拉格朗日陀螺轉(zhuǎn)動(dòng)的有效勢(shì)能和可視化

周群益，周麗麗，莫云飛，侯兆陽(yáng)

(1．廣州理工學(xué)院通識(shí)教育學(xué)院，廣東 廣州 510540；2．贛南醫(yī)學(xué)院 醫(yī)院信息工程學(xué)院，江西 贛州 341000；3．長(zhǎng)沙學(xué)院 電子信息與電氣工程學(xué)院，湖南 長(zhǎng)沙 410022；4．長(zhǎng)安大學(xué) 理學(xué)院應(yīng)用物理系，陜西 西安 710064)

在重力場(chǎng)中定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的對(duì)稱陀螺又稱為拉格朗日陀螺．劉賢雨同學(xué)根據(jù)柯尼西定理列出了陀螺的動(dòng)能公式，形成了拉格朗日函數(shù)，推導(dǎo)了3個(gè)運(yùn)動(dòng)積分，進(jìn)而得出了機(jī)械能守恒公式和有效勢(shì)能公式[1]．論文中的機(jī)械能守恒公式和有效勢(shì)能的公式與國(guó)內(nèi)有關(guān)教材中的公式都不相同，曲線不能直觀地說(shuō)明有效勢(shì)能變化規(guī)律和陀螺運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性．本文根據(jù)剛體的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程和陀螺運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程重新推導(dǎo)了有效勢(shì)能的公式，繪制了有效勢(shì)能的曲線族，說(shuō)明了陀螺運(yùn)動(dòng)的類型和穩(wěn)定性．

1 拉格朗日陀螺的機(jī)械能守恒定律

圖1 剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的3個(gè)歐拉角和角速度的方向

在活動(dòng)坐標(biāo)系Oxyz中，陀螺的角速度為

ω=ωxi+ωyj+ωzk

(1)

利用角度關(guān)系可得

(2)

這就是歐拉運(yùn)動(dòng)學(xué)方程．歐拉動(dòng)力學(xué)方程為

(3)

其中，Mx，My和Mz是外力矩的三個(gè)分量．

質(zhì)心C對(duì)支點(diǎn)O的位矢為

rC=lk

(4)

其中k是Oz軸的單位矢量．在固定坐標(biāo)系OXYZ中，OZ方向的單位矢量為K，用動(dòng)坐標(biāo)系的單位矢量和歐拉角可表示為

K=sinθsinψi+sinθcosψj+cosθk

(5)

重力可表示為

FG=-mgK=-mg(sinθsinψi+sinθcosψj+cosθk)

(6)

重力對(duì)支點(diǎn)的力矩為

M=rC×G=mgl(sinθsinψi-sinθcosψj)

(7)

陀螺的動(dòng)力學(xué)方程為

(8)

對(duì)方程組求解，可得出一些重要結(jié)果:

1) 對(duì)式(8)的第三式積分可得

J3ωz=Lz(常量)

(9)

其中，積分常量Lz是角動(dòng)量L在Oz方向的投影．這是Oz方向角動(dòng)量守恒公式．由于陀螺繞Oz軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J3，角速度為ωz，Lz就是繞Oz軸的角動(dòng)量．由于J3是常量，所以角速度ωz也是常量．

2) 由式(8)的前兩式可得

多次利用式(2)，經(jīng)過(guò)比較復(fù)雜的推導(dǎo)可得

積分可得

J1ωxsinψsinθ+J1ωycosψsinθ+J3ωzcosθ=L0

(10)

其中，積分常量L0是角動(dòng)量L在OZ方向的投影．這是OZ方向角動(dòng)量守恒公式．

3) 由式(8)的前兩式可得

將式(2)的前兩式代入上式可得

即

J1ωxdωx+J1ωydωy-mglsinθdθ=0

積分可得

(11)

(12)

其中，E也是能量常數(shù)：

(13)

如果將E當(dāng)作陀螺的全部能量，那么E0就是部分能量，在下面的討論中只需要利用部分能量就行了．

有些教材根據(jù)角動(dòng)量守恒定律推導(dǎo)了公式(9)和(10)[2-4]，有些教材利用拉格朗日函數(shù)推導(dǎo)了公式(9)和(10)[5-6]．這些教材都根據(jù)機(jī)械能守恒定律得到了式(12)．

將式(2)的前兩式代入式(12)，可得

(14)

將式(2)的前兩式代入式(10)，可得

(15)

將上式代入式(14)，可得能量守恒公式：

(16)

文獻(xiàn)[1]用拉格朗日函數(shù)求出兩個(gè)角動(dòng)量守恒公式，再列出機(jī)械能守恒公式(14)，用本文的符號(hào)表示如下：

2 拉格朗日陀螺的有效勢(shì)能

由于文獻(xiàn)[1]中的式(14)的錯(cuò)誤，得出的有效勢(shì)能公式也是錯(cuò)誤的：

由式(16)可得正確的有效勢(shì)能公式

(17)

對(duì)有效勢(shì)能求導(dǎo)數(shù)，可得

(18)

有效勢(shì)能的二階導(dǎo)數(shù)為

mglcosθ

(19)

在有效勢(shì)能的公式中，m、l和J1是常數(shù)，L0和Lz是可調(diào)節(jié)的參數(shù)，參數(shù)決定了陀螺的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)．

2.1 當(dāng)Lz=0時(shí)的有效勢(shì)能

當(dāng)Lz= 0時(shí)，必有ωz= 0，由式(17)可化簡(jiǎn)有效勢(shì)能

(20)

(21)

由式(19)可化簡(jiǎn)其二階導(dǎo)數(shù):

(22)

(23)

顯然π/2 <θm≤π．將上式代入式(22)可得

(24)

(25)

(26)

(27)

由式(24)可得平衡角無(wú)量綱的二階導(dǎo)數(shù)

(28)

將公式無(wú)量綱化便于應(yīng)用MATLAB畫曲線和曲線族，從曲線中解讀隱含的信息[7]．

圖2 陀螺在Lz = 0時(shí)的有效勢(shì)能

2.2 當(dāng)Lz = -L0時(shí)的有效勢(shì)能

當(dāng)Lz= -L0≠ 0時(shí)，由式(17)可化簡(jiǎn)有效勢(shì)能

(29)

由式(18)可化簡(jiǎn)其導(dǎo)數(shù),

(30)

由式(19)可化簡(jiǎn)其二階導(dǎo)數(shù),

(31)

(32)

說(shuō)明θm=π是穩(wěn)定的平衡角．

很容易將有效勢(shì)能和它的導(dǎo)數(shù)以及二階導(dǎo)數(shù)無(wú)量綱化．

圖3 陀螺在Lz = -L0時(shí)的有效勢(shì)能和導(dǎo)數(shù)以及二階導(dǎo)數(shù)

2.3 當(dāng)Lz = L0時(shí)的有效勢(shì)能

當(dāng)Lz=L0≠0時(shí)，由式(17)可化簡(jiǎn)有效勢(shì)能

(33)

由式(18)可化簡(jiǎn)其導(dǎo)數(shù)

(34)

由式(19)可化簡(jiǎn)其二階導(dǎo)數(shù)

(35)

(36)

(37)

對(duì)上式再求導(dǎo)數(shù)，

(38)

(39)

在L0< 2l0的情況下，還有一個(gè)平衡角：

(40)

將式(39)代入式(35)，可得

(41)

說(shuō)明θm是有效勢(shì)能的極小點(diǎn)，因此θm是穩(wěn)定的平衡角．可見：當(dāng)Lz=L0時(shí)，如果L0< 2l0，即：陀螺轉(zhuǎn)得不夠快，就不能倒立在支點(diǎn)上旋轉(zhuǎn)，而只能以不為零的章動(dòng)角θm旋轉(zhuǎn)．將式(39)代入式(33)，可得平衡角的有效勢(shì)能：

(42)

圖4 陀螺在Lz = L0時(shí)的有效勢(shì)能

圖5 陀螺在Lz = L0 = 2l0時(shí)的有效勢(shì)能和各階導(dǎo)數(shù)

2.4 一般情況下的有效勢(shì)能

(43)

其中

(44)

當(dāng)θm=π時(shí)，則a= -1，b= -2Lz，c= -Lz2，由式(43)解得L0= -Lz．當(dāng)θm= 0時(shí)，則a= 1，b= -2Lz，c=Lz2，由式(43)解得L0=Lz．當(dāng)0 <θm<π時(shí)，根的判別式為

(45)

其中，D是更簡(jiǎn)單的根的判別式：

(46)

假設(shè)D≥ 0，由式(43)解得

(47)

這是角動(dòng)量L0與Lz和θm之間的關(guān)系．當(dāng)Lz一定時(shí)，如果D> 0，在0 <θm<π范圍內(nèi)，除了θm=π/2之外，同一個(gè)θm對(duì)應(yīng)著兩個(gè)值L0．將上式代入式(17)，可得θm處的有效勢(shì)能：

(48)

當(dāng)θm→π-時(shí)，Veff(θm)→-mgl=Veff(π)；當(dāng)θm→0+時(shí)，Veff(θm)→mgl=Veff(0)．如果式(48)取正號(hào)，當(dāng)θm→π/2時(shí)，Veff(θm)→+∞，θm= π/2是無(wú)窮間斷點(diǎn)．如果式(48)取負(fù)號(hào)，可以證明：

(49)

因此，θm=π/2是可去間斷點(diǎn)．

將式(47)代入式(19)，可得平衡角θm的二階導(dǎo)數(shù)：

(50)

注意：當(dāng)θm→π-時(shí)，由式(47)可得L0→-Lz，由上式可得

(51)

(52)

因此，θm= 0處的穩(wěn)定性應(yīng)該由式(36)判斷，也可以由上式判斷．

(53)

因此，θm= π/2是可去間斷點(diǎn)．由于這個(gè)極限大于零，所以θm= π/2是穩(wěn)定的平衡角．

無(wú)量綱的有效勢(shì)能為

(54)

(55)

無(wú)量綱的二階導(dǎo)數(shù)為

(56)

平衡角無(wú)量綱的有效勢(shì)能為

(57)

其中，無(wú)量綱的根的判別式為

(58)

平衡角無(wú)量綱的二階導(dǎo)數(shù)為

(59)

圖6 陀螺在Lz = 2l0時(shí)的有效勢(shì)能(L0 ≤ -Lz)

如圖7所示，當(dāng)-Lz

圖7 陀螺在Lz = 2l0時(shí)的有效勢(shì)能(-Lz ≤ L0 ≤ Lz)

如圖8所示，當(dāng)L0>Lz時(shí)，Veff(θ)還是先降后升的曲線族，但是極小值分布在上支左段上；L0越大，Veff(θm)就越大．當(dāng)L0=Lz時(shí)，Veff(θ)是單調(diào)上升的曲線，極小值位于Veff(θm)的上支左段和下支的交點(diǎn)上(0,mgl)．可見：θm的穩(wěn)定分布區(qū)域?yàn)閇0,π/2]，陀螺質(zhì)心只能在上半球面做規(guī)則進(jìn)動(dòng)．

圖8 陀螺在Lz = 2l0時(shí)的有效勢(shì)能(L0 ≥ Lz)

圖9 陀螺在Lz = 2.4l0時(shí)的有效勢(shì)能

當(dāng)E0=Veff(θm)時(shí)，陀螺做規(guī)則進(jìn)動(dòng)，對(duì)同一個(gè)θm，上支的E0較大，表示快規(guī)則進(jìn)動(dòng),下支的E0較小，表示慢規(guī)則進(jìn)動(dòng)．

3) 當(dāng)Lz< 2l0時(shí)，令D= 0，可得臨界穩(wěn)定角θmC與角動(dòng)量Lz的關(guān)系：

(60)

顯然，0 ≤θmC≤π/2．θmC是下支與上支左段相交時(shí)穩(wěn)定的章動(dòng)角．利用上式，式(47)可化為

(61)

這是臨界條件下兩個(gè)角動(dòng)量之間的關(guān)系．當(dāng)D= 0時(shí)，由式(48)可得臨界有效勢(shì)能

(62)

由式(50)可得臨界有效勢(shì)能的二階導(dǎo)數(shù)

(63)

將公式無(wú)量綱化即可繪制曲線．

圖10 陀螺在Lz = 1.6l0時(shí)的有效勢(shì)能(L0 ≥ Lz)

當(dāng)0

利用有效勢(shì)能，可以求章動(dòng)角的周期，還可以求章動(dòng)角受微擾的周期．如果設(shè)u= cosθ，就可以將式(16)化為u的微分方程，引入橢圓積分就能求出θ(t)的表達(dá)式，進(jìn)而求出兩個(gè)周期的表達(dá)式．本文受篇幅所限，無(wú)法詳述．

3 結(jié)論

本文求出推導(dǎo)了陀螺運(yùn)動(dòng)的有效勢(shì)能公式和導(dǎo)數(shù)公式，將公式無(wú)量綱化，應(yīng)用MATLAB畫出曲線和曲線族，詳細(xì)地說(shuō)明了陀螺運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性．劉賢雨同學(xué)作為00后的本科生，分析了陀螺在重力場(chǎng)中轉(zhuǎn)動(dòng)的類型，展現(xiàn)了本科生科研能力和創(chuàng)新能力．MATLAB是一種計(jì)算和繪圖功能都十分強(qiáng)大的工具，可以推導(dǎo)和驗(yàn)證公式，還能展現(xiàn)問(wèn)題的每個(gè)細(xì)節(jié)．MATLAB不但能夠研究陀螺的有效勢(shì)能，還能精確地計(jì)算章動(dòng)角的變化范圍和周期以及運(yùn)動(dòng)規(guī)律，精密繪制陀螺質(zhì)心的軌跡．如果本科生掌握了這種工具，將如虎添翼，大大提高大學(xué)生提出問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力．