ是基于有限元法進行計算的，因此需要網(wǎng)格剖分。點擊網(wǎng)格，在設置中選擇全部構(gòu)建，即可實現(xiàn)對域的網(wǎng)格剖分，如圖1所示。

最后，點擊研究—計算，執(zhí)行計算后，就可以得到電場和電勢等靜電性質(zhì)。由于是三維空間，可以得到電場線的三維空間分布，如圖2（ａ）所示。從圖2可以看出，電場線由球體表面沿經(jīng)線向外輻射。右側(cè)的顏色圖例表示當顏色從淺紫、紫、蘭、橙、紅、棕變化時，電場強度從１１．２ Ｖ/ｍ增加到１．１９×１０３ Ｖ/ｍ。從圖中可以看出，離帶電體越近，顏色越紅，電場線越密集，電場強度越大。這一素材和教材中的示意圖相比，多了場強大小的顏色表達。因此，將其作為教學素材時，教師不僅可以實現(xiàn)電場線的可視化，還能實現(xiàn)場強大小的可視化。學生多了一個了解靜電場的視覺維度，更容易形成對電場的思維建構(gòu)。

需要指出的是，圖2給出的是電場和電場強度的計算結(jié)果，而非教材中的示意圖。將其作為教學素材，還能讓學生接觸到科學繪圖，培養(yǎng)嚴謹?shù)目茖W態(tài)度和精神。由于孤立帶電體的電場線具有球?qū)ΨQ分布的特點，可以通過軟件的視圖切換功能（點擊箭頭所指方向），切換到ｘｙ平面視圖，如圖2（ｂ）所示。平面視圖更簡單，容易理解。由平面視圖可以看出，電場線向外輻射是沿圓的徑向方向。不同顏色的分界面為等勢線，等勢線為圓形，與電場線垂直。在教學時，可以先展現(xiàn)平面視圖，再向?qū)W生展現(xiàn)三維視圖。展現(xiàn)三維視圖時，告訴學生在三維視角下，電勢相等的點形成的不再是圓線，而是球面。這樣由易到難的進階式教學，更符合學生的認知規(guī)律。

通過三維繪圖組—添加流線—流線類型中添加箭頭，還可以給電場線加上方向箭頭，便于學生判斷電場的方向，結(jié)果如圖3所示?？梢钥闯?，圖中還描繪了一個等勢面（等勢面的個數(shù)可以設置），等勢面是球面，與電場線方向垂直。這說明電勢在球面內(nèi)不變，但會沿著電場線的方向變化。在電場線中引入等勢面，能把電場線、等勢面（或者等勢線）和電場的概念聯(lián)系起來，便于學生理解電場線的物理內(nèi)涵。

２．２? ? 兩個帶電體的電場線和等勢面

對于兩同種電荷或兩異種電荷的電場線分布的模型建構(gòu)與孤立帶電體類似。建構(gòu)時，由于缺少球形對稱性，不宜再采用球形域，而是采用立方體與兩個小球的“差集”作為物理場的“域”空間?？臻g介質(zhì)仍然取空氣，并讓立方體的六個面接地。案例中，采取相同半徑的兩個帶電量相同的球體作為電荷載體。

對于同種正電荷，由于體積相同，只需要設置兩個球體的表面電荷密度相等且符號均為正值即可，計算結(jié)果的平面視圖（ｘｙ平面）如圖4所示。

由圖4（ａ）可以看出，兩個帶正電球體發(fā)出的電場線垂直于球體表面向外，由于是同種電荷，所以電場線不閉合。圖4（ｂ）為流線圖的二維視圖，電場線上加了箭頭，學生更容易判斷電場線的特點，即從正電荷出發(fā)，向無窮遠處延伸。顏色圖例表明，沿電場線方向，電勢是逐漸減小的。不同顏色的分界面為等勢面，靠近電荷的地方，等勢面為球面，且量值最大。離電荷較遠的地方，由于兩個電荷電場線的耦合，電場線不再球?qū)ΨQ，等勢面也不再是球面。由于立方體外表面接地，所以外表面電勢為零。平面視圖表現(xiàn)為矩形的四個邊電勢為零，電場線與邊垂直。

對于異種電荷，只需要把其中一個球體的表面電荷密度設為正值，另一個設為負值，即可計算得到ｘｙ平面多切面視圖和流線視圖，如圖5所示。

２．３? ? 帶電體附近有其他介質(zhì)存在時的電場線和等勢面

在實際情況下，帶電體附近常常存在其他物質(zhì)，這些物質(zhì)會影響帶電體產(chǎn)生的電場，表現(xiàn)為電場線分布的變化。因此，可以利用ＣＯＭＳＯＬ強大的計算和仿真功能來研究這一問題。含電介質(zhì)的平行板電容器是一個很好的例子，其結(jié)構(gòu)簡單，適合作為初學者的學習素材。

需要指出的是，雖然平行板電容器是三維器件，但在垂直于平行板的切面上，電場分布相同。因此，可以將三維問題簡化為二維問題，分析切面上的電場即可。這樣做的好處是，可以減少計算量和自由度，提升仿真效率。

在構(gòu)建有限元模型時，尖銳的邊緣會導致局部奇點和場與網(wǎng)格細化不收斂。為了避免這些尖銳的邊緣及其產(chǎn)生的奇點對仿真結(jié)果的負面影響，可以將兩個矩形的一端進行倒圓角處理，以使邊界更加光滑。利用矩形、倒圓角、復制和鏡像等操作構(gòu)建幾何對象，既可以提高作圖速度，又便于后續(xù)的網(wǎng)格剖分和計算。

在此模型中，將下面的對稱平板接地，上面的兩個對稱平板作為終端，終端電壓設置為５ Ｖ，平行板間距為４ ｃｍ。中間的圓球定義為介電屏蔽材料，表面厚度為１ ｍｍ。域內(nèi)空間介質(zhì)為空氣，介電常數(shù)為１。當電容器中間不存在介電屏蔽材料時，中間圓球的介電常數(shù)設定為１（與空氣一致），計算結(jié)果如圖6（ａ）所示；當電容器中間存在介電常數(shù)為３０的屏蔽材料時（圓球的介電常數(shù)設定為３０），計算結(jié)果如圖6（ｂ）所示。其中，帶箭頭的流線為電場線，而不帶箭頭的線為等勢線。

可以看出，當沒有介電屏蔽材料時，平行板內(nèi)部的電場線和等勢線都是平行的，形成一個矩形網(wǎng)格。從平行板邊緣開始，它們變得不平行。而當存在一個介電常數(shù)為３０的球形屏蔽材料時，平行板內(nèi)部的電場線和等勢線明顯受到介電屏蔽材料的影響，在球形的上、下端變得密集，而在左、右端變得稀疏，流線箭頭類型為等時間流線箭頭。在圖6（ｂ）中，介質(zhì)內(nèi)的電場線箭頭位置偏上，表明電場線在經(jīng)過介電屏蔽介質(zhì)時，運動速度較慢。這些計算仿真結(jié)果可以作為電場線教學的可視化素材，讓學生觀察、分析和思考，從而形成對靜電場、等勢線和介電屏蔽等概念的思維建構(gòu)。

３? ? 結(jié)? 語

通過ＣＯＭＳＯＬ Ｍｕｌｔｉｐｈｙｓｉｃｓ軟件開發(fā)了三個靜電場教學素材，旨在向中學物理教師展示如何利用ＣＯＭＳＯＬ構(gòu)建物理模型，以及其在教學中的應用技巧。這些素材設計貼近實際生活中的復雜環(huán)境，有助于學生深入理解電磁場的概念。ＣＯＭＳＯＬ的優(yōu)勢在于它平衡了入門難度，功能強大，使具備一定物理基礎的教師能夠在短時間內(nèi)掌握，并仿真復雜的電磁場模型。這種方法不僅促進了學生探究精神、批判性思維和創(chuàng)新能力的發(fā)展，而且ＣＯＭＳＯＬ的多功能性還允許教師構(gòu)建傳熱、聲學、力學和光學等多種物理模型。ＣＯＭＳＯＬ官網(wǎng)提供了豐富的仿真案例資源，教師可以從中獲得靈感，進一步開發(fā)新的教學素材。本研究中的第三個教學實例即是在官方案例的基礎上構(gòu)建而成，這種借鑒方式大大提高了開發(fā)效率。

參考文獻：

［１］張鑫燚，邱蒼穹，徐麗佳，等．Ｇｅｏｇｅｂｒａ可視化輔助的電磁學習題教學［Ｊ］．物理教學探討，２０２２，４０（３）：６９－７１．

［２］劉傳寧．ＮＯＢＯＯＫ虛擬仿真軟件在高中物理實驗教學中的應用研究［Ｄ］.黃岡：黃岡師范學院，２０２３．

［３］萬嘉譽．五款虛擬仿真軟件在高中電學實驗中應用的對比研究［Ｄ］．昆明：云南師范大學，２０２３．

［４］譚偉，楊珍珂，賈偉堯．利用ＭＡＴＬＡＢ ＧＵＩ仿真實驗輔助中學物理電磁場教學［Ｊ］．物理教學探討，２０２２，４０（4）：７０－７２．

［５］謝文海，張佳寧，楊碩． Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａ在高中物理電磁學可視化教學中的應用［Ｊ］．物理通報，２０２３（１２）：１３９－１４３．

［６］鄧文官，鐘文虎，張殷，等．孤立導體電場線作圖規(guī)范探討［Ｊ］．廣西物理，２０２３，４４（４）：１６－１９．

（欄目編輯? ? 賈偉堯）

收稿日期：2024-02-27

基金項目：重慶市研究生教育教學改革研究項目“理工類學術研究生的多學科交叉融合課程體系探索”（yjg223035）。

作者簡介：王明亮（1981-），男，中學一級教師，主要從事初中物理教學和研究工作。