直面問(wèn)題 展現(xiàn)思路 積累經(jīng)驗(yàn)
——基于“數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”下的問(wèn)題解決講評(píng)

黃 云

(廣東省深圳市第二實(shí)驗(yàn)學(xué)校 518000)

1 問(wèn)題的提出

數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累是提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要標(biāo)志.幫助學(xué)生通過(guò)運(yùn)用數(shù)學(xué)的思維和語(yǔ)言進(jìn)行閱讀、運(yùn)算、推理和表達(dá)的實(shí)踐活動(dòng)來(lái)積累數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要任務(wù).筆者認(rèn)為，針對(duì)學(xué)生解題中出現(xiàn)的典型問(wèn)題，設(shè)計(jì)由學(xué)生談過(guò)程、說(shuō)困惑，師生共同找錯(cuò)因、給評(píng)判的講評(píng)課，讓學(xué)生闡述自己在解題中的真實(shí)思維過(guò)程，反思、辨析出現(xiàn)困惑或發(fā)生錯(cuò)誤的原因，不僅可以有效地糾正錯(cuò)誤，避免同類(lèi)錯(cuò)誤的再次發(fā)生，而且可以幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).本文以一堂高三檢測(cè)講評(píng)課為例給予說(shuō)明，敬請(qǐng)讀者批評(píng)指正.

2 講評(píng)的設(shè)計(jì)

課前由學(xué)科代表組織學(xué)生篩選匯總典型問(wèn)題，根據(jù)解題過(guò)程中出現(xiàn)的相同困惑、錯(cuò)因進(jìn)行分組，并選出各組發(fā)言人.每個(gè)問(wèn)題解決的講評(píng)由三個(gè)環(huán)節(jié)組成：

環(huán)節(jié)1：談過(guò)程說(shuō)困惑，由各組發(fā)言人分別闡述在解答本題過(guò)程中出現(xiàn)的困惑；

環(huán)節(jié)2：找錯(cuò)因作評(píng)判，由學(xué)生及教師共同找出錯(cuò)因并予以評(píng)判；

環(huán)節(jié)3：理思路積經(jīng)驗(yàn)，由教師或?qū)W生給予解題思路上的剖析或點(diǎn)撥.

3 課堂教學(xué)概述

3.1 問(wèn)題呈現(xiàn)

學(xué)科代表根據(jù)課前要求，匯總了若干出錯(cuò)率高的典型問(wèn)題.本文僅選以下3個(gè)問(wèn)題為例，進(jìn)行講評(píng)概述.

問(wèn)題1已知直線m:y=kx+1與雙曲線c:x2-y2=1的左支交于A,B兩點(diǎn)，直線l過(guò)點(diǎn)P(-2,0)和線段AB的中點(diǎn)M，求l在y軸上的截距b的取值范圍.

問(wèn)題2已知數(shù)列{an}滿足：a1=2，an+an-1=4n-2(n≥2).

(Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

(Ⅱ)若數(shù)列{bn}滿足：b1+3b2+7b3+…+(2n-1)bn=an+5，求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式.

問(wèn)題3設(shè)函數(shù)f(x)=ax2+(2b+1)x-a-2，a,b∈R.若a≠0，函數(shù)y=f(x)在[3,4]上至少存在一個(gè)零點(diǎn)，求a2+b2的最小值.

3.2 講評(píng)環(huán)節(jié)

環(huán)節(jié)1：談過(guò)程說(shuō)困惑,由各組發(fā)言人分別闡述在解答本題過(guò)程中出現(xiàn)的困惑(由于談及的困惑較多，限于篇幅，本文僅選9個(gè)予以呈現(xiàn)).

發(fā)言人1：?jiǎn)栴}1存在如下困惑.

發(fā)言人2：匯總問(wèn)題2有如下困惑.

困惑4：對(duì)于an-an-1=f(n)(n≥2)型問(wèn)題，用累加法直接可求解，但對(duì)于an+an-1=f(n)型問(wèn)題，不知如何入手，只好放棄.

困惑5：由an+an-1=4n-2得an+1+an=4n+2，兩式相減得an+1-an-1=4，發(fā)現(xiàn)數(shù)列{an}的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)分別是公差為4的等差數(shù)列，但后續(xù)不知如何求解下去？

困惑6：順利求解了(Ⅰ)，但在求解(Ⅱ)時(shí)，對(duì)于如何利用條件b1+3b2+7b3+…+(2n-1)bn=2n+5來(lái)求bn，似曾相識(shí)卻又想不起來(lái)，沒(méi)有找到相應(yīng)的轉(zhuǎn)化方法.采用“歸—猜—證”法，沒(méi)有找到規(guī)律，也沒(méi)能求出{bn}的通項(xiàng)公式.

發(fā)言人3：?jiǎn)栴}3有如下困惑.

困惑8：通過(guò)閱讀，理解“至少存在一個(gè)t∈[3,4]，使得at2+(2b+1)t-a-2=0成立”，也即：關(guān)于t的方程at2+(2b+1)t-a-2=0(a≠0) 在[3,4]上至少有一個(gè)實(shí)數(shù)根，令f(t)=at2+(2b+1)t-a-2(a≠0)，接下來(lái)對(duì)a>0和a<0分別討論有一根或兩根的情況，來(lái)確定a,b的范圍，再求a2+b2的最小值.由于含有兩個(gè)參數(shù)a,b，討論難度較大，無(wú)法進(jìn)行下去，就此擱淺.

環(huán)節(jié)2：找錯(cuò)因作評(píng)判,由學(xué)生及教師共同找出錯(cuò)因并予以評(píng)判.

教師：請(qǐng)問(wèn),對(duì)方程(1-k2)x2-2kx-2=0求根或是討論根的情況，能否求得直線l的方程？如果得不到直線l的方程，能求得l在y軸上的截距b的取值范圍嗎？

學(xué)生1：不能，必須先想辦法求出直線l的方程.容易看出困惑1中的前兩種想法都屬于沒(méi)有讀懂和理解題意，弄錯(cuò)了求解方向，偏離了求解目標(biāo)，將“求l在y軸上的截距b的取值范圍”淹沒(méi)在了對(duì)方程根的探討上；第三種思路雖然求得了截距b，但由于二次函數(shù)值域的求解方法遺忘，解題受阻，即便沒(méi)有遺忘二次函數(shù)值域的求法，如果沒(méi)有求出k的范圍，也只能獲得錯(cuò)誤答案.如困惑2.

教師：困惑1中的前兩種思路，只停留于問(wèn)題的表象，而沒(méi)有抓住問(wèn)題的本質(zhì)！在解題中，困惑的產(chǎn)生可能有多方面的因素：如知識(shí)缺漏、數(shù)學(xué)語(yǔ)言理解的偏差、推理運(yùn)算的錯(cuò)誤、方法選擇不當(dāng)?shù)鹊?要避免這些現(xiàn)象的出現(xiàn)，不僅要學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言和思維去破解題意，更要清楚在求解方程和函數(shù)問(wèn)題時(shí)需要抓住的關(guān)鍵點(diǎn)是什么？

學(xué)生3回答：在求解方程問(wèn)題時(shí)，不可忽視方程根的范圍；在求解函數(shù)問(wèn)題時(shí)，一定要優(yōu)先考慮函數(shù)的定義域，兩者之間要實(shí)施等價(jià)轉(zhuǎn)化.

學(xué)生5：困惑6屬于急促情境下的思維斷片或是分類(lèi)討論經(jīng)驗(yàn)缺失而導(dǎo)致的；困惑7由b1+3b2+7b3+…+(2n-1)bn=2n+5與b1+3b2+7b3+…+(2n-1-1)bn-1=2n+3兩式作差求bn，運(yùn)算最為快捷，但由于沒(méi)注意n≥2，導(dǎo)致了運(yùn)算錯(cuò)誤.這種錯(cuò)誤在數(shù)列問(wèn)題的求解中會(huì)時(shí)常出現(xiàn)，必須引起注意！

教師：溫馨提示,數(shù)列問(wèn)題中，一旦出現(xiàn)n-1的下標(biāo)(項(xiàng)數(shù))，必須考慮n≥2為前提.

學(xué)生6：困惑8由至少存在一個(gè)t∈[3,4]，使得at2+(2b+1)t-a-2=0成立，也即關(guān)于t的方程at2+(2b+1)t-a-2=0(a≠0) 在[3,4]上至少有一個(gè)實(shí)數(shù)根，數(shù)學(xué)語(yǔ)言轉(zhuǎn)化做得好，但對(duì)a>0和a<0討論方程根時(shí)，思維受阻，困于其中.

環(huán)節(jié)3：理思路積經(jīng)驗(yàn)，由教師或?qū)W生給予解題思路上的剖析或點(diǎn)撥.

3.2.1 豐富感性經(jīng)驗(yàn)，提升理性經(jīng)驗(yàn)

對(duì)于函數(shù)與方程問(wèn)題，如問(wèn)題1，學(xué)生由于感性經(jīng)驗(yàn)不足和理性經(jīng)驗(yàn)的缺乏，往往僅會(huì)單一考慮運(yùn)用函數(shù)知識(shí)或是運(yùn)用方程知識(shí)來(lái)解決問(wèn)題.不能透過(guò)問(wèn)題的現(xiàn)象扣住問(wèn)題的本質(zhì)，將函數(shù)與方程(不等式)有機(jī)地聯(lián)系起來(lái)綜合考慮問(wèn)題.有時(shí)即便想到了函數(shù)與方程的結(jié)合，也不能簡(jiǎn)潔、完整的實(shí)施兩者的等價(jià)轉(zhuǎn)化，特別是方程的根與函數(shù)定義域之間的等價(jià)轉(zhuǎn)化.在解題中，需要強(qiáng)化閱讀、發(fā)現(xiàn)和理解問(wèn)題的能力，來(lái)豐富函數(shù)與方程問(wèn)題的感性經(jīng)驗(yàn)；強(qiáng)化運(yùn)算、推理和表達(dá)問(wèn)題的能力，來(lái)提升函數(shù)與方程問(wèn)題的理性經(jīng)驗(yàn)，以期獲取快捷流暢的解題思路.學(xué)生對(duì)問(wèn)題1提供了多種解題思路，現(xiàn)僅選學(xué)生7所呈現(xiàn)的求解思路：

3.2.2 注重直接經(jīng)驗(yàn)，兼顧間接經(jīng)驗(yàn)

直接經(jīng)驗(yàn)和間接經(jīng)驗(yàn)都是學(xué)生獲取知識(shí)或解決問(wèn)題的重要途徑.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程就是不斷積累經(jīng)驗(yàn)的過(guò)程，問(wèn)題解決，實(shí)際上就是利用已有的間接或直接經(jīng)驗(yàn)去獲取或體驗(yàn)新的直接經(jīng)驗(yàn)的過(guò)程.間接經(jīng)驗(yàn)是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中不可或缺的經(jīng)驗(yàn)，在對(duì)問(wèn)題實(shí)施轉(zhuǎn)換與化歸的數(shù)學(xué)活動(dòng)中，有時(shí)固有的間接經(jīng)驗(yàn)可能會(huì)阻礙直接經(jīng)驗(yàn)的獲取.例如，在面對(duì)如問(wèn)題2這種新情境時(shí)，學(xué)生更需注重直接經(jīng)驗(yàn)的獲取，兼顧間接經(jīng)驗(yàn)的運(yùn)用，學(xué)會(huì)用“數(shù)學(xué)的方式”獲取新的直接經(jīng)驗(yàn)，并能利用直接經(jīng)驗(yàn)去優(yōu)化解題過(guò)程，靈活解決問(wèn)題.在問(wèn)題2的多種求解思路中，僅選了三位學(xué)生的解題思路呈現(xiàn)如下.

學(xué)生8：?jiǎn)栴}2(Ⅰ)大致有三種思路：

其一,直接對(duì)an+an-1=4n-2進(jìn)行配湊得:(an-2n)+[an-1-2(n-1)]=0，發(fā)現(xiàn){an-2n}是公比為-1的等比數(shù)列，進(jìn)而求得an=2n；

其二,由題設(shè)條件得到an+1-an-1=4后，對(duì)n分奇偶討論求得an=2n；

其三,采用“歸納—猜想—證明”的方法，求得an=2n.

學(xué)生10：?jiǎn)栴}2(Ⅱ)采用“歸納—猜想—證明”的方法求{bn}的通項(xiàng)公式，排除b1=7后，從b2開(kāi)始找規(guī)律，同樣也很快可以獲得正確的答案.

教師：?jiǎn)栴}2(Ⅰ)的轉(zhuǎn)化點(diǎn)是an+an-1=4n-2，可以通過(guò)配湊法、奇偶討論法、“歸—猜—證”法來(lái)實(shí)施轉(zhuǎn)化；問(wèn)題2(Ⅱ)的轉(zhuǎn)化點(diǎn)是b1+3b2+7b3+...+(2n-1)bn=an+5，可以通過(guò)構(gòu)建作差或“歸—猜—證”實(shí)施轉(zhuǎn)化. 在轉(zhuǎn)化過(guò)程中要謹(jǐn)防缺漏！如果出現(xiàn)n-1，必須考慮n≥2！解題中既要注重間接經(jīng)驗(yàn)的運(yùn)用，更要注重直接經(jīng)驗(yàn)的獲取.

3.2.3 積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn),激發(fā)創(chuàng)新思維

“經(jīng)驗(yàn)”是指從多次實(shí)踐中所體現(xiàn)的解決問(wèn)題的“綜合能力”.數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)應(yīng)指學(xué)生在數(shù)學(xué)活動(dòng)中所體現(xiàn)的解決問(wèn)題的“綜合能力”. 只有讓學(xué)生參與到活動(dòng)中來(lái)，在不斷的“會(huì)做數(shù)學(xué)”的過(guò)程中，才能使這種經(jīng)驗(yàn)得到積累和提升.教學(xué)中應(yīng)注意引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)閱讀、運(yùn)算和畫(huà)思維導(dǎo)圖等顯性化活動(dòng)，分析問(wèn)題的本質(zhì)進(jìn)而明確轉(zhuǎn)化的方向；對(duì)于復(fù)雜問(wèn)題，如問(wèn)題3，則要引導(dǎo)學(xué)生利用數(shù)學(xué)概念的多元聯(lián)系表示，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的、直觀的表示方式，從而創(chuàng)造性地建構(gòu)從已知到未知的橋梁并最終實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的解決.下面呈現(xiàn)了學(xué)生11、12、13對(duì)問(wèn)題3轉(zhuǎn)化和求解的過(guò)程：

圖1

教師：很好，利用數(shù)形結(jié)合實(shí)現(xiàn)了“以形助數(shù)”! 在問(wèn)題解決的過(guò)程中，首先要學(xué)會(huì)善用數(shù)學(xué)概念的多元聯(lián)系去明確目標(biāo)，知道求解什么？其次，就是要善于建構(gòu)過(guò)程明晰的思維導(dǎo)圖來(lái)實(shí)現(xiàn)從已知向目標(biāo)的轉(zhuǎn)化.面對(duì)復(fù)雜問(wèn)題，更要善用已有的經(jīng)驗(yàn)，創(chuàng)造性地建立已知與未知的聯(lián)系，并從中提煉、積累新經(jīng)驗(yàn).

教師：解決問(wèn)題3的關(guān)鍵是如何利用同構(gòu)關(guān)系實(shí)現(xiàn)將|OP|轉(zhuǎn)化為t函數(shù)！以上3名同學(xué)融入了自己對(duì)問(wèn)題的理解和感悟，用“數(shù)學(xué)的方式”富有創(chuàng)意地解決了問(wèn)題.

4 體會(huì)與感悟

基于不同類(lèi)型學(xué)生數(shù)學(xué)實(shí)際水平，開(kāi)展“直面問(wèn)題 展現(xiàn)思路，積累經(jīng)驗(yàn)”的教學(xué)活動(dòng)，用數(shù)學(xué)的育人方式“對(duì)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)思維和語(yǔ)言的教育，即通過(guò)數(shù)學(xué)的閱讀、運(yùn)算、推理和表達(dá)的訓(xùn)練，使學(xué)生正確理解數(shù)學(xué)知識(shí)，形成用數(shù)學(xué)知識(shí)合理解釋直至創(chuàng)造性地解決問(wèn)題的能力”，讓不同層次的學(xué)生獲得不同程度的收獲與體驗(yàn).筆者認(rèn)為，日常教學(xué)中重視數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累和數(shù)學(xué)思想方法的滲透，對(duì)提升學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是極為有益的.