從媒質(zhì)受力分析其電極化響應(yīng)與磁化響應(yīng)的兩種等效描述

潘 銳，聶鑄陽，林 方，姚 欣，王 磊，張瀟瀟，唐 禹，紀(jì)智宏，聶 婭，余 天，龔 敏

(四川大學(xué) 物理學(xué)院,四川 成都 610065)

通常力的概念在電磁理論中并不突出，但這并不表示力及相關(guān)現(xiàn)象在經(jīng)典宏觀電磁場(chǎng)理論中不重要.從歷史上看，電學(xué)和磁學(xué)分別發(fā)端于人們對(duì)摩擦后琥珀吸引輕小物體與磁鐵礦吸引鐵制物體的直觀觀察[1]，安培提出“電-動(dòng)力學(xué)”(Electro-dynamics)的本初含義就是研究“動(dòng)電”之間相互作用力規(guī)律的科學(xué)[2]；麥克斯韋方程組是電磁場(chǎng)時(shí)空演化的完備規(guī)律，但真正將經(jīng)典宏觀電磁理論推上理論最高峰的卻是以洛倫茲力公式為核心內(nèi)容之一的經(jīng)典電子論[3].

經(jīng)典宏觀電磁理論主要的研究對(duì)象是具有空間彌散特性的特殊物質(zhì)——電磁場(chǎng).在大學(xué)經(jīng)典宏觀電磁理論課程的教與學(xué)中， “場(chǎng)”的概念始終處于突出地位，但電磁場(chǎng)作用力實(shí)則仍關(guān)系著經(jīng)典宏觀電磁理論的基礎(chǔ).舉例而言，經(jīng)典宏觀電磁場(chǎng)是借由其對(duì)帶電體的作用力而定義的[4, 5]：慣性系中靜止的帶電體感受到的由另一帶電體引起的作用力是為電場(chǎng)力，當(dāng)該帶電體發(fā)生相對(duì)運(yùn)動(dòng)時(shí)其還可能感受到與相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度有關(guān)的額外作用力，這就是磁場(chǎng)力，即

F=FE+FB=QE+Qv×B

(1)

這也就是洛倫茲力公式，其中FE=QE是電量為Q的帶電體受到的電場(chǎng)力，E刻畫了空間此處的電場(chǎng)稱為電場(chǎng)強(qiáng)度；FB=Qv×B是電量為Q以速度v運(yùn)動(dòng)的帶電體所受磁場(chǎng)力，B刻畫空間此處磁場(chǎng)稱為磁感應(yīng)強(qiáng)度.又例如，帶電體受洛倫茲力作用，其速度大小和方向均可能改變，容易由力學(xué)動(dòng)量定理與動(dòng)能定理得到

(2)

(3)

本文從媒質(zhì)電磁場(chǎng)作用力的角度考察簡單媒質(zhì)兩種重要宏觀電磁響應(yīng)——電極化與磁化——的兩種等效描述，基于簡單媒質(zhì)受到的電場(chǎng)作用力在極化電荷分布和電極化強(qiáng)度兩種電極化描述下相等以及簡單媒質(zhì)受到的磁場(chǎng)作用力在磁化電流分布與磁化強(qiáng)度兩種磁化描述觀點(diǎn)下相等，提供一種分析極化電荷密度與電極化強(qiáng)度間關(guān)系以及磁化電流分布與磁化強(qiáng)度間關(guān)系的新方法，證明極化電荷分布與極化強(qiáng)度，以及磁化電流密度與磁化強(qiáng)度分別是簡單媒質(zhì)電極化與磁化的兩種等價(jià)描述.

1 媒質(zhì)的電極化和磁化響應(yīng)的等價(jià)描述

媒質(zhì)是有限空間內(nèi)以實(shí)物粒子(或稱“分子”)構(gòu)成的物質(zhì).在經(jīng)典宏觀電磁理論中，分子具有內(nèi)部電磁結(jié)構(gòu)且不顯示量子波動(dòng)性.媒質(zhì)宏觀電磁響應(yīng)是分子在外電磁場(chǎng)作用下微觀電荷和/或電流分布調(diào)整的宏觀表現(xiàn)[9-11].媒質(zhì)宏觀電磁響應(yīng)主要有電傳導(dǎo)、電極化與磁化.簡單媒質(zhì)是均勻、線性且各向同性的媒質(zhì).在慣性系中相對(duì)靜止的簡單媒質(zhì)的上述三種電磁響應(yīng)能力可由標(biāo)量電磁參數(shù)：電導(dǎo)率、電極化率和磁化率分別獨(dú)立描述.我們以下著重考察簡單媒質(zhì)在外電場(chǎng)作用下的電極化響應(yīng)和在外磁場(chǎng)作用下的磁化響應(yīng).

1.1 媒質(zhì)電極化響應(yīng)的兩種等價(jià)描述

簡單媒質(zhì)即使不含大量可自由運(yùn)動(dòng)帶電粒子也可直接對(duì)外電場(chǎng)做出電磁響應(yīng).一方面，非極性分子原本重合的正負(fù)電荷中心不再重合，正和負(fù)電荷中心分別沿著和背離此處電場(chǎng)方向發(fā)生微小移動(dòng)并使媒質(zhì)分子具有電偶極矩，此稱為感應(yīng)極化；另一方面，極性分子固有電偶極矩獲得增強(qiáng)并轉(zhuǎn)向外電場(chǎng)方向，稱為取向極化.可見，在外電場(chǎng)作用下媒質(zhì)的電極化響應(yīng)微觀上是其分子具有了沿外電場(chǎng)方向的分子電偶極矩pi，其宏觀效果是媒質(zhì)整體顯現(xiàn)非零電偶極矩.顯然地，單位體積媒質(zhì)具有的電偶極矩是其電極化響應(yīng)的自然量度，稱為電極化強(qiáng)度，即

(4)

從上述媒質(zhì)電極化的電偶極子描述出發(fā)，利用給定的電偶極子在外電場(chǎng)E0中受到的電場(chǎng)力普遍形式[6-8]：

(5)

(6)

這里積分區(qū)域V是媒質(zhì)所在空間.利用矢量積分恒等式

(7)

不難得到

(8)

其中面積分邊界S為媒質(zhì)外表面，ds=dsen，en是媒質(zhì)表面處法向單位矢量.注意到簡單媒質(zhì)所受電場(chǎng)力普遍形式：

(9)

其中dq由體電荷密度ρ、面電荷密度σ或線電荷密度λ等具體電荷分布決定.式(8)表明簡單媒質(zhì)在外電場(chǎng)E0中因電極化而受到的作用力總可等效為外電場(chǎng)E0對(duì)媒質(zhì)上述兩種等效電荷分布作用的合，即

(10a)

(10b)

(11)

故由式(4)～(6)可知由極化電荷體密度ρP和極化電荷面密度σP共同確定的P就是簡單媒質(zhì)響應(yīng)外電場(chǎng)而具有的電極化強(qiáng)度.

綜合上述兩方面，在簡單媒質(zhì)的電極化響應(yīng)描述中，用極化電荷分布ρP和σP的描述與直接采用電極化強(qiáng)度P的描述是等價(jià)的.

1.2 媒質(zhì)磁化響應(yīng)的兩種等價(jià)描述

一切媒質(zhì)都能對(duì)磁場(chǎng)發(fā)生響應(yīng).從安培分子環(huán)流模型出發(fā)，構(gòu)成簡單媒質(zhì)的分子具有環(huán)形電流i稱為分子環(huán)流，其環(huán)繞區(qū)域的面積為a，換言之，每個(gè)媒質(zhì)分子可視為一磁偶極子，其磁偶極矩按定義為

(12)

無外磁場(chǎng)時(shí)，微觀上媒質(zhì)各分子的分子環(huán)流繞行方向隨機(jī)取向，其宏觀統(tǒng)計(jì)平均為零，媒質(zhì)不顯現(xiàn)宏觀磁效應(yīng)；在外磁場(chǎng)作用下，媒質(zhì)分子環(huán)流繞行方向沿外磁場(chǎng)取向，使得媒質(zhì)顯現(xiàn)統(tǒng)計(jì)平均非零的宏觀磁矩，此即媒質(zhì)的磁化響應(yīng).顯然，給定體積媒質(zhì)的宏觀磁偶極矩是媒質(zhì)磁化響應(yīng)狀態(tài)的自然量度

(13)

稱為磁化強(qiáng)度.

與媒質(zhì)電極化類似地，從上述媒質(zhì)磁化的磁偶極子描述出發(fā)，利用給定的磁偶極子在外磁場(chǎng)B0中受到的磁場(chǎng)力普遍形式[6-8]

(14)

可得媒質(zhì)因磁化而受到的磁場(chǎng)作用力為

(15)

注意到媒質(zhì)區(qū)域V的體積分與媒質(zhì)外表面S滿足關(guān)系

∮Sds(B0·M)

(16)

而

(17)

利用矢量三重叉乘關(guān)系，(a×b)×c=b(c·a)-a(c·b)，可得

∮S(M×ds)×B0=∮S[ds(B0·M)-M(B0·ds)]=

∮Sds(B0·M)-∮SM(B0·ds)=

(18)

也即有

(19)

(20)

因?yàn)槲覀冎恍杩紤]此處媒質(zhì)受彼源產(chǎn)生的外磁場(chǎng)B0作用，故有[7]

(21)

換言之，此時(shí)在媒質(zhì)區(qū)域我們得到

(22)

對(duì)照于簡單媒質(zhì)受磁場(chǎng)力普遍形式

(23)

不難發(fā)現(xiàn)簡單媒質(zhì)在外磁場(chǎng)中磁化受到的作用力可以等效為外磁場(chǎng)對(duì)簡單媒質(zhì)因磁化而具有的兩種電流分布的作用，即

(24a)

(24b)

(25)

再注意到 式(13)—(15)可知體磁化電流密度jM和磁化電流面密度kM共同確定的M就是簡單媒質(zhì)因響應(yīng)外磁場(chǎng)而具有的磁化強(qiáng)度.

可見，在簡單媒質(zhì)的磁化響應(yīng)描述中，采用磁化電流分布jM和kM的描述與直接采用磁化強(qiáng)度M描述兩者是等價(jià)的.

2 討論

此外，現(xiàn)行多數(shù)教材基于媒質(zhì)理想化幾何模型的思路推導(dǎo)通常需分兩步：先由媒質(zhì)理想化幾何模型導(dǎo)出電極化強(qiáng)度與極化電荷體密度以及磁化強(qiáng)度與磁化體電流密度的微分關(guān)系式，即

(26)

(27)

再考慮在邊界處積分方程得到極化電荷面密度與電極化強(qiáng)度以及磁化電流面密度與磁化強(qiáng)度局域關(guān)系

σP=en·P

(28)

kM=-en×M

(29)

這里從媒質(zhì)受力效果出發(fā)，我們提供了一種直接獲得極化強(qiáng)度與極化電荷密度、磁化強(qiáng)度與磁化電流密度完備關(guān)系的方法，無需額外討論媒質(zhì)內(nèi)部與邊界區(qū)別，更加直接明了.

最后，本文提供的方法側(cè)重于公式物理含義解析較少借助理想模型的具體分析，雖對(duì)數(shù)理基礎(chǔ)提出較高要求, 但在教與學(xué)實(shí)踐層面能更充分展現(xiàn)電磁理論課程“從公式中讀物理”的自身特點(diǎn)和訓(xùn)練要求,對(duì)開拓學(xué)生思路也具有一定參考價(jià)值.

3 總結(jié)

電場(chǎng)對(duì)電荷產(chǎn)生力的作用，磁場(chǎng)對(duì)電流產(chǎn)生力的作用，這是電磁場(chǎng)的基本性質(zhì)之一.本文由此出發(fā)，分別考察媒質(zhì)在外電場(chǎng)和外磁場(chǎng)下的受到的電場(chǎng)力和磁場(chǎng)力，分別獲得了電極化強(qiáng)度與極化電荷分布以及磁化強(qiáng)度與磁化電流分布的等效關(guān)系.該方法較少借助媒質(zhì)微觀結(jié)構(gòu)的理想化幾何模型，并在獲得極化電荷體密度和磁化電流體密度的同時(shí)可以直接獲得界面處的極化電荷面密度和磁化電流面密度.