回歸概念是良策 洛氏法則為哪般

葉琪飛

(浙江省寧波市鄞州高級中學 315104)

本世紀以來，數(shù)學課程改革與教學方式的變革在中國大陸地區(qū)理性有序推進，數(shù)學教育界的有識之士，提出許多源于實踐的教學建議，如，高考復習，回歸課本、回歸基礎才是正道．回歸有兩層意思，一是學生能熟練運用課本知識解決“基礎題”；二是養(yǎng)成從基本概念出發(fā)思考和解決問題的習慣．解題教學中，要使學生逐步養(yǎng)成從基本概念、基本原理及其聯(lián)系性出發(fā)思考和解決問題的習慣，這是發(fā)展學生思維能力的正道．

遺憾的是，時至今日，仍然有些人在解題中過于渲染解題技巧，至于技巧怎么來的，其中又蘊涵著怎樣的數(shù)學思想方法，常常不作解釋，或語焉不詳，讓人感覺到如同“魔術(shù)師帽子里的兔子”般神奇．有些雜志也為此推波助瀾，大量刊載解題技巧方面的文章．“洛必達法則”[5]-[10]就是追求技巧的一個典型例證，大有愈演愈烈之勢．

筆者認為，“洛比達法則”確有它的方便之處，否則，在高等數(shù)學中就沒有必要學習它了．現(xiàn)在的問題是，讓高中學生學習“洛比達法則”是否合適？知道“洛必達法則”的學生(包括一些老師)是否是真正學習過它，理解它所蘊含的思想方法？還是僅僅知道它的操作步驟而已？就是對于教育發(fā)達地區(qū)的學生，如果是真正學習洛必達法則，也需要花費大量課時鋪墊數(shù)學分析中很多有關(guān)內(nèi)容，才可以使“洛比達”閃亮登場．即便如此，仍然冒學生只會機械模仿而不清楚其中道理的風險，學生很可能就把它僅當成一種解題技巧而加以記憶．這種夸大技巧掩蓋問題本質(zhì)的做法，往往會削弱真正的思想和方法，與數(shù)學核心素養(yǎng)的期許更是格格不入．事實上“數(shù)學是玩概念的，不是玩技巧的．技巧不足道也！”．

高中數(shù)學人教A版選修2-2第一章在用大量的篇幅介紹了導數(shù)的實際背景以后，抽象出了導數(shù)的概念的形式化定義：

它的等價形式是

這不僅說明“導數(shù)”是一種“特殊的極限”，而且還可以反向使用：為求某種特殊的極限也可以利用與之有關(guān)函數(shù)的導數(shù)給出．

下面通過幾個具體的例子(全部改編于近幾年的高考試題)介紹導數(shù)概念的這類應用，僅供有興趣的師生參考，敬請指正！

在暫時沒有好的辦法情況下，不妨將f(x)的表達式代入試一試，由此得到

例2(2017，全國Ⅱ，文21)設函數(shù)f(x)=(1-x2)ex．

(1)略；

(2)當x≥0時，f(x)≤ax+1，求a的取值范圍.

解析解決本題一般有兩種方法，一是構(gòu)造函數(shù)：g(x)=ax+1-f(x)，借助導數(shù)求出函數(shù)g(x)的最小值(如果存在的話)，令其非負，即可建立關(guān)于a的不等式，由此不等式可確定參數(shù)a的取值范圍；二是利用所謂的“分離參數(shù)法”，這也是一般學生比較常用的一種方法．即

當x=0時，f(x)≤ax+1恒成立，此時a取值范圍為R；

我們認為，此時是引導學生回到教材中去、回到導數(shù)的概念中去思考問題、解決問題的極好機會．

本題貌似不等式問題，實際上仍然以導數(shù)為工具研究函數(shù)最值問題．解題最后一步中充分發(fā)揮了導數(shù)概念的作用，值得細細品味．另外，解題過程中雖然兩次求導，但它不同于高等數(shù)學里的“高階導數(shù)”，它不過是一個基本想法的多次使用而已，即如果想知道一個函數(shù)是增函數(shù)還是減函數(shù)，那么看看它的導數(shù)是正的還是負的就可以了．

例3(2017，全國Ⅱ，理21)已知函數(shù)f(x)=ax2-ax-xlnx，且f(x)≥0．

(1)求a的值；

(2)略．

解析(1)文獻[5][7]提供了分離參數(shù)后利用“洛必達法則”求一個特殊極限的方法，本文介紹利用導數(shù)概念求這個特殊極限的一種方法．

顯然f(x)的定義域為(0，+∞)．

f(x)=ax2-ax-xlnx=x(ax-a-lnx)≥0

?g(x)=ax-a-lnx≥0?a(x-1)≥lnx．

(※)

當x=1時，(※)式恒成立，a取值范圍為R；

即當x>1時，a≥1．

即當0

綜上，a=1．

雖然高考試題里經(jīng)常會出現(xiàn)以某些高等數(shù)學思想為背景設計的創(chuàng)新試題，但并不希望同學們用高等數(shù)學知識和思想方法來解答，這既不現(xiàn)實，也沒有必要．

通過海外酒業(yè)市場調(diào)查，發(fā)現(xiàn)美國、澳大利亞、歐州消費市場、消費人群、消費喜好的消費特征，顯示出中國白酒走出國門時的問題：如中外飲食習慣、文化差異導致了壁壘；國內(nèi)外在對待酒類商品的貿(mào)易政策、行業(yè)標準上的不對等，對中國白酒的普及和國際化造成一定的限制；白酒價格與消費者購買力的不匹配等。因此，本文借助智豬博弈理論，論證出行業(yè)引領(lǐng)者的角色應當由政府或行業(yè)協(xié)會扮演，從國家級、省級層面去共同打開海外白酒市場。同時，依托中國白酒產(chǎn)業(yè)“品牌傘”，打好中國白酒的“文化牌”和“標準牌”，將有助于進一步提高中國白酒的國際競爭力與影響力，加速中國白酒國際化進程。

例4(2010，海南、寧夏，文21)設函數(shù)f(x)=x(ex-1)-ax2．

(1)略；

(2)若當x≥0時，f(x)≥0，求a的取值范圍.

文獻[8]對本題的評注是：第(2)還可以用分離參數(shù)法，但分離參數(shù)法需要用洛必達法則求極限，不可?。?/p>

認識到“用洛必達法則求極限，不可?。笔侵档每隙ǖ模蛛x參數(shù)后卻并不需要用洛必達法則求極限，只需根據(jù)導數(shù)的概念即可輕松求得a的取值范圍，何樂而不為呢？

解析因為當x≥0，所以f(x)≥0等價于g(x)=ex-1-ax≥0．

當x=0時，g(x)≥0恒成立，

此時a取值范圍為R；

而(xex-ex+1)′=xex>0，

所以當x>0時，xex-ex+1>0．

所以當x>0時，h′(x)>0，

即h(x)是區(qū)間(0，+∞)上的增函數(shù)．

所以當x>0時，

即a的取值范圍為(-∞，1]．

通過多次使用導數(shù)的正負與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系，最后遇到了一個“不定型”極限問題，突破這一難點的關(guān)鍵是仍然利用導數(shù)的概念，這一思維方式值得認真回味！可謂是非不能也，是不為也！

我們都認同“雙基”教學的重要性，但是怎樣才是真正的注重基礎？對此，章建躍老師曾指出“注重基礎”應該做到如下2個方面：

1．引導學生不斷回到概念中去，使他們養(yǎng)成從基本概念出發(fā)思考問題、解決問題的習慣；

2．要加強概念聯(lián)系性的教學，從概念的聯(lián)系中尋找解決問題的新思路——解題的靈活性并不來自于“題型+技巧”，而是來自于概念聯(lián)系通道的順暢．

本文幾個例題的解決又一次佐證了，數(shù)學概念是數(shù)學應用的“根”和“本”，根深才能長成參天大樹，本固才能立于不敗之地．解題教學應當追求解決問題的根本大法，也就是要引導學生在理解基本概念及其所蘊涵的思想方法上下功夫，將概念中蘊含的數(shù)學家思維打開，并用于訓練學生，這是提高學生數(shù)學能力的捷徑，也是提高高考成績的法寶．

最后，我們必須指出，上述幾例絕非僅有本文所介紹的這種解法，它們還有更自然、更簡單的解法，我們的分析只是針對那些應用“洛必達法則”解這類題目的觀點有感而發(fā)．不當之處，敬請諒解.

本文的撰寫得到了特級教師王芝平老師的大力幫助，在此致以深切的謝意．